資源簡(jiǎn)介

1.2 課時(shí)3 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解復(fù)合函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解決綜合問(wèn)題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.(1)現(xiàn)有方法能求函數(shù)y=ln(2x-1)的導(dǎo)數(shù)嗎 為什么
【答案】　現(xiàn)有方法無(wú)法求出它的導(dǎo)數(shù).主要原因如下:用定義不能求出極限;該函數(shù)不是基本初等函數(shù),沒(méi)有求導(dǎo)公式;該函數(shù)不是基本初等函數(shù)的和、差、積、商形式,不能用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解決這個(gè)問(wèn)題.
(2)函數(shù)y=ln(2x-1)可以用基本初等函數(shù)表示嗎 它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么
【答案】　可以,函數(shù)y=ln(2x-1)是由函數(shù)y=ln u和函數(shù)u=2x-1復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).
(3)函數(shù)y=ln(2x-1)的導(dǎo)數(shù)是什么
【答案】　y'=·(2x-1)'=.
2.對(duì)于函數(shù)y=cos 2x,其導(dǎo)函數(shù)是y=-sin 2x嗎
【答案】　不是.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=sin πx是由函數(shù)y=sin u和函數(shù)u=πx復(fù)合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),則f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,則f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.函數(shù)y=(2x-1)n(n∈R)的復(fù)合過(guò)程正確的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
【答案】　A
3.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)是(　　).
A. B.
C.- D.-
【答案】　C
【解析】　∵y=,∴y'=-2··(3x-1)'=-.
4.下列對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)正確的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,則y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),則y'=
C.若y=cos ,則y'=sin
D.若y=22x-1,則y'=22xln 2
【答案】　D
【解析】　對(duì)于A(yíng),y'=-6(1-2x)2,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,y'=,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,y'=-sin ,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,y'=22x-1ln 2×(2x-1)'=22xln 2,故D正確.
【合作探究】
探究1 復(fù)合函數(shù)的概念
問(wèn)題1:函數(shù)y=log2(x+1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的
【答案】　函數(shù)y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的,即y可以通過(guò)中間變量u表示為自變量x的函數(shù).
問(wèn)題2:如何分析一個(gè)復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的
【答案】　復(fù)合函數(shù)是因變量通過(guò)中間變量表示為自變量的函數(shù)的過(guò)程.在分析時(shí)可以從外向里出發(fā),先根據(jù)最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出y=f(u),再根據(jù)內(nèi)層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出函數(shù)u=g(x),函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成函數(shù)y=f(g(x)).
新知生成
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).
新知運(yùn)用
例1　下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的
(1)y=;
(2)y=cos 3x.
【解析】　(1)令u=1-3x,則y==u-4,
所以函數(shù)y=是由函數(shù)y==u-4和函數(shù)u=1-3x復(fù)合而成的.
(2)令u=3x,則y=cos u,所以函數(shù)y=cos 3x是由函數(shù)y=cos u和函數(shù)u=3x復(fù)合而成的.
【方法總結(jié)】　　若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù),則函數(shù)y=f(g(x))或函數(shù)y=g(f(x))均為復(fù)合函數(shù).
函數(shù)y=是怎樣復(fù)合而成的
【解析】　函數(shù)y=是由函數(shù)y=和函數(shù)u=x+1復(fù)合而成的.
探究2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
問(wèn)題1:如何求函數(shù)y=sin 2x的導(dǎo)數(shù) 試寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過(guò)程.
【答案】　y=sin 2x=2sin xcos x,由兩個(gè)函數(shù)相乘的求導(dǎo)法則可知y'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x,從整體上來(lái)看,函數(shù)y=sin 2x的外層函數(shù)是基本初等函數(shù)y=sin u,它的導(dǎo)數(shù)y'=cos u,內(nèi)層函數(shù)是u=2x,它的導(dǎo)數(shù)是u'=2.可發(fā)現(xiàn)y'x=y'u·u'x.
求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般分以下四步:
問(wèn)題2:利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),需注意什么
【答案】　(1)分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的,選定適當(dāng)?shù)闹虚g變量.(2)分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),其中要特別注意的是中間變量的系數(shù).如(sin 2x)'=2cos 2x,而不能錯(cuò)誤地認(rèn)為“(sin 2x)'=cos 2x”.(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù).
新知生成
一般地,對(duì)于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
新知運(yùn)用
例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=(x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin2x+;(4)y=x.
【解析】　(1)y'=[(x-1)4]'=4(x-1)3(x-1)'=4(x-1)3.
(2)y'='=(1-2x'
=-(1-2x·(1-2x)'
=(1-2x.
(3)y'=sin2x+'
=cos2x+·2x+'
=2cos2x+.
(4)y'=(x)'
=x'+x()'
=+.
【方法總結(jié)】　　對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要注意分析函數(shù)的具體特征,靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量,中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),切不可機(jī)械照搬某種固定的模式,否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確,不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.注意:復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)時(shí),一般是從最外層開(kāi)始,由外及里,一層一層地求導(dǎo).不要忘記中間變量對(duì)自變量的求導(dǎo).
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-;
(3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x.
【解析】　(1)y'=[(4-3x)2]'=2(4-3x)·(4-3x)'=2(4-3x)·(-3)=18x-24.
(2)y'=cos2x-'=-sin2x-·2x-'=-2sin2x-.
(3)y'=[ln(4x-1)]'=·(4x-1)'=.
(4)y'=(e2x)'=e2x·(2x)'=2e2x.
探究3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用
例3　(1)曲線(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+3=0的最短距離是(　　).
A. B.2
C.3 D.0
(2)若曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+1=0垂直,則a=　　　　.
【答案】　(1)A　(2)2
【解析】　(1)設(shè)曲線(xiàn)y=ln(2x-1)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-y+3=0平行.
∵y'=,∴切線(xiàn)斜率k==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
∴切點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)2x-y+3=0的距離d==,
即曲線(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+3=0的最短距離是.
(2)令y=f(x),則曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)的斜率為f'(0),又切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+1=0垂直,∴f'(0)=2.∵f(x)=eax,∴f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,∴f'(0)=ae0=a=2,故a=2.
【方法總結(jié)】　　1.利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率是一種非常有效的方法,它適用于任何可導(dǎo)函數(shù).求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí),一定要注意已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).求過(guò)點(diǎn)P與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程時(shí),一般先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),寫(xiě)出切線(xiàn)方程y-y0=f'(x0)(x-x0),再代入點(diǎn)P的坐標(biāo),求出(x0,y0).
2.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題,能比較全面地考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用.
若函數(shù)f(x)=-eax(a>0,b>0)的圖象在x=0處的切線(xiàn)與圓x2+y2=1相切,求a+b的最大值.
【解析】　因?yàn)閒'(x)=-eax·a,所以f'(0)=-e0·a=-,即在x=0處的切線(xiàn)斜率k=-.
又f(0)=-e0=-,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為0,-,
所以切線(xiàn)方程為y+=-x,即ax+by+1=0.
因?yàn)閳A心到直線(xiàn)ax+by+1=0的距離d==1,即a2+b2=1,所以a2+b2=1≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立.
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1,
所以(a+b)2=2ab+1≤1+1=2,即0探究4 導(dǎo)函數(shù)的奇偶性及周期性
新知生成
1.可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).
2.可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).
3.可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù).
新知運(yùn)用
例4　證明下面的命題.
(1)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)且為周期函數(shù),則f'(x)也為周期函數(shù);
(2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).
【解析】　(1)設(shè)函數(shù)f(x)的周期為T(mén),則f(x)=f(x+T).因?yàn)閒'(x)=[f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T),所以f'(x)也為周期函數(shù)且周期與f(x)的周期相同.
(2)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以[f(-x)]'=[-f(x)]',即f'(-x)·(-x)'=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),故f'(x)為偶函數(shù).
【方法總結(jié)】　　利用函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證明.
1.證明:“可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))中心對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)”.
【解析】　必要性:由可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))中心對(duì)稱(chēng),得f(x)+f(2a-x)=2f(a),所以[f(x)+f(2a-x)]'=[2f(a)]',又[f(2a-x)]'=f'(2a-x)×(-1)=-f'(2a-x),
所以f'(x)-f'(2a-x)=0,即f'(x)=f'(2a-x).
因此導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).
充分性:導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng),則f'(x)=f'(2a-x),
即[f(x)+f(2a-x)]'=0,于是f(x)+f(2a-x)=C(C為常數(shù)).
令x=a,則有2f(a)=C.所以f(x)+f(2a-x)=2f(a).
因此可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))中心對(duì)稱(chēng).
2.證明:“可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng)”.
【解析】　必要性:由可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng),得f(x)=f(2a-x),所以f'(x)=[f(2a-x)]',即f'(x)=-f'(2a-x),
所以f'(x)+f'(2a-x)=0.
因此導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng).
充分性:導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng),則f'(x)+f'(2a-x)=0,即[f(x)-f(2a-x)]'=0,
所以f(x)-f(2a-x)=C(C為常數(shù)).
令x=a,得C=0,所以f(x)=f(2a-x).
因此可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).
【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)下列結(jié)論中正確的是(　　).
A.若y=cos ,則y'=-sin
B.若y=sin x2,則y'=2xcos x2
C.若y=cos 2024x,則y'=-2024sin 2024x
D.若y=xsin 2x,則y'=xsin 2x
【答案】　BC
【解析】　對(duì)于A(yíng),y'=sin ,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,y'=2xcos x2,故B正確;
對(duì)于C,y'=-2024sin 2024x,故C正確;
對(duì)于D,y'=sin 2x+xcos 2x,故D錯(cuò)誤.
2.已知f(x)=ln(3x+2)-3x2,則f'(0)=(　　).
A.1 B. C.-1 D.-2
【答案】　B
【解析】　∵f'(x)=-6x,∴f'(0)=-0=.
3.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中,其含量M(單位:太貝克)與時(shí)間t(單位:年)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系:M(t)=M0,其中M0為t=0時(shí)銫137的含量.已知當(dāng)t=30時(shí),銫137含量的變化率是-10ln 2太貝克/年,則M(60)=(　　).
A.5太貝克 B.75ln 2太貝克
C.150ln 2太貝克 D.150太貝克
【答案】　D
【解析】　M'(t)=-ln 2×M0,由M'(30)=-ln 2×M02-1=-10ln 2,解得M0=600,所以M(t)=600×,所以當(dāng)t=60時(shí),銫137的含量為M(60)=600×2-2=600×=150(太貝克).故選D.
4.已知直線(xiàn)y=2x-1與曲線(xiàn)y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a= .
21.2 課時(shí)3 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解復(fù)合函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則解決綜合問(wèn)題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.(1)現(xiàn)有方法能求函數(shù)y=ln(2x-1)的導(dǎo)數(shù)嗎 為什么
(2)函數(shù)y=ln(2x-1)可以用基本初等函數(shù)表示嗎 它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么
(3)函數(shù)y=ln(2x-1)的導(dǎo)數(shù)是什么
2.對(duì)于函數(shù)y=cos 2x,其導(dǎo)函數(shù)是y=-sin 2x嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=sin πx是由函數(shù)y=sin u和函數(shù)u=πx復(fù)合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),則f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,則f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
2.函數(shù)y=(2x-1)n(n∈R)的復(fù)合過(guò)程正確的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
3.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)是(　　).
A. B.
C.- D.-
4.下列對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)正確的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,則y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),則y'=
C.若y=cos ,則y'=sin
D.若y=22x-1,則y'=22xln 2
【合作探究】
探究1 復(fù)合函數(shù)的概念
問(wèn)題1:函數(shù)y=log2(x+1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的
問(wèn)題2:如何分析一個(gè)復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的
新知生成
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).
新知運(yùn)用
例1　下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的
(1)y=;
(2)y=cos 3x.
【方法總結(jié)】　　若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù),則函數(shù)y=f(g(x))或函數(shù)y=g(f(x))均為復(fù)合函數(shù).
函數(shù)y=是怎樣復(fù)合而成的
探究2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
問(wèn)題1:如何求函數(shù)y=sin 2x的導(dǎo)數(shù) 試寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過(guò)程.
問(wèn)題2:利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),需注意什么
新知生成
一般地,對(duì)于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
新知運(yùn)用
例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=(x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin2x+;(4)y=x.
【方法總結(jié)】　　對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要注意分析函數(shù)的具體特征,靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量,中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),切不可機(jī)械照搬某種固定的模式,否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確,不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.注意:復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)時(shí),一般是從最外層開(kāi)始,由外及里,一層一層地求導(dǎo).不要忘記中間變量對(duì)自變量的求導(dǎo).
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-;
(3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x.
探究3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用
例3　(1)曲線(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+3=0的最短距離是(　　).
A. B.2
C.3 D.0
(2)若曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+1=0垂直,則a=　　　　.
【方法總結(jié)】　　1.利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率是一種非常有效的方法,它適用于任何可導(dǎo)函數(shù).求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí),一定要注意已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).求過(guò)點(diǎn)P與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程時(shí),一般先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),寫(xiě)出切線(xiàn)方程y-y0=f'(x0)(x-x0),再代入點(diǎn)P的坐標(biāo),求出(x0,y0).
2.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題,能比較全面地考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用.
若函數(shù)f(x)=-eax(a>0,b>0)的圖象在x=0處的切線(xiàn)與圓x2+y2=1相切,求a+b的最大值.
探究4 導(dǎo)函數(shù)的奇偶性及周期性
新知生成
1.可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).
2.可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).
3.可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù).
新知運(yùn)用
例4　證明下面的命題.
(1)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)且為周期函數(shù),則f'(x)也為周期函數(shù);
(2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).
【方法總結(jié)】　　利用函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證明.
1.證明:“可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))中心對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)”.
2.證明:“可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng)”.
【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)下列結(jié)論中正確的是(　　).
A.若y=cos ,則y'=-sin
B.若y=sin x2,則y'=2xcos x2
C.若y=cos 2024x,則y'=-2024sin 2024x
D.若y=xsin 2x,則y'=xsin 2x
2.已知f(x)=ln(3x+2)-3x2,則f'(0)=(　　).
A.1 B. C.-1 D.-2
3.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中,其含量M(單位:太貝克)與時(shí)間t(單位:年)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系:M(t)=M0,其中M0為t=0時(shí)銫137的含量.已知當(dāng)t=30時(shí),銫137含量的變化率是-10ln 2太貝克/年,則M(60)=(　　).
A.5太貝克 B.75ln 2太貝克
C.150ln 2太貝克 D.150太貝克
4.已知直線(xiàn)y=2x-1與曲線(xiàn)y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
2

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