資源簡介

橢圓及其標準方程
學習目標 1.經歷橢圓的形成過程，理解橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念. 2.類比圓的方程的推導過程嘗試推導并掌握橢圓標準方程.
學習活動
導入： 1.觀察衛星軌跡，說說衛星軌跡是什么圖形？ 2.在日常生活中還有哪些橢圓的例子？ 目標一：經歷橢圓的形成過程，理解橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念,培養數學抽象的素養. 任務1：回答問題，知道圓錐曲線類型. 1.觀察下列圓錐，假如用一個平面去截這個圓錐，截面是什么形狀？ 任務2：觀察下列動畫演示，歸納橢圓概念. 取一條定長的細繩，兩端固定在圖版的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓，如果把繩子兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的是什么曲線？ 問題1：在上述過程中，移動的筆尖（動點M）滿足什么幾何條件？ 問題2：繩子拉開固定的距離恰好等于繩長，即，筆尖移動的軌跡是什么？還是橢圓嗎？ 思考：我們知道平面內到點的距離等于定長的點的軌跡是圓，那么結合問題1、2，橢圓的定義是什么？ 【新知講解】 橢圓定義： 注意： 練一練 1.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是10 ，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡 2.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是 8 ，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡 3.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是 7，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段 C.直線 D.無軌跡
目標二：類比圓的方程的推導過程嘗試推導并掌握橢圓標準方程,培養數學運算和邏輯推理的核心素養. 任務1：回顧圓的方程的推導過程. 圓的方程推導過程中我們采用了什么方法？推導原理是什么？ 任務2：類比圓的方程的推導，探究橢圓方程. 1.橢圓圖形有什么特點？該如何建立平面直角坐標系？ 2.若設點M（x,y）是橢圓上任意一點，焦距為2c（c>0）,點M與焦點、的距離和為2a，如何用集合語言表示橢圓？據此你能推導橢圓方程嗎？ 思考1：橢圓曲線上的點都滿足方程嗎？ 思考2：下圖中，有哪些線段表示a，c，？ 【新知講解】 橢圓的標準方程： 思考3：如果焦點在y軸上，且的坐標分別為的意義同上，那么橢圓的方程是什么？ 【歸納總結】 1.焦點在x軸上的標準方程： 2.焦點在y軸上的標準方程： 問題： 1.橢圓的兩種標準方程有什么異同點？ 2.如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？ 練一練 完成下列表格
學習總結
任務：回答下列問題，利用表格列出橢圓方程的聯系與區別. 橢圓根據焦點的不同有哪些方程？二者有什么聯系和區別？
2橢圓及其標準方程
學習目標 1.經歷橢圓的形成過程，理解橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念. 2.類比圓的方程的推導過程嘗試推導并掌握橢圓標準方程.
學習活動
導入： 1.觀察衛星軌跡，說說衛星軌跡是什么圖形？ 2.在日常生活中還有哪些橢圓的例子？ 目標一：經歷橢圓的形成過程，理解橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念,培養數學抽象的素養. 任務1：回答問題，知道圓錐曲線類型. 1.觀察下列圓錐，假如用一個平面去截這個圓錐，截面是什么形狀？ 參考答案：圓形、橢圓形、雙曲線形、拋物線形.參考課件\2\圓與橢圓截面.mp4、參考課件\2\雙曲線截面.mp4、參考課件\2\拋物線截面.mp4. 【新知講解】 圓錐曲線：橢圓、拋物線、雙曲線. 任務2：觀察下列動畫演示，歸納橢圓概念. 取一條定長的細繩，兩端固定在圖版的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓，如果把繩子兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的是什么曲線？ 參考答案：橢圓. 參考課件\2\橢圓圖象.mp4 問題1：在上述過程中，移動的筆尖（動點M）滿足什么幾何條件？ 參考答案：繩長. 問題2：繩子拉開固定的距離恰好等于繩長，即，筆尖移動的軌跡是什么？還是橢圓嗎？ 參考答案：線段. 思考：我們知道平面內到點的距離等于定長的點的軌跡是圓，那么結合問題1、2，橢圓的定義是什么？ 【新知講解】 橢圓定義： 平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距. 注意： （1）必須在平面內； （2）兩個定點---兩點間距離確定； （3）繩長---軌跡上任意點到兩定點距離和確定. 練一練 1.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是10 ，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡 2.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是 8 ，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡 3.平面內，動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是 7，則動點P的軌跡為（ ） A.橢圓 B.線段 C.直線 D.無軌跡 參考答案：1.A，2.B，3.D.
目標二：類比圓的方程的推導過程嘗試推導并掌握橢圓標準方程,培養數學運算和邏輯推理的核心素養. 任務1：回顧圓的方程的推導過程. 圓的方程推導過程中我們采用了什么方法？推導原理是什么？ 參考答案：坐標法，即通過建系，設出動點坐標，再依據圓的定義“平面上到定點距離等于定長”、兩點間距離公式，列出方程化簡. 任務2：類比圓的方程的推導，探究橢圓方程. 1.橢圓圖形有什么特點？該如何建立平面直角坐標系？ 參考答案：軸對稱曲線圖形；根據橢圓的對稱軸建立平面直角坐標系，即把經過橢圓的兩焦點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖. 2.若設點M（x,y）是橢圓上任意一點，焦距為2c（c>0）,點M與焦點、的距離和為2a，如何用集合語言表示橢圓？據此你能推導橢圓方程嗎？ 參考答案： 由圖可知，焦點，根據橢圓定義，可知①，即，然后兩邊平方可得，整理，得，然后兩邊平方，得，整理，得②，然后兩邊用除以，得③.由橢圓定義可知，2a>2c>0，即a>c>0,所以. 思考1：橢圓曲線上的點都滿足方程嗎？ 參考答案：滿足.根據推導過程可知，方程①到③的變形，都是同解變形，因此橢圓上任意一點坐標（x，y）都滿足方程③；反之，以方程③的解為坐標的點都在橢圓上. 思考2：下圖中，有哪些線段表示a，c，？ 參考答案： 【新知講解】 令，那么叫做橢圓的標準方程.它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是，中心在坐標原點的橢圓方程,其中a>b>0，且. 思考3：如果焦點在y軸上，且的坐標分別為的意義同上，那么橢圓的方程是什么？ 參考答案：將方程中的x,y調換，即可得焦點在y軸的橢圓方程：. 【歸納總結】 1.焦點在x軸上的標準方程：（）； 2.焦點在y軸上的標準方程：（）； 其中 . 問題： 1.橢圓的兩種標準方程有什么異同點？ 參考答案：（1）形式上：平方+平方=1，且； （2）細節上：x和y順序交換（焦點位置不同）. 2.如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？ 參考答案：哪個變量下的分母大,焦點就在哪個軸上. 練一練 完成下列表格參考答案：
學習總結
任務：回答下列問題，利用表格列出橢圓方程的聯系與區別. 1.橢圓根據焦點的不同有哪些方程？二者有什么聯系和區別？ 參考答案：
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