資源簡介

1.1 課時2 瞬時變化率與導數
【學習目標】
1.通過實例領悟瞬時速度、瞬時變化率(導數)的概念,會求簡單函數的瞬時變化率.(數學抽象、數學運算)
2.了解導數的實際背景,體會導數的內涵與思想.(數學抽象)
【自主預習】
1.瞬時速度的概念和計算方法是哪位科學家給出的
2.瞬時速度與平均速度有什么關系
3.根據瞬時速度的定義,想一想瞬時變化率是如何定義的
4.函數的瞬時變化率與函數的導數有什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)瞬時變化率是刻畫某函數在區間(v,d)上函數值的變化快慢的物理量. (　　)
(2)函數y=f(x)在x=x0處的導數值與d的正、負無關. (　　)
(3)設x=x0+d,當d→0時,x→x0,因此,→f'(x0). (　　)
2.當自變量從x0變到x1時,函數值的增量與相應自變量的增量之比是函數(　　).
A.在區間[x0,x1]上的平均變化率
B.在x0處的變化率
C.在x1處的變化量
D.在區間[x0,x1]上的導數
3.已知f'(1)=1,則當d→0時,→　　　.
【合作探究】
探究1 瞬時速度
跳水運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
問題1:求運動員在0,這段時間內的平均速度.
問題2:運動員在0,這段時間內是靜止的嗎
問題3:你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題
問題4:在高臺跳水運動中,平均速度不能反映運動員在這段時間內的運動狀態,需要用瞬時速度描述運動狀態.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.如何求瞬時速度呢
新知生成
若物體的運動方程為s=f(t),則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趨近于0時的極限,這個極限記為.
應注意的是,這里用“趨近于0”來表述,是因為我們研究的是平均速度趨近于某一時刻的變化過程,在這個過程中,時間間隔d雖然越來越短,但始終不能為0.
新知運用
例1　若一物體的運動方程為s(t)=求此物體在t=1和t=3時的瞬時速度.
【方法總結】　　求瞬時速度的三個步驟:(1)求時間改變量d和位移改變量s(t+d)-s(t);(2)求平均速度v(t,d);(3)求瞬時速度,當d無限趨近于0時,v(t,d)無限趨近于常數v,即得瞬時速度.
某汽車啟動階段的位移函數為s(t)=2t3-5t2(s的單位:米,t的單位:秒),則當t=2秒時,汽車的瞬時速度是　　　　　　　　.
探究2 函數的瞬時變化率——導數
問題1:函數的平均變化率與瞬時變化率有什么區別和聯系
問題2:f'(x0)與f'(x)的區別是什么
新知生成
1.瞬時變化率
一般地,若函數y=f(x)的平均變化率在d趨近于0時,有確定的極限值,則稱這個值為該函數在 x=u處的瞬時變化率.函數的瞬時變化率,數學上叫作函數的導數或微商.
2.在某點處的導數
定義:設函數y=f(x)在包含x0的某個區間上有定義,在d趨近于0時,如果比值 趨近于一個確定的極限值,那么稱此極限值為函數y=f(x)在x=x0處的導數或微商,記作f'(x0).這時我們就說f(x)在點x0處的導數存在,或者說f(x)在點x0處可導或可微.
上述定義可以簡單地描述為:→f'(x0)(d→0),讀作“d趨近于0時,趨近于f'(x0)”.可以簡記為f'(x0)=.
3.導函數
若y=f(x)在定義區間中任一點的導數都存在,則f'(x)(或y')也是x的函數,我們把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的導函數或一階導數.
既然導函數f'(x)也是函數,若f'(x)在定義區間中任一點處都可導,則它的導數叫作f(x)的二階導數,記作f″(x).類似地,可以定義三階導數f (x)等.
新知運用
例2　求函數f(x)=2x2+4x在x=3處的導數.
【方法總結】　　根據導數的定義,求函數y=f(x)在點x0處的導數的步驟
(1)求函數值的差f(x0+d)-f(x0);
(2)求差商;
(3)取極限,d→0得導數f'(x0).
求函數f(x)=x-在x=1處的導數.
探究3 導數的實際意義
例3　高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)之間的關系式為h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求運動員在t0=時的瞬時速度,并解釋此時運動員的狀況.
一條水管中流過的水量y(單位:m3)是關于時間t(單位:s)的函數,且y=f(t)=3t,求函數y=f(t)在t=2處的導數f'(2),并解釋它的實際意義.
【隨堂檢測】
1.已知一做直線運動的物體,其位移s與時間t的關系是s=s(t)=3t-t2,則此物體在t=2時的瞬時速度為(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.函數y=f(x)=x2在x=1處的導數為(　　).
A.2x B.2+d C.2 D.1
3.設f(x)=ax+4,若f'(1)=2,則a=　　　　.
4.一物體的運動方程為s=7t2-13t+8,且在t=t0時的瞬時速度為1,求t0的值.
21.1 課時2 瞬時變化率與導數
【學習目標】
1.通過實例領悟瞬時速度、瞬時變化率(導數)的概念,會求簡單函數的瞬時變化率.(數學抽象、數學運算)
2.了解導數的實際背景,體會導數的內涵與思想.(數學抽象)
【自主預習】
1.瞬時速度的概念和計算方法是哪位科學家給出的
【答案】　牛頓.
2.瞬時速度與平均速度有什么關系
【答案】　平均速度只能粗略地描述物體的運動狀態,并不能反映物體在某一時刻的瞬時速度.當時間間隔趨近于0時,平均速度就無限趨近于某一時刻的瞬時速度.
3.根據瞬時速度的定義,想一想瞬時變化率是如何定義的
【答案】　若函數y=f(x)的平均變化率在d趨近于0時有確定的極限值,則稱這個值為該函數在x=u處的瞬時變化率.
4.函數的瞬時變化率與函數的導數有什么關系
【答案】　函數的瞬時變化率就是函數的導數.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)瞬時變化率是刻畫某函數在區間(v,d)上函數值的變化快慢的物理量. (　　)
(2)函數y=f(x)在x=x0處的導數值與d的正、負無關. (　　)
(3)設x=x0+d,當d→0時,x→x0,因此,→f'(x0). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.當自變量從x0變到x1時,函數值的增量與相應自變量的增量之比是函數(　　).
A.在區間[x0,x1]上的平均變化率
B.在x0處的變化率
C.在x1處的變化量
D.在區間[x0,x1]上的導數
【答案】　A
3.已知f'(1)=1,則當d→0時,→　　　.
【答案】　1
【解析】　當d→0時,→f'(1)=1.
【合作探究】
探究1 瞬時速度
跳水運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
問題1:求運動員在0,這段時間內的平均速度.
【答案】　==0(m/s),
即運動員在0,這段時間內的平均速度是0 m/s.
問題2:運動員在0,這段時間內是靜止的嗎
【答案】　運動員在這段時間里顯然不是靜止的.
問題3:你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題
【答案】　由上面的計算結果可以看出,平均速度并不能反映出運動員的運動狀態,特別是當運動的方向改變時.
問題4:在高臺跳水運動中,平均速度不能反映運動員在這段時間內的運動狀態,需要用瞬時速度描述運動狀態.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.如何求瞬時速度呢
【答案】　時間長度趨近于0時的平均速度即瞬時速度.
新知生成
若物體的運動方程為s=f(t),則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趨近于0時的極限,這個極限記為.
應注意的是,這里用“趨近于0”來表述,是因為我們研究的是平均速度趨近于某一時刻的變化過程,在這個過程中,時間間隔d雖然越來越短,但始終不能為0.
新知運用
例1　若一物體的運動方程為s(t)=求此物體在t=1和t=3時的瞬時速度.
【解析】　當t=1時,s(t)=3t2+2,
所以v(1,d)===6+3d,
當d趨近于0時,上式趨近于6;
當t=3時,s(t)=29+3(t-3)2,
所以v(3,d)===3d,
當d趨近于0時,上式趨近于0.
所以物體在t=1和t=3時的瞬時速度分別是6和0.
【方法總結】　　求瞬時速度的三個步驟:(1)求時間改變量d和位移改變量s(t+d)-s(t);(2)求平均速度v(t,d);(3)求瞬時速度,當d無限趨近于0時,v(t,d)無限趨近于常數v,即得瞬時速度.
某汽車啟動階段的位移函數為s(t)=2t3-5t2(s的單位:米,t的單位:秒),則當t=2秒時,汽車的瞬時速度是　　　　　　　　.
【答案】　4米/秒
【解析】　因為s(2+d)-s(2)=2d3+7d2+4d,所以v(2,d)=2d2+7d+4,
當d趨近于0時,上式趨近于4,所以汽車的瞬時速度是4米/秒.
探究2 函數的瞬時變化率——導數
問題1:函數的平均變化率與瞬時變化率有什么區別和聯系
【答案】　(1)平均變化率與瞬時變化率的區別:平均變化率刻畫函數值在區間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數值在x=x0處變化的快慢.
(2)平均變化率與瞬時變化率的聯系:當d趨近于0時,平均變化率趨近于一個常數,這個常數為函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率,它是一個固定值.
問題2:f'(x0)與f'(x)的區別是什么
【答案】　f'(x)是函數f(x)的導函數,簡稱導數,是對一個區間而言的,它是一個確定的函數,依賴于函數本身,而與x0,d無關;f'(x0)表示的是函數f(x)在x=x0處的導數,是對一個點而言的,它是一個確定的值,與給定的函數及x0的位置有關,而與d無關.
新知生成
1.瞬時變化率
一般地,若函數y=f(x)的平均變化率在d趨近于0時,有確定的極限值,則稱這個值為該函數在 x=u處的瞬時變化率.函數的瞬時變化率,數學上叫作函數的導數或微商.
2.在某點處的導數
定義:設函數y=f(x)在包含x0的某個區間上有定義,在d趨近于0時,如果比值 趨近于一個確定的極限值,那么稱此極限值為函數y=f(x)在x=x0處的導數或微商,記作f'(x0).這時我們就說f(x)在點x0處的導數存在,或者說f(x)在點x0處可導或可微.
上述定義可以簡單地描述為:→f'(x0)(d→0),讀作“d趨近于0時,趨近于f'(x0)”.可以簡記為f'(x0)=.
3.導函數
若y=f(x)在定義區間中任一點的導數都存在,則f'(x)(或y')也是x的函數,我們把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的導函數或一階導數.
既然導函數f'(x)也是函數,若f'(x)在定義區間中任一點處都可導,則它的導數叫作f(x)的二階導數,記作f″(x).類似地,可以定義三階導數f (x)等.
新知運用
例2　求函數f(x)=2x2+4x在x=3處的導數.
【解析】　(法一)f(3+d)-f(3)=2(3+d)2+4(3+d)-(2×32+4×3)=12d+2d2+4d=2d2+16d,
∴==2d+16,
∴當d→0時,f'(3)=16.
(法二)
=
=4x+2d+4→4x+4(d→0),
即f'(x)=4x+4,
∴f'(3)=4×3+4=16.
【方法總結】　　根據導數的定義,求函數y=f(x)在點x0處的導數的步驟
(1)求函數值的差f(x0+d)-f(x0);
(2)求差商;
(3)取極限,d→0得導數f'(x0).
求函數f(x)=x-在x=1處的導數.
【解析】　f(1+d)-f(1)=(1+d)--1-=d+,　
==1+,
∴當d→0時,f'(1)=1+1=2.
探究3 導數的實際意義
例3　高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)之間的關系式為h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求運動員在t0=時的瞬時速度,并解釋此時運動員的狀況.
【解析】　令t0=,d為增量,
則
=
=
=-4.9+d+6.5,
當d→0時,-4.9+d+6.5→0,
即運動員在t0=時的瞬時速度為0 m/s.
說明此時運動員處于跳水運動中離水面最高點處.
一條水管中流過的水量y(單位:m3)是關于時間t(單位:s)的函數,且y=f(t)=3t,求函數y=f(t)在t=2處的導數f'(2),并解釋它的實際意義.
【解析】　根據導數的定義,得==3,
∴f'(2)=3.
f'(2)的意義是水流在2 s時的瞬時流量為3 m3/s,即如果保持這一速度,每經過1 s,水管中的水流量為3 m3.
【隨堂檢測】
1.已知一做直線運動的物體,其位移s與時間t的關系是s=s(t)=3t-t2,則此物體在t=2時的瞬時速度為(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】　B
【解析】　因為s(2+d)-s(2)
=3(2+d)-(2+d)2-3×2+22
=3d-4d-d2=-d-d2,
所以v(2,d)==-1-d,
所以當d趨近于0時,瞬時速度v=-1,所以物體在t=2時的瞬時速度為-1.
2.函數y=f(x)=x2在x=1處的導數為(　　).
A.2x B.2+d C.2 D.1
【答案】　C
【解析】　y=x2在x=1處的導數為f'(1),則=2+d→2(d→0),∴f'(1)=2.
3.設f(x)=ax+4,若f'(1)=2,則a=　　　　.
【答案】　2
【解析】　∵f(x)=ax+4,
∴→f'(1)=a(d→0).
又∵f'(1)=2,∴a=2.
4.一物體的運動方程為s=7t2-13t+8,且在t=t0時的瞬時速度為1,求t0的值.
【解析】　因為Δs=7(t0+d)2-13(t0+d)+8-7+13t0-8=14t0d-13d+7d2,
所以=14t0-13+7d.
當d→0時,14t0-13+7d→14t0-13,
又14t0-13=1,所以t0=1.
2

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