資源簡介

1.3 課時4 導數的應用舉例
【學習目標】
1.掌握解決有關函數最大值、最小值的實際問題的方法.(數學運算)
2.提高用有關求函數的最大值、最小值的知識解決一些實際問題的能力.(數學建模、數學運算)
【自主預習】
某廠家計劃用一種材料生產一種盛500 mL溶液的圓柱形易拉罐.
1.生產這種易拉罐,如何計算材料用量多少呢
【答案】　計算出圓柱的表面積即可.
2.如何制作使用材料才能最省
【答案】　要使用料最省,只需圓柱的表面積最小.可設圓柱的底面半徑為x,則圓柱的表面積S=2πx2+(x>0),求S的最小值時,只需知道圓柱的半徑、高即可.
3.在實際問題中,如果在定義域內函數只有一個極值點,那么函數在該點處取最值嗎
【答案】　根據函數的極值與單調性的關系可以判斷,函數在該點處取最值,并且極小值點對應最小值,極大值點對應最大值.
1.某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數關系是y=f(x),且f'(100)=-1,這個數據說明在第100天時,(　　).
A.公司已經虧損
B.公司的盈利在增加
C.公司的盈利在逐漸減少
D.公司有時盈利有時虧損
【答案】　C
【解析】　因為f'(100)=-1,所以函數f(x)的圖象在x=100處的切線的斜率為負值,說明公司的盈利在逐漸減少.
2.已知某生產廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產量x(單位:萬件)的函數關系式為y=-x3+81x-234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為(　　).
A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件
【答案】　C
【解析】　y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).當00;當x>9時,y'<0.所以當x=9時,y取得最大值.
【合作探究】
探究1 面積、容（體）積有關的最值問題
例1　如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設AE=FB=x cm.
(1)求包裝盒的容積V(x)關于x的函數表達式,并求出函數的定義域.
(2)當x為多少時,包裝盒的容積V(x)最大 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【解析】　(1)設包裝盒的高為h cm, 底面邊長為a cm,
則a=x,h=(30-x),0所以V=a2h=2(-x3+30x2)=-2x3+60x2,
其定義域為{x|0(2)由V=2(-x3+30x2),可得V'=6x(20-x).
令V'=0,解得x=20.
當x∈(0,20)時,V'>0;當x∈(20,30)時,V'<0.
所以當x=20時,V取得極大值,也是最大值,最大值為8000.
故當x=20時,包裝盒的容積最大,最大值為8000 cm3,此時a=20,h=10,故包裝盒的高與底面邊長的比值為=.
【方法總結】　　解決面積、容積的最值問題,要正確引入變量,將面積或容積表示為變量的函數,結合實際問題的定義域,利用導數求解函數的最值.
如圖所示,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,當這個正六棱柱容器的底面邊長為　　　　時,其容積最大.
【答案】　
【解析】　設被切去的全等四邊形的一邊長為x,如圖所示,則正六棱柱的底面邊長為1-2x,高為x,
所以正六棱柱的體積V=6×(1-2x)2·x=(4x3-4x2+x)0令V'=0,得x=(舍去)或x=,
所以當x∈0,時,V'>0;當x∈,時,V'<0.
故當x=時,V有極大值,也是最大值,此時正六棱柱的底面邊長為.
探究2 費用（用材）最省問題
例2　某網球中心欲建連成片的網球場數塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設面積為1000平方米,球場的總建筑面積的每平方米的平均建設費用與球場數有關,當該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設費用(單位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x來刻畫.為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設費用與購地費用之和),該網球中心應建幾個球場
【解析】　設建成x個球場,1≤x≤10,且x∈N,則每平方米的購地費用為=(元),因為每平方米的平均建設費用(單位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x來表示,
所以每平方米的綜合費用為g(x)=f(x)+=800+160ln x+(1≤x≤10),
所以g'(x)=(1≤x≤10),
令g'(x)=0,解得x=8,
當1≤x<8時,g'(x)<0;當80.
所以當x=8時,函數取得極小值,且為最小值.
故當建成8個球場時,每平方米的綜合費用最省.
【方法總結】　　實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節省時間等問題都需要利用導數求解相應函數的最小值.根據f'(x)=0求出極值點(注意根據實際意義舍去不合適的極值點)后,若函數在該點附近滿足左減右增,則此時唯一的極小值就是所求函數的最小值.
統計表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關于行駛速度x(單位:千米/時)的函數【解析】式可以表示為y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100千米,則當汽車以　　　　千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地的耗油量最少.
【答案】　80
【解析】　設速度為x千米/時,則汽車從甲地到乙地行駛了小時,設耗油量為f(x)升,則
f(x)=x3-x+8·
=x2+-,x∈(0,120],
故f'(x)=-=(0令f'(x)=0,得x=80,
當x∈(0,80)時,f'(x)<0,該函數單調遞減;當x∈(80,120]時,f'(x)>0,該函數單調遞增.
所以當x=80時,f(x)取得最小值.
故當汽車以80千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地的耗油量最少.
探究3 利潤最大問題
例3　生產某產品的全部成本c(單位:萬元)與產品的件數x(單位:件)滿足函數關系c=1200+x3.該產品單價p(單位:萬元)的平方與生產的產品件數x(單位:件)成反比,現已知生產該產品100件時,其單價p=50萬元,且工廠生產的產品都可以銷售完.設工廠生產該產品的利潤為f(x)(單位:萬元).(注:利潤=銷售額-成本)
(1)求函數y=f(x)的表達式;
(2)當生產該產品的件數x為多少時,工廠生產該產品的利潤最大
【解析】　(1)依題意,設p2=,代入x=100,p=50得k=250000,
所以p2=,得p=,
故f(x)=px-1200+x3=500-x3-1200(x>0且x∈N).
(2)由(1)得f'(x)=-x2,
令f'(x)=0,解得x=25.
當x∈(0,25)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(25,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以函數f(x)在x=25處有極大值.
因為f(x)在(0,+∞)上只有唯一極值,所以函數f(x)在x=25處取得最大值.
故當生產該產品的件數為25時,工廠生產該產品的利潤最大.
【方法總結】　　1.關于利潤問題常用的兩個等量關系:①利潤=收入-成本;②利潤=每件產品的利潤×銷售件數.
2.實際生活中利潤最大問題都需要利用導數求解相應函數的最大值,此時根據f'(x)=0求出極值點(注意根據實際意義舍棄不合適的極值點),若函數滿足左增右減,此時唯一的極大值就是所求函數的最大值.
某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產線,現要通過技術改造來提高其生產能力,進而提高產品的增加值.已知投入x萬元用于技術改造,所獲得的產品的增加值為(60-x)x2萬元,并且技術改造投入比率∈(0,5].
(1)求技術改造投入x的取值范圍.
(2)當技術改造投入為多少萬元時,所獲得的產品的增加值最大 最大值為多少萬元
【解析】　(1)由題意,∈(0,5],x>0,
所以0所以技術改造投入x的取值范圍是(0,50].
(2)設f(x)=(60-x)x2,x∈(0,50],
則f'(x)=-3x(x-40),
當00;當40所以當x=40時,函數取得極大值,也是最大值,即最大值為32000萬元.
故當技術改造投入為40萬元時,所獲得的產品的增加值最大,最大值為32000萬元.
【隨堂檢測】
1.一質點沿直線運動,如果由始點出發,經過t秒后的距離為s=t3-2t2,那么速度為0的時刻是(　　).
A.1秒末 B.0秒
C.2秒末 D.0秒或1秒末
【答案】　D
【解析】　由題意可得t≥0,s'=4t2-4t,令s'=0,解得t1=0,t2=1.
2.某公司生產一種產品,固定成本為20000元,每生產一個單位的產品,成本增加100元,若總收入R與年產量x(0≤x≤390)的關系是R(x)=-+400x(0≤x≤390),則當總利潤最大時,每年生產的產品單位數是(　　).
A.150 B.200 C.250 D.300
【答案】　D
【解析】　由題意可得總利潤P(x)=-+300x-20000,0≤x≤390,
則P'(x)=-+300.
由P'(x)=0,得x=300.
當0≤x<300時,P'(x)>0;當3003.某箱子的體積V與底面邊長x的關系為V(x)=x2·(0A.30 B.40 C.50 D.55
【答案】　B
【解析】　由題意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40),0當00,V(x)單調遞增;
當40所以當x=40時,V(x)取得最大值,即當箱子的體積最大時,箱子的底面邊長為40.
4.某產品的銷售收入y1(單位:萬元)是產量x(單位:千臺)的函數:y1=17x2(x>0),生產成本y2(單位:萬元)是產量x(單位:千臺)的函數:y2=2x3-x2(x>0).為使利潤最大,應生產　　　　　千臺該產品.
【答案】　6
【解析】　設利潤為y萬元,則y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
∴y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0或x=6,
經檢驗,x=6既是函數的極大值點又是函數的最大值點,故為使利潤最大,應生產6千臺該產品.
21.3 課時4 導數的應用舉例
【學習目標】
1.掌握解決有關函數最大值、最小值的實際問題的方法.(數學運算)
2.提高用有關求函數的最大值、最小值的知識解決一些實際問題的能力.(數學建模、數學運算)
【自主預習】
某廠家計劃用一種材料生產一種盛500 mL溶液的圓柱形易拉罐.
1.生產這種易拉罐,如何計算材料用量多少呢
2.如何制作使用材料才能最省
3.在實際問題中,如果在定義域內函數只有一個極值點,那么函數在該點處取最值嗎
1.某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數關系是y=f(x),且f'(100)=-1,這個數據說明在第100天時,(　　).
A.公司已經虧損
B.公司的盈利在增加
C.公司的盈利在逐漸減少
D.公司有時盈利有時虧損
2.已知某生產廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產量x(單位:萬件)的函數關系式為y=-x3+81x-234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為(　　).
A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件
【合作探究】
探究1 面積、容（體）積有關的最值問題
例1　如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設AE=FB=x cm.
(1)求包裝盒的容積V(x)關于x的函數表達式,并求出函數的定義域.
(2)當x為多少時,包裝盒的容積V(x)最大 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【方法總結】　　解決面積、容積的最值問題,要正確引入變量,將面積或容積表示為變量的函數,結合實際問題的定義域,利用導數求解函數的最值.
如圖所示,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,當這個正六棱柱容器的底面邊長為　　　　時,其容積最大.
探究2 費用（用材）最省問題
例2　某網球中心欲建連成片的網球場數塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設面積為1000平方米,球場的總建筑面積的每平方米的平均建設費用與球場數有關,當該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設費用(單位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x來刻畫.為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設費用與購地費用之和),該網球中心應建幾個球場
【方法總結】　　實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節省時間等問題都需要利用導數求解相應函數的最小值.根據f'(x)=0求出極值點(注意根據實際意義舍去不合適的極值點)后,若函數在該點附近滿足左減右增,則此時唯一的極小值就是所求函數的最小值.
統計表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關于行駛速度x(單位:千米/時)的函數【解析】式可以表示為y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100千米,則當汽車以　　　　千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地的耗油量最少.
探究3 利潤最大問題
例3　生產某產品的全部成本c(單位:萬元)與產品的件數x(單位:件)滿足函數關系c=1200+x3.該產品單價p(單位:萬元)的平方與生產的產品件數x(單位:件)成反比,現已知生產該產品100件時,其單價p=50萬元,且工廠生產的產品都可以銷售完.設工廠生產該產品的利潤為f(x)(單位:萬元).(注:利潤=銷售額-成本)
(1)求函數y=f(x)的表達式;
(2)當生產該產品的件數x為多少時,工廠生產該產品的利潤最大
【方法總結】　　1.關于利潤問題常用的兩個等量關系:①利潤=收入-成本;②利潤=每件產品的利潤×銷售件數.
2.實際生活中利潤最大問題都需要利用導數求解相應函數的最大值,此時根據f'(x)=0求出極值點(注意根據實際意義舍棄不合適的極值點),若函數滿足左增右減,此時唯一的極大值就是所求函數的最大值.
某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產線,現要通過技術改造來提高其生產能力,進而提高產品的增加值.已知投入x萬元用于技術改造,所獲得的產品的增加值為(60-x)x2萬元,并且技術改造投入比率∈(0,5].
(1)求技術改造投入x的取值范圍.
(2)當技術改造投入為多少萬元時,所獲得的產品的增加值最大 最大值為多少萬元
【隨堂檢測】
1.一質點沿直線運動,如果由始點出發,經過t秒后的距離為s=t3-2t2,那么速度為0的時刻是(　　).
A.1秒末 B.0秒
C.2秒末 D.0秒或1秒末
2.某公司生產一種產品,固定成本為20000元,每生產一個單位的產品,成本增加100元,若總收入R與年產量x(0≤x≤390)的關系是R(x)=-+400x(0≤x≤390),則當總利潤最大時,每年生產的產品單位數是(　　).
A.150 B.200 C.250 D.300
3.某箱子的體積V與底面邊長x的關系為V(x)=x2·(0A.30 B.40 C.50 D.55
4.某產品的銷售收入y1(單位:萬元)是產量x(單位:千臺)的函數:y1=17x2(x>0),生產成本y2(單位:萬元)是產量x(單位:千臺)的函數:y2=2x3-x2(x>0).為使利潤最大,應生產　　　　　千臺該產品.
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