資源簡介

課時2 橢圓及其標準方程
學習目標 1.掌握橢圓標準方程的求法，求橢圓的標準方程. 2.能根據已知條件，求與橢圓有關的軌跡方程.
學習活動
導入： 1.橢圓定義是什么 其標準方程有幾種形式？ 目標一：掌握橢圓標準方程的求法，求解橢圓的標準方程. 任務1：求橢圓方程，并歸納求解方法. 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經過點，求它的標準方程. 思考：法1、法2分別采用了什么方法求橢圓方程，二者之間有什么區別和聯系？ 【歸納總結】 已知橢圓上一點坐標及焦點坐標，求橢圓方程方法： 練一練 已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為．點在橢圓上，且焦距為4．求橢圓的方程．
目標二：能根據已知條件，求與橢圓有關的軌跡方程. 任務1：根據已知，利用相關點法求與橢圓有關的軌跡問題. 如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？ 思考1：如何利用相關點法求軌跡？ 【歸納總結】 相關點法求軌跡問題步驟. 思考2：圓可以通過“壓縮”得到橢圓，那么圓通過“拉伸”可以得到橢圓嗎？由此橢圓與圓之間有什么關系？ 任務2：根據已知，求下列軌跡方程，理解橢圓的性質. 如圖,設點A、B的坐標分別為,直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程. 思考：1.當一個動點與兩個定點連線的斜率之積為-1時，動點軌跡是什么？ 2.當一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個正常數，動點軌跡又是什么？ 【歸納總結】 橢圓的性質： 練一練 設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．求點的軌跡方程．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何求橢圓的標準方程？ 根據已知，如何求橢圓的軌跡方程？
2橢圓及其標準方程
學習目標 1.掌握橢圓標準方程的求法，求橢圓的標準方程. 2.能根據已知條件，求與橢圓有關的軌跡方程.
學習活動
導入： 1.橢圓定義是什么 其標準方程有幾種形式？ 參考答案： （1）定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓. （2）焦點在x軸上的標準方程：（）； 焦點在y軸上的標準方程：（）. 目標一：掌握橢圓標準方程的求法，求解橢圓的標準方程. 任務1：求橢圓方程，并歸納求解方法. 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經過點，求它的標準方程. 參考答案：法1.解：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為.由橢圓的定義知，，所以. 所以.所以，所求橢圓的標準方程為. 法2.解：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為.由橢圓的定義知，又因為橢圓經過點，所以將該點代入橢圓方程可得，，與聯立，可得.所以.所以，所求橢圓的標準方程為. 思考：法1、法2分別采用了什么方法求橢圓方程，二者之間有什么區別和聯系？ 【歸納總結】 已知橢圓上一點坐標及焦點坐標，求橢圓方程方法： 定義法，即根據已知條件，利用兩點間距離公式求出參數a、b、c，進而求得橢圓方程； （2）待定系數法，先根據題意設出橢圓標準方程，在代點列出關于a、b的方程組，通過解方程組，求解橢圓標準方程. 練一練 已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為．點在橢圓上，且焦距為4．求橢圓的方程． 參考答案：解：由題意，則，，，解得，，所以橢圓的方程為：.
目標二：能根據已知條件，求與橢圓有關的軌跡方程. 任務1：根據已知，利用相關點法求與橢圓有關的軌跡問題. 如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？ 參考答案：解：設點M的坐標為，點P的坐標為，則點D的坐標為.由點M是線段PD的中點，得.因為點在圓上，所以.①把代入方程①，得，即.所以點M的軌跡是橢圓. 思考1：如何利用相關點法求軌跡？ 【歸納總結】 相關點法求軌跡問題步驟. 1.設所求動點P（x,y），已知動點，的坐標滿足關系f(x，y）=0； 2.找出P與坐標之間的關系，并表示為； 3.將（2）中的關系式代入f(x，y），即得所求動點P（x,y）的軌跡方程. 思考2：圓可以通過“壓縮”得到橢圓，那么圓通過“拉伸”可以得到橢圓嗎？由此橢圓與圓之間有什么關系？ 參考答案：可以，通過伸縮變換，圓可以得到橢圓，也可以由橢圓得到圓. 任務2：根據已知，求下列軌跡方程，理解橢圓的性質. 如圖,設點A、B的坐標分別為,直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程. 參考答案：解：設點M的坐標為(x,y),因為點A的坐標是(-5,0),所以直線AM的斜率為，同理，直線BM的斜率由已知，有化簡，得點M的軌跡方程為 點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的橢圓. 思考：1.當一個動點與兩個定點連線的斜率之積為-1時，動點軌跡是什么？ 2.當一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個正常數，動點軌跡又是什么？ 參考答案：1.圓；2.雙曲線. 【歸納總結】 橢圓的性質：連接橢圓上的點（長軸的端點除外）與長軸的兩個端點的兩條直線的斜率之積為定值，是一個不變量. 練一練 設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．求點的軌跡方程． 參考答案：設，，由題意可得，， 設，由點滿足,可得，， 可得，，即有，，代入橢圓方程，可得，即有點的軌跡方程為圓.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何求橢圓的標準方程？ 根據已知，如何求橢圓的軌跡方程？ 參考答案：
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