資源簡介

課時2 直線與圓的位置關系
學習目標 能利用直線與圓位置關系解決實際問題.
學習活動
導入：一個臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危險區，城市B在A地正東40km處，則城市B處于危險區的時間為多長？ 目標：能利用直線與圓位置關系解決實際問題. 任務1：利用坐標法解決建筑的高度問題. 如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m). 思考1：結合上述的建系過程，討論該如何建立合適的平面直角坐標系？ 【歸納總結】 問題：如何利用綜合法（幾何法）求解該問題？ 思考2：比較上述兩種方法，它們各自有什么特點？ 任務2：利用直線與圓的位置關系判斷航程安全問題. 一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20 km的圓形區域內．已知小島中心位于輪船正西40 km處，港口位于小島中心正北30 km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？ 問題1：結合已知，畫出示意圖，如何將其轉化為數學問題？ 問題2：輪船的航線與圓的位置關系是什么？ 思考：結合任務1、任務2討論如何利用坐標法解決平面幾何問題？ 【歸納總結】 坐標法解決平面幾何問題基本步驟： 練一練 一個臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危險區，城市B在A地正東40km處，則城市B是否處于危險區，如果是，時長為多少？
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何利用坐標法求解直線與圓的實際問題？ 坐標法與綜合法（幾何法）在解決直線與圓的問題中的特點是什么？
2課時2 直線與圓的位置關系
學習目標 能利用直線與圓位置關系解決實際問題.
學習活動
導入：一個臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危險區，城市B在A地正東40km處，則城市B處于危險區的時間為多長？ 目標：能利用直線與圓位置關系解決實際問題. 任務1：利用坐標法解決建筑的高度問題. 如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m). 參考答案：解：建立如圖所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上. 由題意得，點P，B的坐標分別為（0,4)，(10,0),設圓心坐標是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .因為P,B兩點都在圓上，所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得 到方程組 解得b=－10.5, r2=14.52所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把點的橫坐標x=-2代入圓的方程，得，即.所以 答：支柱的高度約為3.86 m. 思考1：結合上述的建系過程，討論該如何建立合適的平面直角坐標系？ 【歸納總結】 ①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸. ②常選特殊點作為直角坐標系的原點. ③盡量使已知點位于坐標軸上. 問題：如何利用綜合法（幾何法）求解該問題？ 解：如圖，過點作，垂足為，所以|OP|=4，|OA|=10，點C為圓拱所在圓的圓心. 在Rt△AOC中，有，解得r=14.5. 在中，有，因為，所以，又因為OC=14.5-4=10.5，于是 答：支柱的高度約為3.86 m. 思考2：比較上述兩種方法，它們各自有什么特點？ 參考答案：坐標法：通過建立坐標系，將問題轉化為代數問題，然后通過代數運算求解，方法具有普適性；綜合法（幾何法）：需要熟悉幾何圖形的性質，然后通過添加輔助線，運用垂徑定理、勾股定理等有關性質定理計算求解，技巧性較高，不宜掌握. 任務2：利用直線與圓的位置關系判斷航程安全問題. 一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20 km的圓形區域內．已知小島中心位于輪船正西40 km處，港口位于小島中心正北30 km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？ 問題1：結合已知，畫出示意圖，如何將其轉化為數學問題？ 參考答案： 如圖， 根據題意，建立適當的平面直角坐標系，圓形區域表示暗礁所在區域，箭頭表示輪船返港的路線，問題轉化為利用方程判斷直線與圓的位置關系，進而確定輪船是否有觸礁危險． 問題2：輪船的航線與圓的位置關系是什么？ 參考答案：解法1.以小島的中心為原點O,東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，為了運算的簡便，我們取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0,3),輪船所在位置的坐標為(4,0). 則暗礁所在圓形區域邊緣對應圓O的方程為 ,其圓心坐標（0，0），半徑為2；輪船航線所在直線l方程為 ，即.聯立直線與圓的方程，得，消去y，得，由，可知方程組無解。所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險. 解法2.在解法1的基礎上，利用點到直線距求得圓形O到直線l的距離，可知直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險. 解法3.如圖過O做直線AB的垂線，設其長度為d. 由題可知AB=5，利用等面積法求得,因此直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險. 思考：結合任務1、任務2討論如何利用坐標法解決平面幾何問題？ 【歸納總結】 坐標法解決平面幾何問題基本步驟： 1.建立平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何要素； 2.代數運算，得到相關代數結果； 3.把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論. 練一練 一個臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危險區，城市B在A地正東40km處，則城市B是否處于危險區，如果是，時長為多少？ 參考答案：以A地為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系. 由題意可知，臺風的軌跡為過A點，傾斜角為45°的直線l方程：y=x.以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓的方程為，所以圓心B到直線l的距離，所以城市B處于危險區，利用弦長公式可求得弦長為20，所以t=1.故城市B是否處于危險區，且時長為1h.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何利用坐標法求解直線與圓的實際問題？ 坐標法與綜合法（幾何法）在解決直線與圓的問題中的特點是什么？ 參考答案：
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