資源簡介

課時10 圓的一般方程
學習目標 1.理解圓的一般方程及其特點，能進行圓的一般方程與標準方程的互化. 2.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．
學習活動
目標一：理解圓的一般方程及其特點，能進行圓的一般方程與標準方程的互化. 任務1：推導圓的一般方程，探究圓的一般方程的特點. 回顧：（1）以（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程是什么？ 參考答案： （2）將其展開，思考其是關于變量x，y的什么關系式？ 參考答案：，關于變量x，y的二元二次方程，形如. 問題1：一定能通過恒等變形變為圓的標準方程嗎？D、E、F滿足什么條件時，方程表示圓？ 參考答案：不一定，理由，將配方可得,當時，原方程可表示圓. 問題2：當時，圓的一般方程中圓心、半徑如何表示？ 參考答案：圓心：;半徑. 【歸納總結】 圓的一般方程：當D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓. 幾個常見圓的一般方程: (1)過原點的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0)， (2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0)； (3)圓心在x軸上的圓的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0)； (4)圓心在x軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0)； (5)圓心在y軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 思考1：圓的標準方程與圓的一般方程各有什么特點？ 參考答案：圓的標準方程：其給出了圓心坐標和半徑；圓的一般方程：表明其形式是一種特殊的二元二次方程，代數特征非常明顯. 思考2：若D2+E2-4F<0或D2+E2-4F=0，則其分別表示什么圖形？ 參考答案：當D2+E2-4F<0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數解，故不表示任何圖形；當D2+E2-4F=0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有唯一實數解，故表示點. 練一練： 1.已知方程表示圓，則的取值范圍是　　 A． B．， C．，， D． 參考答案：解：方程表示圓， ，解得或，實數的取值范圍是，，，故選：． 2.已知圓的方程為，則圓心的坐標為　　 A． B． C． D． 參考答案：解：圓的方程為， ，圓心的坐標為．故選：．
目標二：會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題． 任務1：求圓的一般方程，歸納圓的一般方程的求法. 求過三點，，的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑. 參考答案：解：設圓的方程是.① 因為，，三點都在圓上，把它們的坐標依次代入方程①， 得，解得. 所以，所求圓的方程是. 故所求圓的圓心坐標是，半徑. 【歸納總結】 待定系數法： 1.根據題意，選擇標準方程或一般方程； 2.根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組； 3.解出a、b、r或D、E、F，得到標準方程或一般式. 思考：圓的一般方程和圓的標準方程用待定系數法有什么區別？ 參考答案：圓的一般方程待定系數法計算比較簡便. 任務2：求與圓有關的軌跡方程. 已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程. 問題1：若設，則如何用A點坐標表示M點坐標？ 參考答案：根據中點坐標公式，有，所以. 問題2：結合A的軌跡方程，M點的軌跡方程是什么？軌跡是什么圖形？ 參考答案：因為A的軌跡方程是，所以將代入A的軌跡方程中，可得，化簡得.這就是M點的軌跡方程，它表示以為圓心，1為半徑的圓. 思考：上述問題有什么特點？是如何求曲線的軌跡方程？ 【歸納總結】 1.問題特點：（1）已知一條曲線方程；（2）知道所求曲線上的動點與曲線的點關系；（3）求曲線的軌跡. 2.相關點法：（1）用的坐標表示點坐標；（2）將（1）中式子代入中；（3）變形可得. 練一練： 已知圓上動點A，x軸上定點B(2,0)，將BA延長到M，使AM＝BA，求動點M的軌跡方程． 參考答案：設A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延長線上，∴A為線段MB的中點，由中點坐標公式得，∵A在圓上運動，將點A的坐標代入圓的方程，得，化簡得(x＋4)2＋y2＝8，∴點M的軌跡方程為(x＋4)2＋y2＝8．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 圓的一般方程有什么特點？ 根據圓的一般方程如何求圓心坐標與半徑？ 如何求與圓有關的軌跡方程？ 參考答案：
2圓的一般方程
學習目標 1.理解圓的一般方程及其特點，能進行圓的一般方程與標準方程的互化. 2.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．
學習活動
目標一：理解圓的一般方程及其特點，能進行圓的一般方程與標準方程的互化. 任務1：推導圓的一般方程，探究圓的一般方程的特點. 回顧：（1）以（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程是什么？ （2）將其展開，思考其是關于變量x，y的什么關系式？ 問題1：一定能通過恒等變形變為圓的標準方程嗎？D、E、F滿足什么條件時，方程表示圓？ 問題2：當時，圓的一般方程中圓心、半徑如何表示？ 【歸納總結】 圓的一般方程： 幾個常見圓的一般方程: (1)過原點的圓的方程: (2)圓心在y軸上的圓的方程: (3)圓心在x軸上的圓的方程: (4)圓心在x軸上且過原點的圓的方程: (5)圓心在y軸上且過原點的圓的方程: 思考1：圓的標準方程與圓的一般方程各有什么特點？ 思考2：若D2+E2-4F<0或D2+E2-4F=0，則其分別表示什么圖形？ 練一練： 1.已知方程表示圓，則的取值范圍是　　 A． B．， C．，， D． 2.已知圓的方程為，則圓心的坐標為　　 A． B． C． D．
目標二：會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題． 任務1：求圓的一般方程，歸納圓的一般方程的求法. 求過三點，，的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑. 【歸納總結】 待定系數法： 思考：圓的一般方程和圓的標準方程用待定系數法有什么區別？ 任務2：求與圓有關的軌跡方程. 已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程. 問題1：若設，則如何用M點坐標表示A點坐標？ 問題2：結合A的軌跡方程，M點的軌跡方程是什么？軌跡是什么圖形？ 思考：上述問題有什么特點？是如何求曲線的軌跡方程？ 【歸納總結】 問題特點： 相關點法： 練一練： 已知圓上動點A，x軸上定點B(2,0)，將BA延長到M，使AM＝BA，求動點M的軌跡方程．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 圓的一般方程有什么特點？ 根據圓的一般方程如何求圓心坐標與半徑？ 如何求與圓有關的軌跡方程？
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