資源簡介

1.2 課時2 函數的和差積商求導法則
【學習目標】
1.理解函數的和、差、積、商的求導法則.(數學運算)
2.理解求導法則的證明過程,能夠綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數.(邏輯推理、數學運算)
3.利用導數的運算法則解決有關問題.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.默寫基本初等函數的導數公式表.
2.利用定義求函數的導數的一般步驟是什么
3.如何求兩函數和、差、積、商的導數
4.[f(x)·g(x)]'與f'(x)·g'(x)相等嗎 '與相等嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數f(x)=xln x的導數是f'(x)=x. (　　)
2.函數f(x)=xex的導數f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若函數f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
4.若y=,則y'=　　　　.
【合作探究】
探究1 函數和（差）的求導法則
問題1:F(x)=cf(x)的導數是不是f'(x)和實數c的乘積
問題2:如果f'(x),g'(x)分別為f(x),g(x)的導函數,證明:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
問題3:導數和(差)的運算法則可以推廣到有限個函數的和(差)的情形嗎 如果可以,寫出推廣形式.
新知生成
1.兩函數和與差的求導法則
一般地,對于兩個函數f(x)和g(x)的和(差)的導數,有下列法則:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特別地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.兩函數和與差的導數的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知運用
例1　求下列函數的導數.
(1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-2x2.
【方法總結】　　根據基本初等函數的導數公式以及函數和與差的求導法則進行求解.
求下列函數的導數.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
探究2 函數乘積的求導法則
問題:你能利用定義求y=f(x)g(x)的導數嗎
新知生成
函數乘積的求導法則
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
新知運用
例2　求下列函數的導數.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x.
求函數y=2xcos x-3xlog2020x的導數.
探究3 函數的倒數與商的求導法則
問題1:如何求函數F(x)=(f(x)≠0)的導數
問題2:根據函數的乘積和倒數的求導法則,能推出(f(x)≠0)的求導法則嗎
問題3:若f(x),g(x)都是可導函數,且f(x)≠0,那么關系式'=-(a為常數)成立嗎
新知生成
1.函數的倒數的求導法則
'=-(f(x)≠0).
2.兩函數的商的求導法則
'=(g(x)≠0).
新知運用
例3　求下列函數的導數.
(1)y=;
(2)y=+;
(3)y=.
【方法總結】　　1.利用常見函數的導數公式可以比較簡捷地求出函數的導數,其關鍵是牢記和運用好導數公式.解題時,能認真觀察函數的結構特征,積極地進行聯想化歸.
2.有些函數可先化簡再應用公式求導,如例3(2).
3.對于正弦、余弦函數的導數,一是注意函數名稱的變化,二是注意函數符號的變化.
求下列函數的導數.
(1)y=;
(2)y=.
探究4 導數運算法則的應用
例4　已知函數f(x)=ax2+ln x的導數為f'(x).
(1)求f(1)+f'(1);
(2)若曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線,求實數a的取值范圍.
【方法總結】　　1.此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素,可以將其他的條件轉化為這三個要素間的關系.
2.準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步,也是解題的關鍵,務必做到準確.
3.分清“在某點”和“過某點”切線的不同.
1.已知曲線f(x)=在點(1,f(1))處切線的傾斜角為,則實數a等于(　　).
A.1 B.-1 C.7 D.-7
2.曲線y=-在點M,0處的切線的斜率為　　　　.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列運算中正確的是(　　).
A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)'(a,b,c∈R)
B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'
C.'=
D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'sin x
2.已知f(x)=x2+2xf'(1),則f'(0)=(　　).
A.0 B.-2 C.-4 D.2
3.某物體做直線運動時,其運動方程為s=t2+(t的單位:s,s的單位:m),則它在第4 s末的瞬時速度應該為　　　　 m/s.
4.已知函數f(x)=x2+xln x.
(1)求函數f(x)的導數f'(x);
(2)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程.
21.2 課時2 函數的和差積商求導法則
【學習目標】
1.理解函數的和、差、積、商的求導法則.(數學運算)
2.理解求導法則的證明過程,能夠綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數.(邏輯推理、數學運算)
3.利用導數的運算法則解決有關問題.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.默寫基本初等函數的導數公式表.
【答案】　基本初等函數的導數公式表:
原函數 導函數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=tan x f'(x)=
2.利用定義求函數的導數的一般步驟是什么
【答案】　第一步:求函數的改變量f(x+d)-f(x);第二步:求平均變化率;第三步:取極限,得導數y'=f'(x).
3.如何求兩函數和、差、積、商的導數
【答案】　利用導數的四則運算法則.
4.[f(x)·g(x)]'與f'(x)·g'(x)相等嗎 '與相等嗎
【答案】　一般情況下都不相等.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數f(x)=xln x的導數是f'(x)=x. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×
2.函數f(x)=xex的導數f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1).故選A.
3.若函數f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,∴f'(1)=2a=2,解得a=1.
4.若y=,則y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
【合作探究】
探究1 函數和（差）的求導法則
問題1:F(x)=cf(x)的導數是不是f'(x)和實數c的乘積
【答案】　是.由于=c·,且當d→0時,→f'(x),因而c·→cf'(x),即[cf(x)]'=cf'(x).
問題2:如果f'(x),g'(x)分別為f(x),g(x)的導函數,證明:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
【答案】　令h(x)=f(x)+g(x),
則=
=
=+,
當d→0時,→f'(x),
→g'(x),
即h'(x)=f'(x)+g'(x),
所以[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
問題3:導數和(差)的運算法則可以推廣到有限個函數的和(差)的情形嗎 如果可以,寫出推廣形式.
【答案】　可以,若y=f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x),
則y'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知生成
1.兩函數和與差的求導法則
一般地,對于兩個函數f(x)和g(x)的和(差)的導數,有下列法則:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特別地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.兩函數和與差的導數的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知運用
例1　求下列函數的導數.
(1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-2x2.
【解析】　(1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法總結】　　根據基本初等函數的導數公式以及函數和與差的求導法則進行求解.
求下列函數的導數.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2 函數乘積的求導法則
問題:你能利用定義求y=f(x)g(x)的導數嗎
【答案】　因為
=
=
+
=f(x+d)·+·g(x),
當d→0時,f(x+d)→f(x),→g'(x),→f'(x),
所以[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
所以兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數加上第一個函數乘第二個函數的導數.
新知生成
函數乘積的求導法則
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
新知運用
例2　求下列函數的導數.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x.
【解析】　(1)(法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9.
(法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
(2)y'=(2xcos x-3xln x)'
=(2x)'cos x+2x(cos x)'-3[x'ln x+x(ln x)']
=2xln 2·cos x-2xsin x-3ln x+x·
=2xln 2·cos x-2xsin x-3ln x-3.
求函數y=2xcos x-3xlog2020x的導數.
【解析】　y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
探究3 函數的倒數與商的求導法則
問題1:如何求函數F(x)=(f(x)≠0)的導數
【答案】　因為=
=·,
當d→0時,→,
→-f'(x),
所以F'(x)=-,
即'=-.
問題2:根據函數的乘積和倒數的求導法則,能推出(f(x)≠0)的求導法則嗎
【答案】　能.'=g(x)·'
=g'(x)·+g(x)·'
=.
問題3:若f(x),g(x)都是可導函數,且f(x)≠0,那么關系式'=-(a為常數)成立嗎
【答案】　由導數的運算法則可知,這個關系式成立.
新知生成
1.函數的倒數的求導法則
'=-(f(x)≠0).
2.兩函數的商的求導法則
'=(g(x)≠0).
新知運用
例3　求下列函數的導數.
(1)y=;
(2)y=+;
(3)y=.
【解析】　(1)y'===.
(2)∵y=+==-2,
∴y'=-2'==.
(3)y'===.　
【方法總結】　　1.利用常見函數的導數公式可以比較簡捷地求出函數的導數,其關鍵是牢記和運用好導數公式.解題時,能認真觀察函數的結構特征,積極地進行聯想化歸.
2.有些函數可先化簡再應用公式求導,如例3(2).
3.對于正弦、余弦函數的導數,一是注意函數名稱的變化,二是注意函數符號的變化.
求下列函數的導數.
(1)y=;
(2)y=.
【解析】　(1)y'='=
==.
(2)y'==.
探究4 導數運算法則的應用
例4　已知函數f(x)=ax2+ln x的導數為f'(x).
(1)求f(1)+f'(1);
(2)若曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線,求實數a的取值范圍.
【解析】　(1)由題意知,函數f(x)的定義域為(0,+∞),
由f(x)=ax2+ln x,得f'(x)=2ax+,
所以f(1)+f'(1)=3a+1.
(2)因為曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線,所以此時切線的斜率為0,
將問題轉化為當x∈(0,+∞)時,導函數f'(x)=2ax+的零點存在性問題,等價于當f'(x)=0,即2ax+=0時有正實數解,
即2ax2=-1有正實數解,解得a<0,
所以實數a的取值范圍是(-∞,0).
【方法總結】　　1.此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素,可以將其他的條件轉化為這三個要素間的關系.
2.準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步,也是解題的關鍵,務必做到準確.
3.分清“在某點”和“過某點”切線的不同.
1.已知曲線f(x)=在點(1,f(1))處切線的傾斜角為,則實數a等于(　　).
A.1 B.-1 C.7 D.-7
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)==,
∴f'(1)==tan =-1,∴a=7.
2.曲線y=-在點M,0處的切線的斜率為　　　　.
【答案】　
【解析】　因為y'=
=,
所以當x=時,y'=,
故曲線在點M,0處的切線的斜率為.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列運算中正確的是(　　).
A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)'(a,b,c∈R)
B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'
C.'=
D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'sin x
【答案】　AD
【解析】　對于A,(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)',故A正確;
對于B,(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)',故B錯誤;
對于C,'=,故C錯誤;
對于D,(cos x·sin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)',故D正確.故選AD.
2.已知f(x)=x2+2xf'(1),則f'(0)=(　　).
A.0 B.-2 C.-4 D.2
【答案】　C
【解析】　∵f(x)=x2+2xf'(1),∴f'(x)=2x+2f'(1),
取x=1,得f'(1)=2×1+2f'(1),
解得f'(1)=-2,∴f'(x)=2x-4,
∴f'(0)=2×0-4=-4.
3.某物體做直線運動時,其運動方程為s=t2+(t的單位:s,s的單位:m),則它在第4 s末的瞬時速度應該為　　　　 m/s.
【答案】　
【解析】　由題意得s=t2+(t>0),可得在第t s末的瞬時速度v=s'=2t-,
故它在第4 s末的瞬時速度應該為2×4-= (m/s).
4.已知函數f(x)=x2+xln x.
(1)求函數f(x)的導數f'(x);
(2)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程.
【解析】　(1)因為f(x)=x2+xln x,所以f'(x)=2x+ln x+1.
(2)由題意可知,切點的橫坐標為1,所以切線的斜率k=f'(1)=2+1=3,
又f(1)=1,所以切線方程為y-1=3(x-1),整理得3x-y-2=0.
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