資源簡介

1.2 課時1 幾個基本函數(shù)的導數(shù)
【學習目標】
1.能根據(jù)定義求常見冪函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
2.掌握一些基本函數(shù)的導數(shù)公式,并能進行簡單的應(yīng)用.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.導數(shù)的定義是什么
2.定義法求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的一般步驟是什么
3.如何求f(x)=的導數(shù)
4.由幾個常見函數(shù)的導數(shù)能否得出y=xn的導數(shù)公式
5.正、余弦函數(shù)的導數(shù)公式,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式分別是什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)f'(x0)是一個常數(shù). (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
2.給出下列結(jié)論:
①若y=ln 2,則y'=;②若y=,則y'=-;
③若y=2x,則y'=2xln 2;④若y=log2x,則y'=.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函數(shù)f(x)=10x,則f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【合作探究】
探究1 常見冪函數(shù)的導數(shù)
問題1:函數(shù)y=f(x)=c的導數(shù)是什么 如何從幾何、物理的角度理解
問題2:函數(shù)f(x)=x的導數(shù)是什么 并說明其導數(shù)的幾何意義.
問題3:函數(shù)y=f(x)=x3 的導數(shù)是什么
新知生成
常見冪函數(shù)的導數(shù)
(1)常函數(shù)的導數(shù)為0,即c'=0;
(2)恒等函數(shù)導數(shù)為1,即x'=1;
(3)(x2)'=2x;
(4)(x3)'=3x2;
(5)'=-;
(6)()'=.
新知運用
例1　寫出過點A(-5,3)并且和曲線xy=1相切的兩條直線的方程.
【方法總結(jié)】　　(1)若點(x0,y0)在已知曲線上,求在點(x0,y0)處的切線方程,先求出函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),然后根據(jù)直線的點斜式方程,得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)若點(x0,y0)不在曲線上,求過點(x0,y0)的切線方程,首先應(yīng)設(shè)出切點坐標,然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式,求出切點坐標,進而求出切線方程.
試求過點P(3,5)且與曲線y=x2相切的直線方程.
探究2 一些基本初等函數(shù)的導數(shù)
已知函數(shù):①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=.
問題1:這些函數(shù)是哪類初等函數(shù)
問題2:寫出這五個函數(shù)的導數(shù),其導數(shù)有什么規(guī)律
問題3:這些導數(shù)的幾何意義是什么
問題4:這些導數(shù)的物理意義是什么
新知生成
基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
(公式對函數(shù)定義域內(nèi)的自變量x有效,其中(7)(8)(9)中的自變量x的單位是弧度)
(1)c'=0;
(2)(xα)'=αxα-1(α≠0);
(3)(ex)'=ex;
(4)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1);
(5)(ln x)'=(x>0);
(6)(loga x)'=(a>0,且a≠1,x>0);
(7)(sin x)'=cos x;
(8)(cos x)'=-sin x;
(9)(tan x)'=.
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【方法總結(jié)】　　求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法
(1)用導數(shù)的定義求導,但運算比較煩瑣.
(2)用導數(shù)公式求導,可以簡化運算過程,降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征,將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整,再選擇合適的求導公式.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;
(5)y=e0.
探究3 導數(shù)公式的綜合應(yīng)用
例3　已知在一次降雨過程中,某地降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可表示為y=,則在時刻t=400 min時的降雨強度為　　　.
【方法總結(jié)】　　利用導數(shù)的定義解決問題,要注意觀察定義式的結(jié)構(gòu)特征,導數(shù)是瞬時變化率,所以求某個量的變化強度就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導數(shù).
1.假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0為t=0時的物價,假定某種商品的p0=1,那么當t=10時,這種商品的價格上漲的速度大約是多少 (精確到0.01元/年)(1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)
2.已知曲線y=ln x的一條切線方程為x-y+c=0,則c的值為　　　　.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列函數(shù)求導運算正確的是(　　).
A.sin '=cos B.(log2x)'=
C.()'= D.(3x)'=3xlog3e
2.曲線y=在點,2處的切線的斜率為(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
3.一質(zhì)點的運動方程為s=cos t,則當t=1時質(zhì)點的瞬時速度為(　　).
A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
4.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,則x=　　　　.
21.2 課時1 幾個基本函數(shù)的導數(shù)
【學習目標】
1.能根據(jù)定義求常見冪函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
2.掌握一些基本函數(shù)的導數(shù)公式,并能進行簡單的應(yīng)用.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.導數(shù)的定義是什么
【答案】　設(shè)函數(shù)y=f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義,在d趨近于0時,若比值趨近于一個確定的極限值,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)或微商.
可簡述為當d→0時,→ f'(x0)或 f'(x0)=.
2.定義法求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的一般步驟是什么
【答案】　(1)求函數(shù)的改變量f(x+d)-f(x);(2)求平均變化率;(3)取極限,得導數(shù)y'=f'(x)=.簡稱:一差、二商、三極限.
3.如何求f(x)=的導數(shù)
【答案】　若f(x)=,則=-÷d=-,
當d→0時,-→-,所以'=-.
4.由幾個常見函數(shù)的導數(shù)能否得出y=xn的導數(shù)公式
【答案】　能.
5.正、余弦函數(shù)的導數(shù)公式,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式分別是什么
【答案】 (1)(sinx)'=cosx;(2)(cosx)'=-sinx;(3)(ax)'=axlna(a>0,a≠1);(4)(logax)'=(a>0,a≠1,x>0).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)f'(x0)是一個常數(shù). (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.給出下列結(jié)論:
①若y=ln 2,則y'=;②若y=,則y'=-;
③若y=2x,則y'=2xln 2;④若y=log2x,則y'=.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　對于①,y'=0,故①錯誤;顯然②③④正確.故選C.
3.若函數(shù)f(x)=10x,則f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【答案】　y=e2(x-1)
【解析】　∵y'=ex,∴當x=2時,y'=e2,
∴在點(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1 常見冪函數(shù)的導數(shù)
問題1:函數(shù)y=f(x)=c的導數(shù)是什么 如何從幾何、物理的角度理解
【答案】　∵==0,∴y'=0,∴c'=0.
從幾何角度理解:y'=0表示函數(shù)y=f(x)=c圖象上每一點處的切線的斜率都為0.
從物理角度理解:若y=c表示路程關(guān)于時間的函數(shù),則y'=0表示某物體的瞬時速度始終為0,即一直處于靜止狀態(tài).
問題2:函數(shù)f(x)=x的導數(shù)是什么 并說明其導數(shù)的幾何意義.
【答案】　∵==1,∴y'=1,∴x'=1.
它的幾何意義:y'=1表示函數(shù)y=x圖象上每一點處的切線斜率都為1.
問題3:函數(shù)y=f(x)=x3 的導數(shù)是什么
【答案】　∵==3x2+3xd+d2,
∴當d→0時,3x2+3xd+d2→3x2,∴(x3)'=3x2.
新知生成
常見冪函數(shù)的導數(shù)
(1)常函數(shù)的導數(shù)為0,即c'=0;
(2)恒等函數(shù)導數(shù)為1,即x'=1;
(3)(x2)'=2x;
(4)(x3)'=3x2;
(5)'=-;
(6)()'=.
新知運用
例1　寫出過點A(-5,3)并且和曲線xy=1相切的兩條直線的方程.
【解析】　曲線xy=1化為y=,其導函數(shù)為y'=-,
設(shè)過點A(-5,3)的直線與曲線xy=1相切于點x0,,則切線的斜率k=-,
所以切線方程為y-=-(x-x0).
因為切線過點A(-5,3),所以3-=-(-5-x0),解得x0=-1或x0=.
當x0=-1時,切線方程為x+y+2=0;
當x0=時,切線方程為9x+25y-30=0.
【方法總結(jié)】　　(1)若點(x0,y0)在已知曲線上,求在點(x0,y0)處的切線方程,先求出函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),然后根據(jù)直線的點斜式方程,得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)若點(x0,y0)不在曲線上,求過點(x0,y0)的切線方程,首先應(yīng)設(shè)出切點坐標,然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式,求出切點坐標,進而求出切線方程.
試求過點P(3,5)且與曲線y=x2相切的直線方程.
【解析】　設(shè)所求切線的切點坐標為(x0,),
因為函數(shù)y=x2的導數(shù)為y'=2x,
所以曲線在切點處的切線的斜率為2x0,
即所求切線方程為y-=2x0(x-x0).
因為切線過點P(3,5),
所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,
即所求的切線有兩條,方程分別是y=2x-1和y=10x-25,即2x-y-1=0和10x-y-25=0.
探究2 一些基本初等函數(shù)的導數(shù)
已知函數(shù):①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=.
問題1:這些函數(shù)是哪類初等函數(shù)
【答案】　冪函數(shù).
問題2:寫出這五個函數(shù)的導數(shù),其導數(shù)有什么規(guī)律
【答案】　x'=1,(x2)'=2x,(x3)'=3x2,'=-,()'=.
其規(guī)律是(xα)'=αxα-1.
問題3:這些導數(shù)的幾何意義是什么
【答案】　這些導數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線的斜率.
問題4:這些導數(shù)的物理意義是什么
【答案】　這些導數(shù)的物理意義是運動的物體在某一時刻的瞬時速度.
新知生成
基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
(公式對函數(shù)定義域內(nèi)的自變量x有效,其中(7)(8)(9)中的自變量x的單位是弧度)
(1)c'=0;
(2)(xα)'=αxα-1(α≠0);
(3)(ex)'=ex;
(4)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1);
(5)(ln x)'=(x>0);
(6)(loga x)'=(a>0,且a≠1,x>0);
(7)(sin x)'=cos x;
(8)(cos x)'=-sin x;
(9)(tan x)'=.
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【解析】　(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因為y=-2sin
=2sin=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因為y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法總結(jié)】　　求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法
(1)用導數(shù)的定義求導,但運算比較煩瑣.
(2)用導數(shù)公式求導,可以簡化運算過程,降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征,將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整,再選擇合適的求導公式.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;
(5)y=e0.
【解析】　(1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'='=ln=-ln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y==cos x,∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究3 導數(shù)公式的綜合應(yīng)用
例3　已知在一次降雨過程中,某地降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可表示為y=,則在時刻t=400 min時的降雨強度為　　　.
【答案】　 mm/min
【解析】　令y=f(t)=,則f'(t)=()'=,
∴f'(400)==,即在時刻t=400 min時的降雨強度為 mm/min.
【方法總結(jié)】　　利用導數(shù)的定義解決問題,要注意觀察定義式的結(jié)構(gòu)特征,導數(shù)是瞬時變化率,所以求某個量的變化強度就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導數(shù).
1.假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0為t=0時的物價,假定某種商品的p0=1,那么當t=10時,這種商品的價格上漲的速度大約是多少 (精確到0.01元/年)(1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)
【解析】　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表,有p'(t)=1.05tln 1.05,
所以p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08.
所以當t=10時,這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.
2.已知曲線y=ln x的一條切線方程為x-y+c=0,則c的值為　　　　.
【答案】　-1
【解析】　設(shè)切點坐標為(x0,ln x0),由y=ln x得y'=,
因為曲線y=ln x在x=x0處的切線方程為x-y+c=0,且切線斜率為1,
所以=1,即x0=1,所以切點為(1,0).
則1-0+c=0,解得c=-1.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列函數(shù)求導運算正確的是(　　).
A.sin '=cos B.(log2x)'=
C.()'= D.(3x)'=3xlog3e
【答案】　BC
【解析】　sin '=0,A錯誤;(log2x)'=,B正確;
()'=,C正確;(3x)'=3xln 3,D錯誤.故選BC.
2.曲線y=在點,2處的切線的斜率為(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
【答案】　B
【解析】　因為y=,所以y'=-,所以當x=時,y'=-4.故選B.
3.一質(zhì)點的運動方程為s=cos t,則當t=1時質(zhì)點的瞬時速度為(　　).
A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
【答案】　B
【解析】　s'=-sin t,當t=1時,s'=-sin 1,
所以當t=1時,質(zhì)點的瞬時速度為-sin 1.
4.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,則x=　　　　.
【答案】　1
【解析】　因為f(x)=x2,g(x)=ln x,所以f'(x)=2x,g'(x)=且x>0,
f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-(舍去).故x=1.
2

展開更多......

收起↑