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第1章章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問題
例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指導(dǎo)　利用導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.
【解析】　(1)∵y=+=,
∴y'==.
(2)∵y=xsincos=x·sin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='
=
=
=
=.
小結(jié)　函數(shù)求導(dǎo)時(shí)要注意:(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)先利用代數(shù)、三角恒等式等對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度;(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,通過設(shè)中間變量,確定復(fù)合過程,然后求導(dǎo).
題型2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例2　(1)(2021年全國甲卷)曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為　　　　.
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
【解析】　(1)當(dāng)x=-1時(shí),y=-3,故點(diǎn)(-1,-3)在曲線上.又y'==,所以當(dāng)x=-1時(shí),y'=5,故切線方程為5x-y+2=0.
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,(x0+a)), 則切線的斜率為f'(x0)=(x0+a+1),可得切線方程為y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).又切線過原點(diǎn),可得-(x0+a)=-x0(x0+a+1),化簡得+ax0-a=0.　(※)
又切線有兩條,所以方程(※)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則判別式Δ=a2+4a>0,得a<-4或a>0.
小結(jié)　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是弄清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn),常見類型有兩種:一種是求“在某點(diǎn)處的切線方程”,此點(diǎn)一定為切點(diǎn),先求導(dǎo),再求斜率,進(jìn)而求出切線方程;另一種是求“過某點(diǎn)的切線方程”,這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn),可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切線過點(diǎn)P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.
題型3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例3　已知函數(shù)f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.討論f(x)的單調(diào)性.
【解析】　由題意得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f'(x)=a--+=.
若a≤0,則ax2-2<0,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
若a>0,f'(x)=(x-1)x-x+.
①當(dāng)01,
當(dāng)x∈(0,1)或x∈,+∞時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈1,時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
②當(dāng)a=2時(shí),=1,在x∈(0,+∞)上,f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.
③當(dāng)a>2時(shí),0<<1,
當(dāng)x∈0,或x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈,1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)0當(dāng)a=2時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在0,上單調(diào)遞增,在,1上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
小結(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn):(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間;(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí),轉(zhuǎn)化要等價(jià);(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集;(4)求參數(shù)的取值范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.
題型4 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值
例4　(1)(2022年全國甲卷)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)(2023年新高考全國Ⅱ卷)(多選題)若函數(shù)f(x)=aln x++(a≠0)既有極大值也有極小值,則(　　).
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
(3)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為　　　　.
【答案】　(1)B　(2)BCD　(3)-1
【解析】　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
所以依題意可知又f'(x)=-,
所以即所以f'(x)=-+,
因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最大值,滿足題意.
所以f'(2)=-1+=-.故選B.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=aln x++(a≠0),所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值,所以關(guān)于x的方程ax2-bx-2c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根x1,x2,則即所以故選BCD.
(3)由f(x)=(x2+ax-1)ex-1,可得f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1,
由x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),
可得f'(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e-3=0,即-4+a+(3-2a)=0,解得a=-1.
所以f'(x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1=(x2+x-2)ex-1,
因?yàn)楹瘮?shù)的極值點(diǎn)為x=-2,x=1,所以當(dāng)x<-2或x>1時(shí),f'(x)>0,函數(shù)是增函數(shù),
當(dāng)-2故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為f(1)=(12-1-1)e1-1=-1.
小結(jié)　(1)求極值時(shí)一般需確定f'(x)=0的點(diǎn)和f(x)的單調(diào)性,對(duì)于常見的連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn),當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí),對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不做判斷,只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可.
題型5 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的問題
例5　(2022年全國乙卷)已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】　(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=--ln x,x>0,
則f'(x)=-=.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,則f'(x)=a+-=.
當(dāng)a≤0時(shí),ax-1<0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn),不符合題意.
當(dāng)01,在(0,1),,+∞上,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;在1,上,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
又f(1)=a-1<0,當(dāng)x趨近于正無窮大時(shí),f(x)趨近于正無窮大,結(jié)合圖象(圖略)知f(x)僅在,+∞上有唯一零點(diǎn),符合題意.
當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=≥0,所以f(x)單調(diào)遞增,又f(1)=a-1=0,所以f(x)有唯一零點(diǎn),符合題意.
當(dāng)a>1時(shí),<1,在0,,(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;在,1上,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
此時(shí)f(1)=a-1>0,故f>f(1)>0,當(dāng)x趨近于0且大于0時(shí),f(x)趨近于負(fù)無窮大,結(jié)合圖象(圖略)知f(x)在0,上有一個(gè)零點(diǎn),在,+∞上無零點(diǎn),
所以f(x)有唯一零點(diǎn),符合題意.
綜上,a的取值范圍為(0,+∞).
小結(jié)　與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.解題過程滲透直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型6 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
例6　(2022年全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍.
(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2<1.
【解析】　(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-+1=.
令f'(x)>0,解得x>1,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
令f'(x)<0,解得0故f(x)min=f(1)=e+1-a.
要使得f(x)≥0恒成立,僅需e+1-a≥0,
故a≤e+1,故a的取值范圍是(-∞,e+1].
(2)要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則f(1)=e+1-a<0,即a>e+1,且x1,x2在x=1兩側(cè).
不妨設(shè)0∵01,即證明1又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴即證明f(x2)∵x1,x2為f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),∴即證明f(x1)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f,0則h'(x)=f'(x)+f'=,
令k(x)=ex+x-x-1,0則k'(x)=ex+1+>0,
∴k(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故k(x)又∵x-1<0,x2>0,
故h'(x)>0在(0,1)上恒成立,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
又h(1)=0,故h(x)故f(x1)小結(jié)　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,則h(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,同時(shí)h(a)≥0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0,則h(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,同時(shí)h(b)≥0,即f(x)>g(x).本題考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型7 利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題
例7　(2020年新高考全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
【解析】　(1)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex-ln x+1,∴f'(x)=ex-,∴曲線在(1,f(1))處的切線斜率k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2,
∴切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),,0,
∴所求三角形的面積為×2×=.
(2)(法一)由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1,即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x,而ln x+x=eln x+ln x,∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.
令h(m)=em+m,則h'(m)=em+1>0,
∴h(m)在R上單調(diào)遞增.
由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x,得h(ln a+x-1)≥h(ln x),∴l(xiāng)n a+x-1≥ln x,∴l(xiāng)n a≥(ln x-x+1)max.
令F(x)=ln x-x+1(x>0),則F'(x)=-1=.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減.
∴F(x)max=F(1)=0,則ln a≥0,即a≥1.
∴a的取值范圍為[1,+∞).
(法二)由題意知a>0,x>0,令aex-1=t,
∴l(xiāng)n a+x-1=ln t,∴l(xiāng)n a=ln t-x+1.
∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1.
∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1,∴t+ln t≥x+ln x,而y=x+ln x在(0,+∞)上為增函數(shù),故t≥x,即aex-1≥x,分離參數(shù)后有a≥.
令g(x)=,∴g'(x)===.
當(dāng)00,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=1時(shí),g(x)=取得最大值,最大值為g(1)=1.
∴a的取值范圍為[1,+∞).
小結(jié)　解決恒成立問題的方法:(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)max≤m.(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥m在區(qū)間D上恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)min≥m.(3)導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)f(x)的最大值或最小值問題的有力工具.本題滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
【拓展延伸】
中世紀(jì)時(shí)期,歐洲科學(xué)發(fā)展停滯不前,人類對(duì)無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什么突破.中世紀(jì)以后,歐洲數(shù)學(xué)和科學(xué)急速發(fā)展,微積分的觀念此時(shí)趨于成熟.在積分方面,1615年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個(gè)由無數(shù)圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積.而伽利略(Galileo)的學(xué)生卡瓦列里(Cavalieri)認(rèn)為一條線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成;一個(gè)面由無窮多條線構(gòu)成;一個(gè)立體由無窮多個(gè)面構(gòu)成.這些想法都是積分法的前驅(qū).
在微分方面,十七世紀(jì)人類也有很大的突破.費(fèi)馬(Fermat)在一封給羅貝瓦(Roberval)的信中,提及計(jì)算函數(shù)的極大值和極小值的步驟,而這實(shí)際上已相當(dāng)于現(xiàn)代微分學(xué)中所用的,設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零,然后求出函數(shù)極點(diǎn)的方法.另外,巴羅(Barrow)也已經(jīng)懂得通過“微分三角形”(相當(dāng)于以dx,dy,ds為邊的三角形)求出切線的方程,這和現(xiàn)今微分學(xué)中用導(dǎo)數(shù)求切線的方法是一樣的.由此可見,人類在十七世紀(jì)已經(jīng)掌握了微分的要領(lǐng).
然而直至十七世紀(jì)中葉,人類仍然認(rèn)為微分和積分是兩個(gè)獨(dú)立的觀念.就在這個(gè)時(shí)候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題,通過“微積分基本定理”和“牛頓-萊布尼茨公式”聯(lián)系起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆.這是微積分理論中的基石,是微積分發(fā)展的一個(gè)重要里程碑.
微積分誕生以后,逐漸發(fā)揮出它非凡的威力,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,至此往往迎刃而解.微積分的迅速發(fā)展,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì),許多迫切問題基本上已經(jīng)解決,數(shù)學(xué)家于是轉(zhuǎn)向微積分理論的基礎(chǔ)重建,人類也終于首次給出極限、微分和積分等概念的嚴(yán)格定義.
1816年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續(xù)函數(shù)的近代定義.繼而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后來在1823年的《概要》中他改寫為d方法,把整個(gè)極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”.后來外爾斯特拉斯(Weierstrass)將e和d聯(lián)系起來,完成了e-d方法,這就是現(xiàn)代極限的嚴(yán)格定義.
有了極限的嚴(yán)格定義,數(shù)學(xué)家便開始嘗試嚴(yán)格定義導(dǎo)數(shù)和積分.在柯西之前,數(shù)學(xué)家通常以微分為微積分的基本概念,并把導(dǎo)數(shù)視作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把導(dǎo)數(shù)定義作微分的商并不嚴(yán)謹(jǐn).于是柯西在《概要》中直接定義導(dǎo)數(shù)為差商的極限,這就是現(xiàn)代導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義,也是現(xiàn)代微分學(xué)的基礎(chǔ).
2第1章章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問題
例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指導(dǎo)　利用導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.
小結(jié)　函數(shù)求導(dǎo)時(shí)要注意:(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)先利用代數(shù)、三角恒等式等對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度;(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,通過設(shè)中間變量,確定復(fù)合過程,然后求導(dǎo).
題型2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例2　(1)(2021年全國甲卷)曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為　　　　.
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
小結(jié)　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是弄清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn),常見類型有兩種:一種是求“在某點(diǎn)處的切線方程”,此點(diǎn)一定為切點(diǎn),先求導(dǎo),再求斜率,進(jìn)而求出切線方程;另一種是求“過某點(diǎn)的切線方程”,這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn),可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切線過點(diǎn)P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.
題型3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例3　已知函數(shù)f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.討論f(x)的單調(diào)性.
小結(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn):(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間;(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí),轉(zhuǎn)化要等價(jià);(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集;(4)求參數(shù)的取值范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.
題型4 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值
例4　(1)(2022年全國甲卷)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)(2023年新高考全國Ⅱ卷)(多選題)若函數(shù)f(x)=aln x++(a≠0)既有極大值也有極小值,則(　　).
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
(3)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為　　　　.
小結(jié)　(1)求極值時(shí)一般需確定f'(x)=0的點(diǎn)和f(x)的單調(diào)性,對(duì)于常見的連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn),當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí),對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不做判斷,只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可.
題型5 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的問題
例5　(2022年全國乙卷)已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
小結(jié)　與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.解題過程滲透直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型6 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
例6　(2022年全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍.
(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2<1.
小結(jié)　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,則h(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,同時(shí)h(a)≥0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0,則h(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,同時(shí)h(b)≥0,即f(x)>g(x).本題考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
題型7 利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題
例7　(2020年新高考全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
小結(jié)　解決恒成立問題的方法:(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)max≤m.(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥m在區(qū)間D上恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)min≥m.(3)導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)f(x)的最大值或最小值問題的有力工具.本題滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
【拓展延伸】
中世紀(jì)時(shí)期,歐洲科學(xué)發(fā)展停滯不前,人類對(duì)無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什么突破.中世紀(jì)以后,歐洲數(shù)學(xué)和科學(xué)急速發(fā)展,微積分的觀念此時(shí)趨于成熟.在積分方面,1615年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個(gè)由無數(shù)圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積.而伽利略(Galileo)的學(xué)生卡瓦列里(Cavalieri)認(rèn)為一條線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成;一個(gè)面由無窮多條線構(gòu)成;一個(gè)立體由無窮多個(gè)面構(gòu)成.這些想法都是積分法的前驅(qū).
在微分方面,十七世紀(jì)人類也有很大的突破.費(fèi)馬(Fermat)在一封給羅貝瓦(Roberval)的信中,提及計(jì)算函數(shù)的極大值和極小值的步驟,而這實(shí)際上已相當(dāng)于現(xiàn)代微分學(xué)中所用的,設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零,然后求出函數(shù)極點(diǎn)的方法.另外,巴羅(Barrow)也已經(jīng)懂得通過“微分三角形”(相當(dāng)于以dx,dy,ds為邊的三角形)求出切線的方程,這和現(xiàn)今微分學(xué)中用導(dǎo)數(shù)求切線的方法是一樣的.由此可見,人類在十七世紀(jì)已經(jīng)掌握了微分的要領(lǐng).
然而直至十七世紀(jì)中葉,人類仍然認(rèn)為微分和積分是兩個(gè)獨(dú)立的觀念.就在這個(gè)時(shí)候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題,通過“微積分基本定理”和“牛頓-萊布尼茨公式”聯(lián)系起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆.這是微積分理論中的基石,是微積分發(fā)展的一個(gè)重要里程碑.
微積分誕生以后,逐漸發(fā)揮出它非凡的威力,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,至此往往迎刃而解.微積分的迅速發(fā)展,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì),許多迫切問題基本上已經(jīng)解決,數(shù)學(xué)家于是轉(zhuǎn)向微積分理論的基礎(chǔ)重建,人類也終于首次給出極限、微分和積分等概念的嚴(yán)格定義.
1816年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續(xù)函數(shù)的近代定義.繼而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后來在1823年的《概要》中他改寫為d方法,把整個(gè)極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”.后來外爾斯特拉斯(Weierstrass)將e和d聯(lián)系起來,完成了e-d方法,這就是現(xiàn)代極限的嚴(yán)格定義.
有了極限的嚴(yán)格定義,數(shù)學(xué)家便開始嘗試嚴(yán)格定義導(dǎo)數(shù)和積分.在柯西之前,數(shù)學(xué)家通常以微分為微積分的基本概念,并把導(dǎo)數(shù)視作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把導(dǎo)數(shù)定義作微分的商并不嚴(yán)謹(jǐn).于是柯西在《概要》中直接定義導(dǎo)數(shù)為差商的極限,這就是現(xiàn)代導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義,也是現(xiàn)代微分學(xué)的基礎(chǔ).
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