資源簡介

2.1 空間直角坐標系
【學習目標】
1.理解空間直角坐標系中點的坐標的概念.(數學抽象、直觀想象)
2.建立空間直角坐標系表示空間中點的坐標.(直觀想象)
3.會用公式求空間兩點間的距離.(數學運算)
【自主預習】
如圖,這是一個房間的示意圖.
1.如何表示板凳和氣球的位置
2.類比平面直角坐標系中的兩點間的距離公式,你能推出空間中兩點間的距離公式嗎
3.在給定的空間直角坐標系下,空間任意一點是否與有序實數組(x,y,z)之間存在唯一的對應關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)空間直角坐標系中,在x軸上的點的坐標一定是(0,b,c)的形式. (　　)
(2)空間直角坐標系中,在xOz平面內的點的坐標一定是(a,0,c)的形式. (　　)
(3)空間直角坐標系中,點(1,,2)關于yOz平面的對稱點為(-1,,2). (　　)
(4)有序實數組(x,y,z)可以表示空間中的任何一個點. (　　)
2.下列點在x軸上的是(　　).
A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)
3.點(2,0,3)在空間直角坐標系中的(　　).
A.y軸上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限內
4.如圖所示,在正四棱錐V-ABCD中,O為底面中心,E,F分別為BC,CD的中點.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如圖所示的空間直角坐標系,試分別寫出各個頂點的坐標.
【合作探究】
探究1 空間直角坐標系
小明放學后步行回家,路過田野,走到路邊的一座廢舊工廠時,在墻角處發現一只飛行的小蜜蜂,他拿出畫本畫出簡圖,如圖所示.
問題1:墻角的三條交線兩兩垂直嗎
問題2:如何確定小蜜蜂在空間中的位置
問題3:若小蜜蜂到平面AOC,平面AOB,平面BOC的距離分別為2,1,3,請建立適當的空間直角坐標系,寫出小蜜蜂的坐標.
新知生成
1.空間直角坐標系
為了確定空間中的點的位置,我們可以在空間中任取一點O,以O為原點,作三條兩兩垂直的有向直線Ox,Oy,Oz,在這三條直線上選取共同的單位長度,分別建立坐標軸,依次稱為x軸、y軸、z軸,從而組成了一個空間直角坐標系O-xyz,如圖.
在空間直角坐標系O-xyz中,由兩條坐標軸確定的平面叫坐標平面,分別稱為xOy平面、yOz平面、xOz平面.
2.右手系
建立空間直角坐標系時,一般將x軸和y軸放置在水平面上,那么z軸就垂直于水平面.它們的方向通常符合右手螺旋法則,即伸出右手,讓四指與大拇指垂直,并使四指先指向x軸正方向,然后讓四指沿握拳方向旋轉90°指向y軸正方向,此時大拇指的指向即z軸正方向.我們也稱這樣的坐標系為右手系(如圖).
3.點的坐標
有序實數組(x,y,z)稱為點 P的坐標,記作 P(x,y,z),其中x稱為點 P的橫坐標,y稱為點 P的縱坐標,z稱為點 P的豎坐標.
4.坐標軸上或坐標平面上點的坐標的特點
原點的坐標為(0,0,0),
x軸上的點的坐標為(x,0,0),
y軸上的點的坐標為(0,y,0),
z軸上的點的坐標為(0,0,z),
xOy平面內的點的坐標為(x,y,0),
yOz平面內的點的坐標為(0,y,z),
xOz平面內的點的坐標為(x,0,z).
新知運用
例1　如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在線段BC1上,且BM=2MC1,N是線段D1M的中點,求點M,N的坐標.
方法指導　根據已知條件求出M,N在坐標面xDy的射影,然后根據坐標的定義寫出坐標.
【方法總結】　　求空間直角坐標系中某點P的坐標的方法:先找到點P在xOy平面上的射影M,過點M向x軸作垂線,
確定垂足N.其中ON,NM,MP分別為點P的橫、縱、豎坐標的絕對值,再按O→N→M→P確定相應坐標的符號,與坐標軸同向為正,反向為負,即可得到相應的點P的坐標.
已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為5,側棱長為13,建立的空間直角坐標系如圖所示,寫出各頂點的坐標.
探究2 空間中點的對稱問題
問題1:點A(-2,1)關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標分別是什么
問題2:類比問題1,點A(-2,1,3)關于x軸、y軸、z軸、原點對稱的點的坐標分別是什么
新知生成
空間中點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題,要掌握對稱點的變化規律,才能準確求解.對稱點的問題常常采用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”這個結論.
新知運用
例2　在空間直角坐標系中,已知點P(-2,1,4).
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標;
(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標;
(3)求點P關于點M(2,-1,-4)對稱的點的坐標.
方法指導　類比平面點的對稱問題求解.
【方法總結】　　對稱點的問題常常采用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”這個結論.
求點A(1,2,-1)關于坐標平面xOy及x軸的對稱點的坐標.
探究3 空間兩點間的距離
小明利用棱長為1的正方體,建立如圖所示的空間直角坐標系,他根據這個圖形,設計了如下問題,你能給出問題的答案嗎
問題1:在平面xOy中,如何計算|OB|
問題2:如何計算|OB'|
問題3:若在空間中已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求|P1P2|
新知生成
空間兩點間的距離公式
(1)點P(x,y,z)到坐標原點O(0,0,0)的距離公式:
|OP|=.
(2)任意兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)間的距離公式:
|P1P2|=.
新知運用
例3　如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,點M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,點N在D1C上且為D1C的中點,求線段MN的長度.
方法指導　建系→求點M,N的坐標→根據兩點間的距離公式求解.
【方法總結】　　利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟為:
若A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,則實數z=　　　　.
【隨堂檢測】
1.點(-2,5,0)在空間直角坐標系中的(　　).
A.y軸上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限內
2.在空間直角坐標系O-xyz中,點P(1,,)在坐標平面yOz上的射影Q的坐標為(　　).
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
3.若點A(-1,2,-3)關于y軸的對稱點為B,則線段AB的長度為　　　　.
4.(2023·新余月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,若以A為坐標原點,以棱AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,取正方體的棱長為單位長度,建立空間直角坐標系,則
(1)頂點A,C的坐標分別為　　　　;
(2)棱C1C的中點坐標為　　　　;
(3)正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為　　　　.
22.1 空間直角坐標系
【學習目標】
1.理解空間直角坐標系中點的坐標的概念.(數學抽象、直觀想象)
2.建立空間直角坐標系表示空間中點的坐標.(直觀想象)
3.會用公式求空間兩點間的距離.(數學運算)
【自主預習】
如圖,這是一個房間的示意圖.
1.如何表示板凳和氣球的位置
【答案】　可借助于平面直角坐標系的思想建立空間直角坐標系,如圖所示.
2.類比平面直角坐標系中的兩點間的距離公式,你能推出空間中兩點間的距離公式嗎
【答案】　能.設空間任意兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
則|AB|=.
3.在給定的空間直角坐標系下,空間任意一點是否與有序實數組(x,y,z)之間存在唯一的對應關系
【答案】　是.在給定的空間直角坐標系下,空間給定一點,其坐標是唯一的有序實數組(x,y,z);反之,給定一個有序實數組(x,y,z),空間中也有唯一的點與之對應.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)空間直角坐標系中,在x軸上的點的坐標一定是(0,b,c)的形式. (　　)
(2)空間直角坐標系中,在xOz平面內的點的坐標一定是(a,0,c)的形式. (　　)
(3)空間直角坐標系中,點(1,,2)關于yOz平面的對稱點為(-1,,2). (　　)
(4)有序實數組(x,y,z)可以表示空間中的任何一個點. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.下列點在x軸上的是(　　).
A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)
【答案】　C
【解析】　x軸上的點的縱坐標和豎坐標都為0.
3.點(2,0,3)在空間直角坐標系中的(　　).
A.y軸上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限內
【答案】　C
【解析】　點(2,0,3)的縱坐標為0,所以該點在xOz平面上.
4.如圖所示,在正四棱錐V-ABCD中,O為底面中心,E,F分別為BC,CD的中點.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如圖所示的空間直角坐標系,試分別寫出各個頂點的坐標.
【解析】　∵V-ABCD是正四棱錐,|AB|=2,
∴底面ABCD是邊長為2的正方形,
∴|CE|=|CF|=1.
∵O是坐標原點,∴C(1,1,0),
同理可得B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).
∵點V在z軸上,|VO|=3,∴V(0,0,3).
【合作探究】
探究1 空間直角坐標系
小明放學后步行回家,路過田野,走到路邊的一座廢舊工廠時,在墻角處發現一只飛行的小蜜蜂,他拿出畫本畫出簡圖,如圖所示.
問題1:墻角的三條交線兩兩垂直嗎
【答案】　兩兩垂直.
問題2:如何確定小蜜蜂在空間中的位置
【答案】　以墻角的三條交線為坐標軸,建立空間直角坐標系,確定它的位置.
問題3:若小蜜蜂到平面AOC,平面AOB,平面BOC的距離分別為2,1,3,請建立適當的空間直角坐標系,寫出小蜜蜂的坐標.
【答案】　以O為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,
則小蜜蜂的坐標是(3,2,1).
新知生成
1.空間直角坐標系
為了確定空間中的點的位置,我們可以在空間中任取一點O,以O為原點,作三條兩兩垂直的有向直線Ox,Oy,Oz,在這三條直線上選取共同的單位長度,分別建立坐標軸,依次稱為x軸、y軸、z軸,從而組成了一個空間直角坐標系O-xyz,如圖.
在空間直角坐標系O-xyz中,由兩條坐標軸確定的平面叫坐標平面,分別稱為xOy平面、yOz平面、xOz平面.
2.右手系
建立空間直角坐標系時,一般將x軸和y軸放置在水平面上,那么z軸就垂直于水平面.它們的方向通常符合右手螺旋法則,即伸出右手,讓四指與大拇指垂直,并使四指先指向x軸正方向,然后讓四指沿握拳方向旋轉90°指向y軸正方向,此時大拇指的指向即z軸正方向.我們也稱這樣的坐標系為右手系(如圖).
3.點的坐標
有序實數組(x,y,z)稱為點 P的坐標,記作 P(x,y,z),其中x稱為點 P的橫坐標,y稱為點 P的縱坐標,z稱為點 P的豎坐標.
4.坐標軸上或坐標平面上點的坐標的特點
原點的坐標為(0,0,0),
x軸上的點的坐標為(x,0,0),
y軸上的點的坐標為(0,y,0),
z軸上的點的坐標為(0,0,z),
xOy平面內的點的坐標為(x,y,0),
yOz平面內的點的坐標為(0,y,z),
xOz平面內的點的坐標為(x,0,z).
新知運用
例1　如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在線段BC1上,且BM=2MC1,N是線段D1M的中點,求點M,N的坐標.
方法指導　根據已知條件求出M,N在坐標面xDy的射影,然后根據坐標的定義寫出坐標.
【解析】　如圖,過點M作MM1⊥BC于點M1,連接DM1,取DM1的中點N1,連接NN1.
由BM=2MC1知,MM1=CC1=,M1C=BC=.
易知M1M∥DD1,所以M1M與z軸平行,所以點M1與點M的橫坐標、縱坐標相同,又點M的豎坐標為,所以M,1,.
由N1為DM1的中點,知N1,,0.
因為N1N與z軸平行,且N1N==,所以N,,.
【方法總結】　　求空間直角坐標系中某點P的坐標的方法:先找到點P在xOy平面上的射影M,過點M向x軸作垂線,
確定垂足N.其中ON,NM,MP分別為點P的橫、縱、豎坐標的絕對值,再按O→N→M→P確定相應坐標的符號,與坐標軸同向為正,反向為負,即可得到相應的點P的坐標.
已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為5,側棱長為13,建立的空間直角坐標系如圖所示,寫出各頂點的坐標.
【解析】　因為底面四邊形ABCD是正方形,且AB=5,所以BD=5×=10,OB=5,所以OP===12,所以各頂點的坐標分別為P(0,0,12),A,-,0,B,,0,C-,,0,D-,-,0.
探究2 空間中點的對稱問題
問題1:點A(-2,1)關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標分別是什么
【答案】　點A(-2,1)關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標分別是A1(-2,-1),A2(2,1),A3(2,-1).
問題2:類比問題1,點A(-2,1,3)關于x軸、y軸、z軸、原點對稱的點的坐標分別是什么
【答案】　點A(-2,1,3)關于x軸、y軸、z軸、原點對稱的點的坐標分別是A1(-2,-1,-3),A2(2,1,-3),A3(2,-1,3),A4(2,-1,-3).
新知生成
空間中點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題,要掌握對稱點的變化規律,才能準確求解.對稱點的問題常常采用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”這個結論.
新知運用
例2　在空間直角坐標系中,已知點P(-2,1,4).
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標;
(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標;
(3)求點P關于點M(2,-1,-4)對稱的點的坐標.
方法指導　類比平面點的對稱問題求解.
【解析】　(1)因為點P關于x軸對稱后,它的橫坐標不變,
縱坐標、豎坐標變為原來的相反數,所以對稱點坐標為P1(-2,-1,-4).
(2)因為點P關于xOy平面對稱后,它的橫坐標、縱坐標不變,豎坐標變為原來的相反數,所以對稱點坐標為P2(-2,1,-4).
(3)設對稱點為P3(x,y,z),則M為線段PP3的中點,
由中點坐標公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3的坐標為(6,-3,-12).
【方法總結】　　對稱點的問題常常采用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”這個結論.
求點A(1,2,-1)關于坐標平面xOy及x軸的對稱點的坐標.
【解析】　如圖所示,過點A作AM⊥坐標平面xOy,交xOy平面于點M,并延長到點C,使AM=CM,則點A與點C關于坐標平面xOy對稱,點C(1,2,1).
過點A作AN⊥x軸于點N并延長到點B,使AN=NB,
則點A與點B關于x軸對稱,點B(1,-2,1).
故點A(1,2,-1)關于坐標平面xOy對稱的點的坐標為(1,2,1),點A(1,2,-1)關于x軸對稱的點的坐標為(1,-2,1).
探究3 空間兩點間的距離
小明利用棱長為1的正方體,建立如圖所示的空間直角坐標系,他根據這個圖形,設計了如下問題,你能給出問題的答案嗎
問題1:在平面xOy中,如何計算|OB|
【答案】　由圖知O(0,0,0),B(1,1,0),
所以|OB|==.
問題2:如何計算|OB'|
【答案】　因為|OB'|2=|OB|2+|BB'|2=()2+12=3,所以|OB'|=.
問題3:若在空間中已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求|P1P2|
【答案】　|P1P2|=.
新知生成
空間兩點間的距離公式
(1)點P(x,y,z)到坐標原點O(0,0,0)的距離公式:
|OP|=.
(2)任意兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)間的距離公式:
|P1P2|=.
新知運用
例3　如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,點M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,點N在D1C上且為D1C的中點,求線段MN的長度.
方法指導　建系→求點M,N的坐標→根據兩點間的距離公式求解.
【解析】　如圖所示,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.
由題意可知C(3,3,0),D(0,3,0),
∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,
∴C1(3,3,2),D1(0,3,2).
∵N為CD1的中點,∴N,3,1.
∵M是A1C1上的靠近點A1的三等分點,
∴M(1,1,2).
由兩點間的距離公式,得|MN|==.
【方法總結】　　利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟為:
若A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,則實數z=　　　　.
【答案】　-5或7
【解析】　∵|AB|=11,∴(6-4)2+(2+7)2+(z-1)2=112,化簡得(z-1)2=36,即|z-1|=6,∴z=-5或z=7.
【隨堂檢測】
1.點(-2,5,0)在空間直角坐標系中的(　　).
A.y軸上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限內
【答案】　B
【解析】　因為點(-2,5,0)的豎坐標為0,所以該點在xOy平面上.
2.在空間直角坐標系O-xyz中,點P(1,,)在坐標平面yOz上的射影Q的坐標為(　　).
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
【答案】　B
【解析】　由題意得,點的縱坐標、豎坐標不變,橫坐標為0,則Q(0,,).
3.若點A(-1,2,-3)關于y軸的對稱點為B,則線段AB的長度為　　　　.
【答案】　2
【解析】　依題意,點A(-1,2,-3)關于y軸對稱的點B的坐標為(1,2,3),所以|AB|==2.
4.(2023·新余月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,若以A為坐標原點,以棱AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,取正方體的棱長為單位長度,建立空間直角坐標系,則
(1)頂點A,C的坐標分別為　　　　;
(2)棱C1C的中點坐標為　　　　;
(3)正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為　　　　.
【答案】　(1)(0,0,0),(1,1,0)　(2)1,1,　(3),0,
【解析】　以A為坐標原點,以棱AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,取正方體的棱長為單位長度,建立空間直角坐標系,如圖所示,
所以A(0,0,0),C(1,1,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),B(1,0,0),所以棱C1C的中點坐標為1,1,.
又正方形AA1B1B對角線的交點即為A1B的中點,所以正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為,0,.
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