資源簡介

1.3 課時2 函數的極值與導數
【學習目標】
1.了解函數極值的概念,會從幾何直觀的角度理解函數的極值與導數的關系,并會靈活應用.(數學抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握函數極值的判定及求法.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握函數在某一點取得極值的條件.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
已知y=f(x),y=g(x)的圖象如圖所示.
1.函數f(x)在(a,x0),(x0,b)上的單調性與導數的符號有何特點
【答案】　f(x)在(a,x0)上單調遞增,其導數值大于零;在(x0,b)上單調遞減,其導數值小于零.
2.觀察y=f(x)的圖象,在區間(a,b)內,函數值f(x0)有何特點 它是極大值嗎
【答案】　f(x0)在(a,b)內為f(x)的最大值;是.
3.函數值f(x0)在定義域內是最大值嗎
【答案】　不一定.
4.函數y=g(x)在(a,b)上有極大值、極小值嗎
【答案】　y=g(x)在(a,b)上有極小值g(x0),無極大值.
5.結合教材的實例思考:函數的極大值一定大于極小值嗎 在同一區間內極值點唯一嗎
【答案】　函數的極大值與極小值并無確定的大小關系,一個函數的極大值未必大于極小值.在同一區間內可導函數的極大值或極小值可以不止一個.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)x=0是函數y=x3的極值點. (　　)
(2)可導函數一定存在極值. (　　)
(3)若f'(x0)=0,則x=x0是函數y=f(x)的極值點. (　　)
(4)若x=x0是函數y=f(x)的極值點,則f'(x0)=0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知函數f(x)的定義域為(a,b),導函數f'(x)在(a,b)上的圖象如圖所示,則函數f(x)在(a,b)上的極大值點的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　由導函數的圖象可知,f'(x)在(a,b)上與x軸的交點個數為4,但是在原點附近的導數值恒大于零,故x=0不是函數f(x)的極值點.其余的3個交點都是極值點,其中有2個點滿足其附近的導數值左正右負,故極大值點有2個.
3.設函數f(x)=xex,則(　　).
A.x=1是f(x)的極大值點
B.x=1是f(x)的極小值點
C.x=-1是f(x)的極大值點
D.x=-1是f(x)的極小值點
【答案】　D
【解析】　對f(x)求導得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1,易知x=-1是函數f(x)的極小值點.
4.已知函數f(x)=3x-x3+m的極大值為10,則m的值為　　　.
【答案】　8
【解析】　f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1,經判斷知x=1是極大值點,故f(1)=2+m=10,解得m=8.
【合作探究】
探究1 函數的極值
在必修課程中,我們已經研究了函數在定義域內的最大值與最小值問題,但函數在定義域內某一點的附近,也存在著哪一點的函數值大、哪一點的函數值小的問題,如何利用導數的知識來判斷函數在某點附近的函數值的大小問題
問題1:觀察下列圖形,函數y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等點處的函數值與這些點附近的函數值有什么關系
【答案】　以x=d,e兩點為例,函數y=f(x)在點x=d處的函數值f(d)比它在點x=d附近其他點的函數值都小,函數y=f(x)在點x=e處的函數值f(e)比它在點x=e附近其他點的函數值都大.
問題2:y=f(x)在點x=d,e處的導數值是多少
【答案】　0.
問題3:在點x=d,e附近,y=f(x)的導數的符號有什么規律
【答案】　在點x=d附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0.類似地,在點x=e附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0.
問題4:導函數的零點是否一定是函數的極值點呢
【答案】　不一定.例如,函數f(x)=x3的導函數f'(x)=3x2有零點,但f(x)=x3是增函數,沒有極值點,如圖.由此可見,導函數的零點可能不是函數的極值點.也就是說,若f'(c)存在,則f'(c)=0是f(x)在x=c處取到極值的必要條件,但不是充分條件.
新知生成
1.極大值點與極大值
設函數y=f(x)在區間(a,b)內有定義,x0是(a,b)內的一個點,若點x0附近的函數值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0),x∈(a,b)),我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值,此時x0稱為f(x)的一個極大值點.
2.極小值點與極小值
設函數y=f(x)在區間(a,b)內有定義,x0是(a,b)內的一個點,若點x0附近的函數值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0),x∈(a,b)),我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值,此時x0稱為f(x)的一個極小值點.
3.極值與導數的關系
函數在極值點的導數為0,導函數的零點可能不是函數的極值點.
4.駐點
若f'(c)=0,則x=c叫作函數f(x)的駐點.對可導函數而言,極值點一定是駐點,而駐點不一定是極值點.如果一個函數在駐點的兩側單調性互異,即函數的導數在駐點的兩側變號,那么該駐點就是此函數的一個極值點.
新知運用
例1　求下列函數的駐點,并判斷其是不是極值點.若是,求出對應的極值;若不是,請說明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=x2-2ln x.
【解析】　(1)由題意得,f'(x)=3x2-6x-9,
令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,
解得x=-1或x=3,
即函數f(x)的駐點為x=-1和x=3.
當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以x=-1是f(x)的極大值點,且極大值為f(-1)=10;
x=3是f(x)的極小值點,且極小值為f(3)=-22.
(2)由題意得,函數f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=2x-,
令f'(x)=0,即2x-=0,
解得x=1或x=-1(舍去),
即函數f(x)的駐點為x=1.
當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
所以x=1是f(x)的極小值點,且極小值為f(1)=1,無極大值點.
【方法總結】　　求可導函數f(x)的極值的步驟
(1)確定函數的定義域,求f'(x).
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)函數的導數為0的點,順次將函數的定義域分成若干個小開區間,并列成表格.檢測f'(x)在方程根左、右兩側的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左、右兩側不改變符號,那么f(x)在這個根處無極值.
求下列函數的駐點,并判斷其是不是極值點.若是,求出對應的極值;若不是,請說明理由.
(1)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(2)f(x)=-2.
【解析】　(1)由題意得,f'(x)=12x2+2x+2,
令f'(x)=0,即12x2+2x+2=0,Δ<0,故方程無解,
所以f'(x)>0在R上恒成立,
故函數f(x)沒有駐點,無極值點,無極值.
(2)由題意得,函數f(x)的定義域為R,
f'(x)==-.
令f'(x)=0,即-=0,
解得x=-1或x=1,
即函數f(x)的駐點為x=-1和x=1.
當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以x=-1是f(x)的極小值點,且極小值為f(1)=-3;
x=1是f(x)的極大值點,且極大值為f(1)=-1.
探究2 求含參函數的極值
例2　已知函數f(x)=x-aln x(a∈R),求函數f(x)的極值.
【解析】　由f'(x)=1-=(x>0)知,
①當a≤0時,f'(x)>0,函數f(x)為(0,+∞)上的增函數,函數f(x)無極值;
②當a>0時,令f'(x)=0,解得x=a,
又當x∈(0,a)時,f'(x)<0,
當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,
所以函數f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a,無極大值.
綜上所述,當a≤0時,函數f(x)無極值;當a>0時,函數f(x)在x=a處取得極小值a-aln a,無極大值.　
【方法總結】　　求解析式中含有參數的函數極值時,有時需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據有兩種:一是看參數是否對f'(x)的零點有影響,若有影響,則需要分類討論;二是看f'(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數有關,若有關,則需要分類討論.
已知函數f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的極值.
【解析】　f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a),且a≠0,
令f'(x)=0,得x1=,x2=.
①當a>0時,<,則隨著x的變化,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ 0 ↗
∴當x=時,函數f(x)取得極大值,極大值為f=;
當x=時,函數f(x)取得極小值,極小值為f=0.
②當a<0時,<,則隨著x的變化,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
∴當x=時,函數f(x)取得極大值,極大值為f=0;
當x=時,函數f(x)取得極小值,極小值為f=.
綜上所述,當a>0時,函數f(x)在x=處取得極大值,在x=處取得極小值0;當a<0時,函數f(x)在x=處取得極大值0,在x=處取得極小值.
探究3 由極值求參數的值或取值范圍
例3　已知函數f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.
(1)試確定常數a,b的值;
(2)討論f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值.
【解析】　(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,
依題意,f'(1)=f'(-1)=0,
即解得
(2)由(1)可知,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
由題意得,x=±1為f(x)的兩個極值點,
且若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),則f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞增;若x∈(-1,1),則f'(x)<0,故f(x)在(-1,1)上單調遞減.
因此f(-1)=2是函數f(x)的極大值,f(1)=-2是函數f(x)的極小值.
例4　已知函數f(x)=-x3+kx有極大值,則k的值為　　　　.
【答案】　2
【解析】　f'(x)=-x2+k,當k≤0時,f'(x)≤0,函數f(x)的極值不存在.
當k>0時,令f'(x)=0,即-x2+k=0,得x=±.當x∈(-∞,-)時,f'(x)<0,所以函數f(x)在(-∞,-)上單調遞減;當x∈(-,)時,f'(x)>0,所以函數f(x)在(-,)上單調遞增;當x∈(,+∞)時,f'(x)<0,所以函數f(x)在(,+∞)上單調遞減.故當x=時,f(x)取得極大值,極大值為f()=-()3+k=,解得k=2.
【方法總結】　　已知函數的極值求參數的方法
(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題,解題的切入點是極值存在的條件:極值點處的導數值為0,極值點兩側的導數值異號.
注意:求出參數后,一定要驗證是否滿足題目的條件.
(2)對于函數無極值的問題,往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題,即轉化為f'(x)≥0或f'(x)≤0在某區間內恒成立的問題,此時需注意不等式中的等號是否成立.
若函數f(x)=2x3-6x+k在R上只有一個零點,求實數k的取值范圍.
【解析】　f(x)=2x3-6x+k,則f'(x)=6x2-6,
令f'(x)=0,得x=-1或x=1,
可知f(x)在(-1,1)上單調遞減,在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞增,
所以f(x)的極大值為f(-1)=4+k,極小值為f(1)=-4+k.
要使函數f(x)只有一個零點,
只需4+k<0或-4+k>0(如圖所示),
即k<-4或k>4.
故實數k的取值范圍為(-∞,-4)∪(4,+∞).
【隨堂檢測】
1.(多選題)函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(　　).
A.在(-2,1)上f(x)是增函數
B.在(1,3)上f(x)是減函數
C.當x=2時,f(x)取得極大值
D.x=4是函數f(x)的駐點
【答案】　CD
【解析】　由y=f'(x)的圖象可得y=f(x)的大致圖象如圖所示.
由圖可知,AB錯誤,C正確.
又f'(4)=0,所以x=4是函數f(x)的駐點.
故選CD.
2.函數f(x)=x2-ln x的極值點為(　　).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
【答案】　B
【解析】　由已知得,f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=3x-=,令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去).當x>時,f'(x)>0;當03.設x=1與x=2是函數f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點.
(1)試確定常數a和b的值;
(2)判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.
【解析】　(1)f'(x)=+2bx+1.
由極值點的必要條件可知,f'(1)=f'(2)=0,
∴解得
(2)由(1)知f(x)=-ln x-x2+x,定義域是(0,+∞),
∴f'(x)=-x-1-x+1=-.
當x∈(0,1)時,f'(x)<0;當x∈(1,2)時,f'(x)>0;當x∈(2,+∞)時,f'(x)<0.
∴x=1是函數f(x)的極小值點,x=2是函數f(x)的極大值點.
21.3 課時2 函數的極值與導數
【學習目標】
1.了解函數極值的概念,會從幾何直觀的角度理解函數的極值與導數的關系,并會靈活應用.(數學抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握函數極值的判定及求法.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握函數在某一點取得極值的條件.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
已知y=f(x),y=g(x)的圖象如圖所示.
1.函數f(x)在(a,x0),(x0,b)上的單調性與導數的符號有何特點
2.觀察y=f(x)的圖象,在區間(a,b)內,函數值f(x0)有何特點 它是極大值嗎
3.函數值f(x0)在定義域內是最大值嗎
4.函數y=g(x)在(a,b)上有極大值、極小值嗎
5.結合教材的實例思考:函數的極大值一定大于極小值嗎 在同一區間內極值點唯一嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)x=0是函數y=x3的極值點. (　　)
(2)可導函數一定存在極值. (　　)
(3)若f'(x0)=0,則x=x0是函數y=f(x)的極值點. (　　)
(4)若x=x0是函數y=f(x)的極值點,則f'(x0)=0. (　　)
2.已知函數f(x)的定義域為(a,b),導函數f'(x)在(a,b)上的圖象如圖所示,則函數f(x)在(a,b)上的極大值點的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.設函數f(x)=xex,則(　　).
A.x=1是f(x)的極大值點
B.x=1是f(x)的極小值點
C.x=-1是f(x)的極大值點
D.x=-1是f(x)的極小值點
4.已知函數f(x)=3x-x3+m的極大值為10,則m的值為　　　.
【合作探究】
探究1 函數的極值
在必修課程中,我們已經研究了函數在定義域內的最大值與最小值問題,但函數在定義域內某一點的附近,也存在著哪一點的函數值大、哪一點的函數值小的問題,如何利用導數的知識來判斷函數在某點附近的函數值的大小問題
問題1:觀察下列圖形,函數y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等點處的函數值與這些點附近的函數值有什么關系
問題2:y=f(x)在點x=d,e處的導數值是多少
問題3:在點x=d,e附近,y=f(x)的導數的符號有什么規律
問題4:導函數的零點是否一定是函數的極值點呢
新知生成
1.極大值點與極大值
設函數y=f(x)在區間(a,b)內有定義,x0是(a,b)內的一個點,若點x0附近的函數值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0),x∈(a,b)),我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值,此時x0稱為f(x)的一個極大值點.
2.極小值點與極小值
設函數y=f(x)在區間(a,b)內有定義,x0是(a,b)內的一個點,若點x0附近的函數值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0),x∈(a,b)),我們就說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值,此時x0稱為f(x)的一個極小值點.
3.極值與導數的關系
函數在極值點的導數為0,導函數的零點可能不是函數的極值點.
4.駐點
若f'(c)=0,則x=c叫作函數f(x)的駐點.對可導函數而言,極值點一定是駐點,而駐點不一定是極值點.如果一個函數在駐點的兩側單調性互異,即函數的導數在駐點的兩側變號,那么該駐點就是此函數的一個極值點.
新知運用
例1　求下列函數的駐點,并判斷其是不是極值點.若是,求出對應的極值;若不是,請說明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=x2-2ln x.
【方法總結】　　求可導函數f(x)的極值的步驟
(1)確定函數的定義域,求f'(x).
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)函數的導數為0的點,順次將函數的定義域分成若干個小開區間,并列成表格.檢測f'(x)在方程根左、右兩側的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左、右兩側不改變符號,那么f(x)在這個根處無極值.
求下列函數的駐點,并判斷其是不是極值點.若是,求出對應的極值;若不是,請說明理由.
(1)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(2)f(x)=-2.
探究2 求含參函數的極值
例2　已知函數f(x)=x-aln x(a∈R),求函數f(x)的極值.
【方法總結】　　求解析式中含有參數的函數極值時,有時需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據有兩種:一是看參數是否對f'(x)的零點有影響,若有影響,則需要分類討論;二是看f'(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數有關,若有關,則需要分類討論.
已知函數f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的極值.
探究3 由極值求參數的值或取值范圍
例3　已知函數f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.
(1)試確定常數a,b的值;
(2)討論f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值.
例4　已知函數f(x)=-x3+kx有極大值,則k的值為　　　　.
【方法總結】　　已知函數的極值求參數的方法
(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題,解題的切入點是極值存在的條件:極值點處的導數值為0,極值點兩側的導數值異號.
注意:求出參數后,一定要驗證是否滿足題目的條件.
(2)對于函數無極值的問題,往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題,即轉化為f'(x)≥0或f'(x)≤0在某區間內恒成立的問題,此時需注意不等式中的等號是否成立.
若函數f(x)=2x3-6x+k在R上只有一個零點,求實數k的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.(多選題)函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(　　).
A.在(-2,1)上f(x)是增函數
B.在(1,3)上f(x)是減函數
C.當x=2時,f(x)取得極大值
D.x=4是函數f(x)的駐點
2.函數f(x)=x2-ln x的極值點為(　　).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
3.設x=1與x=2是函數f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點.
(1)試確定常數a和b的值;
(2)判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.
2

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