資源簡介

1.3 課時3 三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間和極值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)能否畫出其圖象草圖
2.在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,想一想,在[a,b]上一定存在最值和極值嗎 在區(qū)間(a,b)上呢
3.如何求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一般地,連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函數(shù)y=x3-6x的極大值為4. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值點(diǎn)為0. (　　)
(4)極大(小)值一定是函數(shù)的最大(小)值. (　　)
2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3處取得極值,則a=(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-10在區(qū)間[-1,1]上的最大值為　　　　.
【合作探究】
探究1 三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
某數(shù)學(xué)興趣小組對形如f(x)=x3-x2+2x+1的三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.
問題1:求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極大值.
問題2:求函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上的最小值.
新知生成
設(shè)F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則F'(x)=3ax2+2bx+c.
可能有以下三種情形:
情形1:函數(shù)F'(x)沒有零點(diǎn),F'(x)在(-∞,+∞)上不變號.
若a>0,則F'(x)恒為正,F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
若a<0,則F'(x)恒為負(fù),F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.
情形2:函數(shù)F'(x)有一個零點(diǎn)x=ω.
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì):
若a>0,則F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒為正,F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
若a<0,則F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒為負(fù),F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.
情形3:函數(shù)F'(x)有兩個零點(diǎn)x=u和x=v,設(shè)u根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì):
若a>0,則F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上為正,在(u,v)上為負(fù),對應(yīng)地,F(x)在(-∞,u)上單調(diào)遞增,在(u,v)上單調(diào)遞減,在(v,+∞)上單調(diào)遞增.
可見F(x)在x=u處取得極大值,在x=v處取得極小值.
若a<0,則F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上為負(fù),在(u,v)上為正,對應(yīng)地,F(x)在(-∞,u)上單調(diào)遞減,在(u,v)上單調(diào)遞增,在(v,+∞)上單調(diào)遞減.
可見F(x)在x=u處取得極小值,在x=v處取得極大值.
新知運(yùn)用
例1　已知函數(shù)f(x)=-ax3+x2+1.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的極值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
【方法總結(jié)】　　求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的問題,求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為一元二次方程及一元二次不等式的問題去解決.
已知函數(shù)f(x)=-x3+3x+a,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
探究2 三次函數(shù)的最值問題
例2　已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx,當(dāng)x=-1時取得極小值,當(dāng)x=時取得極大值.
(1)求曲線y=f(x)在x=-2處的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.
【方法總結(jié)】　　求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值的一般步驟:
(1)求f'(x);
(2)求方程 f'(x)=0的根x1,x2,…(不在定義域內(nèi)的要舍去);
(3)求f(x1),f(x2),…及f(a),f(b);
(4)比較上述函數(shù)值的大小,最大的為最大值,最小的為最小值.
注意:求函數(shù)最值時不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較.
已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x.求函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值.
探究3 由函數(shù)的最值求參數(shù)問題
例3　已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
【方法總結(jié)】　　已知函數(shù)的最值求參數(shù),可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,通過比較它們的大小,判斷出哪個是最大值,哪個是最小值.結(jié)合已知求出參數(shù),進(jìn)而使問題得以解決.要注意極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi).
已知a,b為常數(shù)且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函數(shù)f(x)的極大值為2,且在區(qū)間[0,3]上的最小值為-2a+b,求a,b的值.
【隨堂檢測】
1.f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值,則常數(shù)c的值為(　　).
A.2 B.6 C.2或6 D.1
2.f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是(　　).
A.-2 B.0 C.2 D.4
3.若函數(shù)f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
4.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1在x=1處有極小值,求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,上的最大值.
21.3 課時3 三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間和極值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)能否畫出其圖象草圖
【答案】　根據(jù)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值可以畫出其圖象草圖.
2.在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,想一想,在[a,b]上一定存在最值和極值嗎 在區(qū)間(a,b)上呢
【答案】　函數(shù)y=f(x)在[a,b]上一定有最值,但不一定有極值.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),那么f(x)在[a,b]上無極值;如果f(x)在[a,b]上不是單調(diào)函數(shù),那么f(x)在[a,b]上有極值.當(dāng)f(x)在(a,b)上是單調(diào)函數(shù)時,它既沒有最值也沒有極值.
3.如何求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值
【答案】　求出函數(shù)f(x)在[a,b]上的極值和端點(diǎn)值,然后進(jìn)行比較,最大者為最大值,最小者為最小值.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一般地,連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函數(shù)y=x3-6x的極大值為4. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值點(diǎn)為0. (　　)
(4)極大(小)值一定是函數(shù)的最大(小)值. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3處取得極值,則a=(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】　D
【解析】　f'(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3處取得極值,所以f'(-3)=0,即3×(-3)2-6a+3=0,解得a=5.
3.函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-10在區(qū)間[-1,1]上的最大值為　　　　.
【答案】　-6
【解析】　因?yàn)閒'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為f(1)=-6.
【合作探究】
探究1 三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
某數(shù)學(xué)興趣小組對形如f(x)=x3-x2+2x+1的三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.
問題1:求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極大值.
【答案】　由已知得f'(x)=x2-3x+2,令f'(x)=0,得x=1或x=2.
當(dāng)12或x<1時,f'(x)>0.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).所以函數(shù)的極大值為f(1)=.
問題2:求函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上的最小值.
【答案】　由問題1可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上的最小值為f(2)=-×22+2×2+1=.
新知生成
設(shè)F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則F'(x)=3ax2+2bx+c.
可能有以下三種情形:
情形1:函數(shù)F'(x)沒有零點(diǎn),F'(x)在(-∞,+∞)上不變號.
若a>0,則F'(x)恒為正,F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
若a<0,則F'(x)恒為負(fù),F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.
情形2:函數(shù)F'(x)有一個零點(diǎn)x=ω.
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì):
若a>0,則F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒為正,F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
若a<0,則F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒為負(fù),F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.
情形3:函數(shù)F'(x)有兩個零點(diǎn)x=u和x=v,設(shè)u根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì):
若a>0,則F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上為正,在(u,v)上為負(fù),對應(yīng)地,F(x)在(-∞,u)上單調(diào)遞增,在(u,v)上單調(diào)遞減,在(v,+∞)上單調(diào)遞增.
可見F(x)在x=u處取得極大值,在x=v處取得極小值.
若a<0,則F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上為負(fù),在(u,v)上為正,對應(yīng)地,F(x)在(-∞,u)上單調(diào)遞減,在(u,v)上單調(diào)遞增,在(v,+∞)上單調(diào)遞減.
可見F(x)在x=u處取得極小值,在x=v處取得極大值.
新知運(yùn)用
例1　已知函數(shù)f(x)=-ax3+x2+1.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的極值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
【解析】　(1)當(dāng)a=1時,f(x)=-x3+x2+1,則f'(x)=-x2+2x=-x(x-2).
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).
∴當(dāng)x=0時,函數(shù)f(x)取得極小值,極小值為f(0)=1;
當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(2)=.
(2)∵f(x)=-ax3+x2+1,∴f'(x)=-ax2+2x.
①當(dāng)a=0時,f(x)=x2+1,f'(x)=2x.
令f'(x)<0,得x<0;令f'(x)>0,得x>0.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
②當(dāng)a<0時,令f'(x)>0,得x<或x>0;令f'(x)<0,得∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為,0.
③當(dāng)a>0時,令f'(x)>0,得0.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,,單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和,+∞.
綜上所述,當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞,和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為,0;
當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,,單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和,+∞.
【方法總結(jié)】　　求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的問題,求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為一元二次方程及一元二次不等式的問題去解決.
已知函數(shù)f(x)=-x3+3x+a,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
【解析】　(1)由題意可知,f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞).
f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1).
令f'(x)>0,即-3(x+1)(x-1)>0,解得-1令f'(x)<0,即-3(x+1)(x-1)<0,解得x<-1或x>1.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).
(2)由題意可知,f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞).
f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
令f'(x)=0,即-3(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=1.
當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以f(x)的極小值為f(-1)=-(-1)3+3×(-1)+a=a-2,極大值為f(1)=-13+3×1+a=a+2.
探究2 三次函數(shù)的最值問題
例2　已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx,當(dāng)x=-1時取得極小值,當(dāng)x=時取得極大值.
(1)求曲線y=f(x)在x=-2處的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.
【解析】　(1)∵函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx,
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分別對應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值,
∴-1,為方程-3x2+2ax+b=0的兩個根,
∴由韋達(dá)定理知解得
∴f(x)=-x3-x2+2x,f'(x)=-3x2-x+2.
當(dāng)x=-2時,f(-2)=2,即切點(diǎn)為(-2,2).
又切線斜率k=f'(-2)=-8,
故所求切線方程為y-2=-8(x+2),即8x+y+14=0.
(2)當(dāng)x變化時,f'(x)及f(x)的變化情況如下表:
x -2 (-2, -1) -1 -1, ,1 1
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 2 ↘ - ↗ ↘
∵當(dāng)x=-1時,函數(shù)f(x)取得極小值,極小值為f(-1)=-;當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f=.
又∵f(-2)=2,f(1)=,-<<<2,
∴函數(shù)f(x)在[-2,1]上的最大值為2,最小值為-.
【方法總結(jié)】　　求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值的一般步驟:
(1)求f'(x);
(2)求方程 f'(x)=0的根x1,x2,…(不在定義域內(nèi)的要舍去);
(3)求f(x1),f(x2),…及f(a),f(b);
(4)比較上述函數(shù)值的大小,最大的為最大值,最小的為最小值.
注意:求函數(shù)最值時不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較.
已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x.求函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值.
【解析】　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,解得x1=-,x2=a.
①當(dāng)a>0時,f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②當(dāng)a=0時,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0.
③當(dāng)a<0時,f(x)在0,-上單調(diào)遞減,在-,+∞上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f-=.
綜上所述,當(dāng)a>0時,f(x)的最小值為-a3;
當(dāng)a=0時,f(x)的最小值為0;
當(dāng)a<0時,f(x)的最小值為.
探究3 由函數(shù)的最值求參數(shù)問題
例3　已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
【解析】　存在.顯然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),且x∈[-1,2],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).
①若a>0,則當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
∴當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值,同時也是最大值,
∴f(0)=b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),
∴當(dāng)x=2時,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.
②若a<0,則當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
∴當(dāng)x=0時,f(x)取得極小值,同時也是最小值,∴f(0)=b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴當(dāng)x=2時,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.
綜上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【方法總結(jié)】　　已知函數(shù)的最值求參數(shù),可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,通過比較它們的大小,判斷出哪個是最大值,哪個是最小值.結(jié)合已知求出參數(shù),進(jìn)而使問題得以解決.要注意極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi).
已知a,b為常數(shù)且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函數(shù)f(x)的極大值為2,且在區(qū)間[0,3]上的最小值為-2a+b,求a,b的值.
【解析】　f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.
∵a>0,∴x1當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴當(dāng)x=-1時,f(x)取極大值2,即3a+2b=3.
①當(dāng)0∴f(a)為最小值,且f(a)=-a3-a2+b,
即-a3-a2+b=-2a+b,解得a=1或a=0(舍去)或a=-4(舍去).
又3a+2b=3,∴b=0,
∴a=1,b=0.
②當(dāng)a≥3時,可知f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減,
∴f(3)為[0,3]上的最小值,
∴f(3)=27+(1-a)-9a+b=-2a+b.
∴解得a=,
∵<3,∴此時沒有符合條件的a,b.
綜上所述,滿足題意的a的值為1,b的值為0.
【隨堂檢測】
1.f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值,則常數(shù)c的值為(　　).
A.2 B.6 C.2或6 D.1
【答案】　A
【解析】　∵函數(shù)f(x)=x(x-c)2,∴f'(x)=3x2-4cx+c2,
又f(x)=x(x-c)2在x=2處有極值,
∴f'(2)=12-8c+c2=0,解得c=2或c=6,
又由函數(shù)在x=2處有極小值,故c=2.
當(dāng)c=6時,函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,
2.f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是(　　).
A.-2 B.0 C.2 D.4
【答案】　C
【解析】　f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0可得x=0或x=2(舍去),
當(dāng)-1≤x<0時,f'(x)>0,當(dāng)0所以當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值,也為最大值,最大值為2.
3.若函數(shù)f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
【答案】　-,0
【解析】　由題意得f'(x)=3x2+4ax+a,
若函數(shù)f(x)在(0,1)上存在唯一極值點(diǎn),則f'(0)·f'(1)<0,即a·(3+4a+a)<0,解得-4.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1在x=1處有極小值,求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,上的最大值.
【解析】　f'(x)=3x2-x+a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處有極小值,
所以f'(1)=3-1+a=0,解得a=-2,
所以f(x)=x3-x2-2x+1,
令f'(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,
當(dāng)x<-或x>1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)-0,f(x)單調(diào)遞減,
所以f(x)在-2,-,1,上單調(diào)遞增,在-,1上單調(diào)遞減,
f-=-3-×-2-2×-+1=,
f=3-×2-2×+1=,
因?yàn)閒-=>f=,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,上的最大值為.
2

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