資源簡介

圓的標準方程
學習目標 1.了解確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程，能根據圓的定義求出圓的標準方程.理解點與圓位置關系的條件，能判斷點與圓的位置關系. 2.能根據所給條件求圓的標準方程，掌握圓的標準方程的求法.
學習活動
導入： 《古朗月行》 唐 李白 小時不識月，呼作白玉盤。 又疑瑤臺鏡，飛在青云端。 月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當做一個圓，建立一個平面直角坐標系,那么圓的坐標方程如何表示 目標一：了解確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程，能根據圓的定義求出圓的標準方程.理解點與圓位置關系的條件，能判斷點與圓的位置關系. 任務1：探究圓的標準方程. 回顧：（1）什么是圓？在數學中是如何定義圓的？ （2）根據定義，說說確定圓的幾何要素是什么？ 如圖，在平面直角坐標系中，圓的坐標為，半徑為，為圓上任意一點. 問題1：如何用集合語言描述圓的定義？ 問題2：根據上述集合語言刻畫的定義，如何用關于x，y的方程式表示圓的定義呢？ 【歸納總結】 圓的標準方程： 練一練： 1.說出下列方程所表示圓的圓心坐標和半徑. （1）； （2）； （3）； （4）. 【知識拓展】 幾種特殊位置的圓的標準方程： （1）單位圓： （2）過原點的圓： （3）圓心在原點的圓： （4）與x軸相切的圓 （5）與y軸相切的圓： 2.下列方程是否能表示圓. （1）； （2）； （3）； （4）. 【歸納總結】 任務2：求圓的標準方程，判斷點與圓的位置關系. 求圓心為，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點，是否在這個圓上. 問題：點既然不在圓上，那么其與圓的具體位置關系是圓內還是圓外？說出理由. 思考：結合上面判斷點與圓位置關系的方法，點在圓內的條件是什么？在圓外的條件又是什么？ 【歸納總結】 練一練： 點P(-2,-2)和圓的位置關系是(　　) 在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.以上都不對
目標二：能根據所給條件求圓的標準方程，掌握圓的標準方程的求法. 任務1：探索已知圓上三點坐標，求圓的標準方程的方法. 的三個頂點分別是，，，求的外接圓的標準方程. 問題1：設出圓的標準方程，說說在標準方程中，有幾個未知數？ 問題2：結合已知條件，如何求出上面的未知數？ 思考：已知圓上三個點的坐標給如何求解圓的標準方程？ 【歸納總結】 圓的標準方程求法. （1）待定系數法： 任務2：探索利用圓的幾何性質，求圓的標準方程的方法. 已知圓心為C的圓經過，兩點，且圓心C在直線上，求此圓的標準方程. 思考1：解法一的解題思路的關鍵是什么？ 思考2：解法二的解題思路的關鍵是什么？ 【歸納總結】 圓的標準方程的求法： 幾何法： 練一練 △ABC的三個頂點的坐標是A(4，0)，B(0，2)，C(0，0). 求它的外接圓的標準方程.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 圓的標準方程是什么？ 點與圓的位置關系有有多少種，如何判斷？ 如何求圓的標準方程？
2圓的標準方程
學習目標 1.了解確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程，能根據圓的定義求出圓的標準方程.理解點與圓位置關系的條件，能判斷點與圓的位置關系. 2.能根據所給條件求圓的標準方程，掌握圓的標準方程的求法.
學習活動
導入： 《古朗月行》 唐 李白 小時不識月，呼作白玉盤。 又疑瑤臺鏡，飛在青云端。 月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當做一個圓，建立一個平面直角坐標系,那么圓的坐標方程如何表示 目標一：了解確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程，能根據圓的定義求出圓的標準方程.理解點與圓位置關系的條件，能判斷點與圓的位置關系. 任務1：探究圓的標準方程. 回顧：（1）什么是圓？在數學中是如何定義圓的？ 參考答案：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點成為圓心，定長稱為圓的半徑. （2）根據定義，說說確定圓的幾何要素是什么？ 參考答案：圓心和半徑.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小. 如圖，在平面直角坐標系中，圓的坐標為，半徑為，為圓上任意一點. 問題1：如何用集合語言描述圓的定義？ 參考答案：： 問題2：根據上述集合語言刻畫的定義，如何用關于x，y的方程式表示圓的定義呢？ 參考答案：根據兩點間的距離公式，點M的坐標滿足的條件可以表示為，兩邊平方，得. 【歸納總結】 圓的標準方程： 圓心為A(a,b），半徑為r的圓的標準方程為. 注：（1）圓的標準方程滿足兩個條件：①圓上任意一點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都在圓上. 已知圓心坐標和半徑，可以直接寫出圓的標準方程；反之，已知圓的標準方程也可以求出圓心坐標和半徑. 練一練： 1.說出下列方程所表示圓的圓心坐標和半徑. （1）； （2）； （3）； （4）. 參考答案：（1）圓心為（1，-1），r=1.（2）圓心為（0，-2），r=. （3）圓心為（-1，0），r=. （4）圓心為（-a，0），r=. 【知識拓展】 幾種特殊位置的圓的標準方程： （1）單位圓：圓心在原點，半徑r=1，； （2）過原點的圓：圓心（a，b），半徑，； （3）圓心在原點的圓：即a=0，b=0，半徑r>0，； （4）與x軸相切的圓：圓心（a，b），半徑r=|b|，； （5）與y軸相切的圓：圓心（a，b），半徑r=|a|，. 2.下列方程是否能表示圓 （1）； （2）； （3）； （4）. 參考答案：（1）能；（2）能；（3）不能；（4）不能. 【歸納總結】 圓的標準方程特點： 1.含x,y平方式的系數都為1； 2.方程右邊是某個實數的平方，即為正數. 任務2：求圓的標準方程，判斷點與圓的位置關系. 求圓心為，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點，是否在這個圓上. 參考答案：解：圓心為，半徑為5的圓的標準方程是. 把點的坐標代入方程的左邊，得，左右兩邊相等，點的坐標滿足圓的方程，所以點在這個圓上. 把點的坐標代入方程的左邊，得，左右兩邊不相等，點的坐標不滿足圓的方程，所以點不在這個圓上. 問題：點既然不在圓上，那么其與圓的具體位置關系是圓內還是圓外？說出理由. 參考答案：將點的坐標代入到圓方程的左邊可得，則點在圓內. 思考：結合上面判斷點與圓位置關系的方法，點在圓內的條件是什么？在圓外的條件又是什么？ 【歸納總結】 判斷點與圓位置關系的方法： 點在圓上； 點在圓內； 點在圓外. 練一練： 點P(-2,-2)和圓的位置關系是(　　) A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.以上都不對 參考答案：將點P的坐標代入圓的方程,則,故點P在圓外.
目標二：能根據所給條件求圓的標準方程，掌握圓的標準方程的求法. 任務1：探索已知圓上三點坐標，求圓的標準方程的方法. 的三個頂點分別是，，，求的外接圓的標準方程. 問題1：設出圓的標準方程，說說在標準方程中，有幾個未知數？ 參考答案：解：設所求的方程是，有3個未知數，分別是a，b，c. 問題2：結合已知條件，如何求出上面的未知數？ 參考答案：解：設所求的方程是.因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程.于是，即.三式兩兩相減，得，解得，代入，得.所以，的外接圓的標準方程是. 思考：已知圓上三個點的坐標給如何求解圓的標準方程？ 【歸納總結】 圓的標準方程求法. （1）待定系數法： 由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中三個參數,從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是: ①設——設所求圓的方程為； ②列——由已知條件,建立關于a，b，r的方程組; ③解——解方程組,求出a，b，r； ④代——將a，b，r代入所設方程,得所求圓的方程. 任務2：探索利用圓的幾何性質，求圓的標準方程的方法. 已知圓心為C的圓經過，兩點，且圓心C在直線上，求此圓的標準方程. 參考答案：解法1：設圓心C的坐標為.因為圓心C在直線上，所以.①因為A，B是圓上兩點，所以.根據兩點間距離公式，有，即.② 由①②可得，. 所以圓心C的坐標是.圓的半徑.所以，所求圓的標準方程是. 解法2：如圖，設線段AB的中點為D. 由A，B兩點的坐標為，，可得點D的坐標為，直線AB的斜率為.因此，線段AB的垂直平分線的方程是，即.由垂徑定理可知，圓心C也在線段AB的垂直平分線上，所以它的坐標是方程組的解.解這個方程組，得.所以圓心C的坐標是.圓的半徑. 所以，所求圓的標準方程是. 思考1：解法一的解題思路的關鍵是什么？ 參考答案：根據已知以及半徑相等兩個條件求出圓心的坐標. 思考2：解法二的解題思路的關鍵是什么？ 參考答案：理解圓上弦的中點與圓心的連線垂直該弦所在的直線，然后據此求出圓心過弦AB中點的直線方程，進而聯立兩直線方程求出圓心坐標. 【歸納總結】 圓的標準方程的求法： （2）幾何法 它是利用圖形的幾何性質,如圓的性質等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程. 練一練 △ABC的三個頂點的坐標是A(4，0)，B(0，2)，C(0，0). 求它的外接圓的標準方程. 參考答案：解法一：設所求圓的方程為：，因為A(4,0)，B(0,2)，C(0,0)都在圓上，所以，解得；所以圓的方程為. 解法二：由題可知△ABC為直角三角形，圓心為斜邊AB中點(2,1)，直徑2r=|AB|=，所以圓的方程為.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 圓的標準方程是什么？ 點與圓的位置關系有有多少種，如何判斷？ 如何求圓的標準方程？ 參考答案：
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