資源簡介

拋物線及其標準方程
學習目標 1.能通過繪制拋物線的過程，確定拋物線上的點滿足的幾何條件，明確拋物線的幾何特征，理解拋物線的概念. 2.能通過建立適當的坐標系，列出拋物線上的點的坐標滿足的方程，化簡得到拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題.
學習活動 學習筆記
導入： 點M到定點F的距離與M到定直線l（不過點F）的距離之比為當時，點M的軌跡為橢圓；當k>1時，點M的軌跡為雙曲線；當k=1時，即動點M到定點F的距離與它到定直線l的距離相等時，點M的軌跡會是什么形狀？ 目標一：能通過繪制拋物線的過程，確定拋物線上的點滿足的幾何條件，明確拋物線的幾何特征，理解拋物線的概念. 任務：觀察幾何畫板，歸納曲線的幾何特征. 設是定點，是不經過點的定直線.是直線上任意一點，過點作線段的垂直平分線交于點拖動點點隨之運動. 拋物線 (1).mp4 問題1.點M滿足什么幾何條件？ 問題2.點M的軌跡是什么形狀？ 【歸納總結】 拋物線的概念： 思考1.若定直線l經過點F，則動點的軌跡是什么？ 練一練： 動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡是　　 A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.拋物線
目標二：能通過建立適當的坐標系，列出拋物線上的點的坐標滿足的方程，化簡得到拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題. 任務1：類比橢圓、雙曲線建立適當的坐標系，推導拋物線的標準方程. 問題1.如圖，類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，該如何建立平面直角坐標系？ 問題2.類比橢圓、雙曲線的軌跡方程求法，結合建立的平面直角坐標系，如何求拋物線的標準方程？ 思考2：對比上述三種建系方法，哪種建系比較簡單合理？ 【歸納總結】 拋物線標準方程： 任務2：完成教材P131探究，歸納拋物線標準方程的四種類型. 【歸納總結】 思考3：拋物線的四種形式的標準方程有什么相同點？如何根據拋物線的標準方程判斷焦點位置？ 思考4：二次函數的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標、準線方程分別是多少？ 練一練： 1.已知拋物線的標準方程是求它的焦點坐標和準線方程； 2.已知拋物線的焦點是求它的標準方程. 任務3：利用拋物線標準方程解決實際問題. 一種衛星接收天線如下圖左所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如下圖（1），已知接收天線的口徑（直徑）為4.8 m，深度為1 m. 問題1：如何建立適當的平面直角坐標系？ 問題2：該拋物線的標準方程和焦點坐標分別是多少？ 思考5：利用拋物線求解實際問題有哪些步驟？ 【歸納總結】 拋物線求解實際問題步驟：
學習總結
任務：回答下列問題，完成表格. 什么是拋物線？ 拋物線標準方程幾種類型，對應的焦點坐標、準線方程分別是多少？
2拋物線及其標準方程
學習目標 1.能通過繪制拋物線的過程，確定拋物線上的點滿足的幾何條件，明確拋物線的幾何特征，理解拋物線的概念. 2.能通過建立適當的坐標系，列出拋物線上的點的坐標滿足的方程，化簡得到拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題.
學習活動 路徑與學法
導入： 點M到定點F的距離與M到定直線l（不過點F）的距離之比為當時，點M的軌跡為橢圓；當k>1時，點M的軌跡為雙曲線；當k=1時，即動點M到定點F的距離與它到定直線l的距離相等時，點M的軌跡會是什么形狀？ 目標一：能通過繪制拋物線的過程，確定拋物線上的點滿足的幾何條件，明確拋物線的幾何特征，理解拋物線的概念. 任務：觀察幾何畫板，歸納曲線的幾何特征. 設是定點，是不經過點的定直線.是直線上任意一點，過點作線段的垂直平分線交于點拖動點點隨之運動. 拋物線 (1).mp4 問題1.點M滿足什么幾何條件？ 參考答案：（1），且 問題2.點M的軌跡是什么形狀？ 參考答案：類似于拋物線. 【歸納總結】 拋物線的概念：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線. 思考1.若定直線l經過點F，則動點的軌跡是什么？ 參考答案：直線l. 練一練： 動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡是　　 A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.拋物線 參考答案：解：動點到點的距離比它到直線的距離大1，將直線向左平移1個單位，得到直線， 可得點到點的距離等于它到直線的距離． 因此點的軌跡是拋物線，故選：． 圍繞導入： 1.回顧橢圓和雙曲線的第二定義，然后提出問題：點M到定點F的距離與M到定直線l（不過點F）的距離之比為1時，M的軌跡是什么？ 圍繞任務： 組織學生觀察拋物線圖象，并回答問題1，2； 教師點評，然后組織學生根據回答，類比橢圓與圓錐曲線的第二定義，歸納拋物線的定義； 教師點評，講解拋物線的概念，然后組織學生完成思考1； 教師點評. 圍繞練一練： 利用即時互動組織學生完成； 教師查看學生作答情況，選擇回答錯誤的學生講解，其他學生評價，找出錯因，并糾正； 教師點評.
目標二：能通過建立適當的坐標系，列出拋物線上的點的坐標滿足的方程，化簡得到拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題. 任務1：類比橢圓、雙曲線建立適當的坐標系，推導拋物線的標準方程. 問題1.如圖，類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，該如何建立平面直角坐標系？ 參考答案： 第一種，以拋物線的焦點為原點建立坐標系，如下左圖所示； 第二種，以拋物線的準線為軸建立坐標系，如下中圖所示； 第三種，過拋物線的焦點向準線作垂線，以垂線與拋物線的交點為原點，以垂線為軸建立坐標系，如下右圖所示. 問題2.類比橢圓、雙曲線的軌跡方程求法，結合建立的平面直角坐標系，如何求拋物線的標準方程？ 參考答案：解：1.如圖（1）所示，取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l 相交與點K，以F為原點，過點F作垂直于x軸的直線y軸，建立直角坐標系xoy.設拋物線的焦點F到準線的距離為p，則 ，焦點F的坐標為，準線，設拋物線上任意一點，則 . 2.如圖（2）所示，取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，以準線l所在直線為y軸，建立直角坐標系xoy.設拋物線的焦點F到準線的距離為p，則 ，焦點F的坐標為，準線，設拋物線上任意一點，則 . 3.如圖（3）所示，取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l 相交與點K，以FK為的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xoy.設拋物線的焦點F到準線的距離為p，則 ，焦點F的坐標為，準線，設拋物線上任意一點，則 . 思考2：對比上述三種建系方法，哪種建系比較簡單合理？ 【歸納總結】 拋物線標準方程：把叫做“頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上”的拋物線的標準方程.焦點F的坐 標為：，準線l的方程為：，開口向右，其中p為正數，它的幾何意義是：焦點到準線的距離（簡稱“焦準距”）. 任務2：完成教材P131探究，歸納拋物線標準方程的四種類型. 【歸納總結】 思考3：拋物線的四種形式的標準方程有什么相同點？如何根據拋物線的標準方程判斷焦點位置？ 參考答案： 共同特點：左邊都是二次式,且系數為1；右邊都是一次式. 判斷焦點位置方法：在標準形式下，看一次項，（1）若一次項的變量為x（或y），則焦點就在x（或y）軸上；（2）若一次項的系數為正（或負），則焦點在正（或負）半軸. 思考4：二次函數的圖象為什么是拋物線？它的焦點坐標、準線方程分別是多少？ 參考答案：，根據拋物線的標準方程可知，二次函數的圖象是焦點在y軸上的拋物線，其中焦點坐標為，準線方程為. 練一練： 1.已知拋物線的標準方程是求它的焦點坐標和準線方程； 2.已知拋物線的焦點是求它的標準方程. 參考答案：1.因為p=3，所以焦點坐標為，準線方程是. 2.因為拋物線的焦點在y軸負半軸上，且，p=4，所以拋物線的標準方程是. 任務3：利用拋物線標準方程解決實際問題. 一種衛星接收天線如下圖左所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如下圖（1），已知接收天線的口徑（直徑）為4.8 m，深度為1 m. 問題1：如何建立適當的平面直角坐標系？ 參考答案：如圖，在接收天線的軸截面所在的平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在x軸上. 問題2：該拋物線的標準方程和焦點坐標分別是多少？ 參考答案：設拋物線的標準方程是．由已知條件可知，點A的坐標為 (1, 2.4) ，將其代入方程，得 ，解得p=2.88．所以，所求拋物線為，焦點坐標為(1.44,0)． 思考5：利用拋物線求解實際問題有哪些步驟？ 【歸納總結】 拋物線求解實際問題步驟： （1）抽象：將實際問題抽象為數學問題； （2）建系：建立適當平面直角坐標系； （3）求解：設出合適的拋物線標準方程，并求解； （4）還原：還原到實際問題中,從而解決實際問題. 圍繞任務1： 組織學生小組討論完成問題1,2，并寫出過程，拍照上傳； 教師巡屏，選擇不同建系的答案展示，并由相應學生講解，其他學生評價； 教師點評，講解展示，然后組織學生完成思考2； 教師點評，歸納總結. 圍繞任務2： 組織學生小組討論完成P131探究表格，并將答案拍照上傳； 教師巡屏，查看學生作答情況，選擇正確答案展示，并由相應小組講解，其他小組評價； 教師點評，強調在四種類型的方程中p>0； 組織學生小組討論完成思考3； 教師點評，強調焦點位置判斷方法； 組織學生完成思考4； 教師點評. 圍繞練一練： 隨機選擇兩位學生臺上完成，其他學生臺下完成； 組織臺上學生講解其解題過程，其他學生評價； 教師點評，講解. 圍繞任務3： 組織學生閱讀材料，然后回答問題1； 教師點評，組織學生思考回答問題2； 隨機選擇學生展示答案，并講解，其他學生評價； 教師點評，講解，然后組織學生獨立完成思考5； 隨機選擇學生回答，其他學生評價； 教師點評，歸納總結.
學習總結
任務：回答下列問題，完成表格. 什么是拋物線？ 拋物線標準方程幾種類型，對應的焦點坐標、準線方程分別是多少？ 參考答案： 圍繞任務： 組織學生填寫表格； 隨機選擇學生回答，其他學生評價； 2.教師點評.
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