資源簡介

1.1 課時3 導數的幾何意義
【學習目標】
1.理解導數的幾何意義并會求曲線在某點處的切線方程.(數學抽象、直觀想象、數學運算)
2.通過導數的幾何意義,了解微積分中以直代曲的數學思想.(數學抽象)
【自主預習】
1.當B點向A點無限逼近時,割線AB與曲線的位置關系是什么
【答案】　當B點無限逼近A點時,此時直線AT就是A點處的切線.
2.如果設曲線的方程為y=f(x),點A的坐標為(x0,f(x0)),那么曲線在點A處的切線的斜率是什么
【答案】　k=f'(x0).
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數值就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率. (　　)
(2)若f'(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處沒有切線. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×
2.已知曲線y=f(x)=2x2上一點A(2,8),則點A處的切線斜率為(　　).
A.4 B.16 C.8 D.2
【答案】　C
【解析】　==8+2d,
當d→0時,8+2d→8,
即k=8.
3.函數y=f(x)的圖象如圖所示,下列描述錯誤的是(　　).
A.函數f(x)在x=-5處比x=-2處變化快
B.函數f(x)的圖象在x=-4處呈上升趨勢
C.函數f(x)在x=1和x=2處增減趨勢相反
D.函數f(x)的圖象在x=0處呈上升趨勢
【答案】　D
【解析】　根據導數的幾何意義知f'(-5)>0,f'(-4)>0,f'(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,故A,B,C正確,D錯誤.故選D.
【合作探究】
探究1 導數的幾何意義
設函數y=f(x),在y=f(x)上取兩點P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
問題1:割線PPn的斜率kn是什么
【答案】　割線PPn的斜率kn=.
問題2:當Pn無限趨近于點P時,kn與切線PT的斜率k有什么關系
【答案】　kn趨近于切線PT的斜率k.
問題3:如何求得過點P的切線PT的斜率
【答案】　函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k=f'(x0).
問題4:曲線的切線是不是一定和曲線只有一個公共點
【答案】　不一定.曲線的切線和曲線不一定只有一個公共點,和曲線只有一個公共點的直線和曲線也不一定相切.如圖,曲線的切線是通過逼近將割線趨近于確定位置的直線.
問題5:曲線f(x)在點(x0,y0)處的切線與曲線過某點(x0,y0)的切線有何不同
【答案】　曲線f(x)在點(x0,y0)處的切線,點(x0,y0)一定是切點,只要求出k=f'(x0),利用點斜式寫出切線方程即可;而曲線f(x)過某點(x0,y0)的切線,給出的點(x0,y0)不一定在曲線上,即使在曲線上也不一定是切點.
新知生成
1.切線的概念:如圖,對于割線PPn,當點Pn趨近于點P時,割線PPn趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
2.導數的幾何意義:函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k=f'(x0).
新知運用
一、求曲線的切線
例1　已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.
【解析】　(1)∵點P(2,4)在曲線y=x3+上,
=4+2d+d2.
當d→0時,4+2d+d2→4,
∴曲線在點P(2,4)處切線的斜率為4,
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)設曲線y=x3+與過點P(2,4)的切線相切于點Ax0,+,
當d→0時,→,則切線的斜率k=,
∴切線方程為y-+=(x-x0),
即y=·x-+.
∵點P(2,4)在切線上,
∴4=2-+,即-3+4=0.
∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
【方法總結】　　求曲線在點P(x0,y0)處的切線方程,即給出了切點P(x0,y0)的坐標,求切線方程的步驟
(1)求出函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0);
(2)根據直線的點斜式方程,得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).
要注意“過點P的切線”與“曲線在點P處的切線”的區別,若題中所給點(x0,y0)不一定是切點,首先應設出切點坐標,然后根據導數的幾何意義列出等式,求出切點坐標,進而求出切線方程.
二、求切點坐標或參數值
例2　(1)已知拋物線y=f(x)=2x2+1在某點處的切線的傾斜角為45°,則該切點的坐標為　　　　.
(2)若直線y=3x+b與曲線y=x3相切,則b=　　　　.
【答案】　(1),　(2)2或-2
【解析】　(1)設切點的坐標為(x0,y0),
則===4x0+2d.
當d→0時,→4x0.
又∵切線的斜率為k=tan 45°=1,
∴4x0=1,得x0=,∴y0=2×2+1=,
∴切點的坐標為,.
(2)設直線y=3x+b與曲線y=x3相切的切點為P(x0,y0),設f(x)=x3,
則=3+3x0d+d2,
當d→0時,→3,
∴曲線y=x3在點P(x0,y0)處的切線斜率k=3,
又∵直線y=3x+b與曲線y=x3相切于點P,
∴3=3,解得x0=1或x0=-1,∴P(1,1)或P(-1,-1).
∵點P在直線y=3x+b上,∴b=2或b=-2.
【方法總結】　　解答此類題目時,所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關鍵,由這些信息得知函數在某點處的導數,進而可求此點的橫坐標.解題時要注意【解析】幾何知識的應用,如直線的傾斜角與斜率的關系,平行、垂直直線斜率間的關系等.
1.求函數y=f(x)=3x2的圖象在點(1,3)處的切線方程.
【解析】　因為 ==6+3d,當d→0時,6+3d→6,
所以所求切線的斜率為6,
因此,所求的切線方程為y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
2.已知曲線f(x)=x2-1在x=x0處的切線與曲線g(x)=1-x3在x=x0處的切線互相平行,求x0的值.
【解析】　對于曲線f(x)=x2-1,
有==2x0+d,
當d→0時,→2x0,
所以曲線f(x)在x=x0處的切線斜率k1=2x0.
對于曲線g(x)=1-x3,
有==-3-3x0d-d2,
當d→0時,→-3,
所以曲線g(x)在x=x0處的切線的斜率k2=-3.
由k1=k2,得2x0=-3,
解得x0=0或x0=-.
探究2 利用圖象理解導數的幾何意義
觀察函數h(t)的圖象,思考下列問題.
問題1:函數的圖象在t=t0處的切線l0與t軸有什么關系 h'(t0)的值與0的大小關系是什么 圖象在t=t0附近的變化情況如何
【答案】　函數的圖象在t=t0處的切線l0平行于t軸,即h'(t0)=0,這時,在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.
問題2:函數的圖象在t=t1處的切線l1的斜率h'(t1)與0的大小關系是什么 圖象在t=t1附近的變化情況如何
【答案】　函數的圖象在t=t1處的切線l1的斜率h'(t1)<0,這時,在t=t1附近曲線下降,即函數在t=t1附近單調遞減.
問題3:函數的圖象在t=t2處的切線l2的斜率h'(t2)的值與0的大小關系是什么 圖象在t=t2附近的變化情況如何
【答案】　函數的圖象在t=t2處的切線l2的斜率h'(t2)<0,這時,在t=t2附近曲線下降,即函數在t=t2附近單調遞減.
問題4:通過對比直線l1與直線l2的傾斜程度,說明函數在t=t1附近與在t=t2附近的變化趨勢對比情況.
【答案】　直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度,這說明函數在t=t1附近比在t=t2附近下降得慢.
新知生成
若f'(x0)=0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k=0;
若f'(x0)>0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k>0,函數在x=x0附近單調遞增,f'(x0)越大,說明函數圖象變化得越快;
若f'(x0)<0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k<0,函數在x=x0附近單調遞減,|f'(x0)|越大,說明函數圖象變化得越快.
新知運用
例3　已知y=f(x)的圖象如圖所示,則f'(xA)與f'(xB)的大小關系是(　　).
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能確定
【答案】　B
【解析】　由導數的幾何意義可知f'(xA),f'(xB)分別是曲線在點A,B處切線的斜率,由圖象可知f'(xA)【方法總結】 　　導數與函數圖象升降的關系
若函數y=f(x)在x=x0處的導數存在且f'(x0)>0(即切線的斜率大于零),則函數y=f(x)在x=x0附近的圖象是上升的;若f'(x0)<0(即切線的斜率小于零),則函數y=f(x)在x=x0附近的圖象是下降的.導數絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.
已知函數f(x)的圖象如圖所示,則下列不等關系中正確的是(　　).
A.0B.0C.0D.0【答案】　C
【解析】　 kAB==f(3)-f(2),
f'(2)為函數f(x)的圖象在點B(2,f(2))處的切線的斜率,
f'(3)為函數f(x)的圖象在點A(3,f(3))處的切線的斜率,
根據圖象可知0【隨堂檢測】
1.已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2x-y+2=0,則f'(1)等于(　　).
A.4 B.-4 C.-2 D.2
【答案】　D
【解析】　由導數的幾何意義知f'(1)=2.
2.已知曲線f(x)=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則點P的坐標為　　　　.
【答案】　(3,30)
【解析】　設點P(x0,2+4x0),
則
==2d+4x0+4,
當d→0時,2d+4x0+4→4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴點P的坐標為(3,30).
3.曲線y=在點(3,3)處的切線的傾斜角等于　　　　.
【答案】　135°
【解析】　令y=f(x)=,則
=
=,
當d→0時,→-,
∴f'(3)=-=-1,
又∵直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°,
∴傾斜角為135°.
4.已知二次函數y=f(x)的圖象(如圖),則y=f(x)在A,B兩點處的導數f'(a)與f'(b)的大小關系為f'(a)　　　　f'(b).(填“<”或“>”)
【答案】　>
【解析】　觀察圖象可知函數圖象在點A處的切線斜率要大于在點B處的切線斜率,所以f'(a)>f'(b).
21.1 課時3 導數的幾何意義
【學習目標】
1.理解導數的幾何意義并會求曲線在某點處的切線方程.(數學抽象、直觀想象、數學運算)
2.通過導數的幾何意義,了解微積分中以直代曲的數學思想.(數學抽象)
【自主預習】
1.當B點向A點無限逼近時,割線AB與曲線的位置關系是什么
2.如果設曲線的方程為y=f(x),點A的坐標為(x0,f(x0)),那么曲線在點A處的切線的斜率是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數y=f(x)在x=x0處的導數值就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率. (　　)
(2)若f'(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處沒有切線. (　　)
2.已知曲線y=f(x)=2x2上一點A(2,8),則點A處的切線斜率為(　　).
A.4 B.16 C.8 D.2
3.函數y=f(x)的圖象如圖所示,下列描述錯誤的是(　　).
A.函數f(x)在x=-5處比x=-2處變化快
B.函數f(x)的圖象在x=-4處呈上升趨勢
C.函數f(x)在x=1和x=2處增減趨勢相反
D.函數f(x)的圖象在x=0處呈上升趨勢
【合作探究】
探究1 導數的幾何意義
設函數y=f(x),在y=f(x)上取兩點P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
問題1:割線PPn的斜率kn是什么
問題2:當Pn無限趨近于點P時,kn與切線PT的斜率k有什么關系
問題3:如何求得過點P的切線PT的斜率
問題4:曲線的切線是不是一定和曲線只有一個公共點
問題5:曲線f(x)在點(x0,y0)處的切線與曲線過某點(x0,y0)的切線有何不同
新知生成
1.切線的概念:如圖,對于割線PPn,當點Pn趨近于點P時,割線PPn趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
2.導數的幾何意義:函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k=f'(x0).
新知運用
一、求曲線的切線
例1　已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.
【方法總結】　　求曲線在點P(x0,y0)處的切線方程,即給出了切點P(x0,y0)的坐標,求切線方程的步驟
(1)求出函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0);
(2)根據直線的點斜式方程,得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).
要注意“過點P的切線”與“曲線在點P處的切線”的區別,若題中所給點(x0,y0)不一定是切點,首先應設出切點坐標,然后根據導數的幾何意義列出等式,求出切點坐標,進而求出切線方程.
二、求切點坐標或參數值
例2　(1)已知拋物線y=f(x)=2x2+1在某點處的切線的傾斜角為45°,則該切點的坐標為　　　　.
(2)若直線y=3x+b與曲線y=x3相切,則b=　　　　.
【方法總結】　　解答此類題目時,所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關鍵,由這些信息得知函數在某點處的導數,進而可求此點的橫坐標.解題時要注意【解析】幾何知識的應用,如直線的傾斜角與斜率的關系,平行、垂直直線斜率間的關系等.
1.求函數y=f(x)=3x2的圖象在點(1,3)處的切線方程.
2.已知曲線f(x)=x2-1在x=x0處的切線與曲線g(x)=1-x3在x=x0處的切線互相平行,求x0的值.
探究2 利用圖象理解導數的幾何意義
觀察函數h(t)的圖象,思考下列問題.
問題1:函數的圖象在t=t0處的切線l0與t軸有什么關系 h'(t0)的值與0的大小關系是什么 圖象在t=t0附近的變化情況如何
問題2:函數的圖象在t=t1處的切線l1的斜率h'(t1)與0的大小關系是什么 圖象在t=t1附近的變化情況如何
問題3:函數的圖象在t=t2處的切線l2的斜率h'(t2)的值與0的大小關系是什么 圖象在t=t2附近的變化情況如何
問題4:通過對比直線l1與直線l2的傾斜程度,說明函數在t=t1附近與在t=t2附近的變化趨勢對比情況.
新知生成
若f'(x0)=0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k=0;
若f'(x0)>0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k>0,函數在x=x0附近單調遞增,f'(x0)越大,說明函數圖象變化得越快;
若f'(x0)<0,則函數圖象在x=x0處切線斜率k<0,函數在x=x0附近單調遞減,|f'(x0)|越大,說明函數圖象變化得越快.
新知運用
例3　已知y=f(x)的圖象如圖所示,則f'(xA)與f'(xB)的大小關系是(　　).
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能確定
【方法總結】 　　導數與函數圖象升降的關系
若函數y=f(x)在x=x0處的導數存在且f'(x0)>0(即切線的斜率大于零),則函數y=f(x)在x=x0附近的圖象是上升的;若f'(x0)<0(即切線的斜率小于零),則函數y=f(x)在x=x0附近的圖象是下降的.導數絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.
已知函數f(x)的圖象如圖所示,則下列不等關系中正確的是(　　).
A.0B.0C.0D.0【隨堂檢測】
1.已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2x-y+2=0,則f'(1)等于(　　).
A.4 B.-4 C.-2 D.2
2.已知曲線f(x)=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則點P的坐標為　　　　.
3.曲線y=在點(3,3)處的切線的傾斜角等于　　　　.
4.已知二次函數y=f(x)的圖象(如圖),則y=f(x)在A,B兩點處的導數f'(a)與f'(b)的大小關系為f'(a)　　　　f'(b).(填“<”或“>”)
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