資源簡介

2.2 課時(shí)1 空間向量的概念及線性運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解空間向量的有關(guān)概念.(數(shù)學(xué)抽象)
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.掌握共線向量定理及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
1.回憶一下平面向量是怎么定義的
【答案】　在平面中,具有大小和方向的量叫作平面向量.
2.回憶一下平面向量的有關(guān)內(nèi)容并回答以下問題:
(1)如圖,該向量如何表示 其模如何表示
【答案】　該向量表示為或a.其模記為||或|a|.
(2)零向量和單位向量如何定義
【答案】　長度為0的向量叫作零向量;模為1的向量叫作單位向量.
(3)平面中某兩個(gè)長度一樣但方向相反的向量是什么向量
【答案】　相反向量.
(4)平面中某兩個(gè)向量平行或重合,這兩個(gè)向量稱為什么向量
【答案】　共線向量或平行向量.
(5)方向相同且模相等的向量稱為什么向量
【答案】　相等向量.
3.平面向量的運(yùn)算律有哪些
【答案】　平面向量的線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算律:交換律、結(jié)合律和分配律.
4.對任意兩個(gè)平面向量a,b,如果a=λb(λ∈R),那么a與b有什么位置關(guān)系 反過來,當(dāng)a,b有什么位置關(guān)系時(shí),a=λb(λ∈R)
【答案】　對任意兩個(gè)平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在空間中,任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移. (　　)
(2)在空間中,互為相反向量的兩個(gè)向量必共線. (　　)
(3)空間向量的加減運(yùn)算的結(jié)果不一定是向量. (　　)
(4)共面向量一定平行. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.下列說法中正確的是(　　).
A.任意兩個(gè)空間向量都可以比較大小
B.由于0方向不定,故0不能與任何向量平行
C.若|a|=|b|,則a與b共線
D.空間向量的模可以比較大小
【答案】　D
【解析】　任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小,故A錯(cuò)誤;規(guī)定0的方向是任意的,與任何向量平行,故B錯(cuò)誤;a與b的模相等,但方向不確定,故C錯(cuò)誤;因?yàn)橄蛄康哪Ｊ且粋€(gè)實(shí)數(shù),所以可以比較大小,故D正確.
3.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,以頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)或終點(diǎn),且與向量的模相等的向量有(　　).
A.7個(gè) B.3個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
【答案】　A
【解析】　由平行六面體的定義可知幾何體各個(gè)面均為平行四邊形,
∴||=||=||=||=||=||=||=||,
則與向量的模相等的向量有,,,,,,,共7個(gè).
4.已知在空間四邊形ABCD中,=a,=b,=c,則=(　　).
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
【答案】　C
【解析】　=++=-+=-a+b+c.
【合作探究】
探究1 空間向量的基本概念
已知一個(gè)正三角形鋼板,三個(gè)頂點(diǎn)用等長的繩子綁起,在力F的作用下勻速上升,三根繩子的受力情況如圖所示.
問題1:在物理學(xué)中,力是什么量 這三個(gè)力共面嗎 這三個(gè)力在數(shù)學(xué)上叫什么
【答案】　力是矢量;這三個(gè)力不共面;這三個(gè)力在數(shù)學(xué)上叫空間向量.
問題2:你能否根據(jù)平面向量的定義,試著敘述一下空間向量的定義
【答案】　在空間中,我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.
問題3:這兩個(gè)定義有何區(qū)別 本質(zhì)是否相同
【答案】　定義的區(qū)別:平面向量與空間向量的不同之處就在于一個(gè)在平面內(nèi),一個(gè)在空間中.本質(zhì)相同:空間中的一個(gè)向量一定能夠平移到平面中,因此,空間中的一個(gè)向量既是平面向量也是空間向量.
新知生成
1.空間向量
把空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量,空間向量a的大小(或長度)稱為向量a的模,記為|a|.
2.相等向量
從不同點(diǎn)出發(fā)的向量,只要它們的方向相同且長度相等,就稱它們?yōu)橄嗟认蛄?
3.相反向量
方向相反、長度相等的向量稱為相反向量.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.
(1)試寫出與相等的所有向量;
(2)試寫出的所有相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)相等向量、相反向量的概念求解;(2)根據(jù)模的概念以及空間幾何體的線面性質(zhì)求解.
【解析】　(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有,,.
(2)向量的相反向量有,,,.
(3)因?yàn)閨|2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2=4+4+1=9,所以||=3.
【方法總結(jié)】　　在空間中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致.兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同,模相等;兩向量互為相反向量的充要條件是兩個(gè)向量的模相等,方向相反.
如圖所示,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'頂點(diǎn)連接的所有向量中,與向量相等的向量有　　　　;與向量相反的向量有　　　　.(要求寫出所有適合條件的向量)
【答案】　,,　,,,
【解析】　根據(jù)相等向量的定義知,與向量相等的向量有,,.與向量相反的向量有,,,.
探究2 空間向量的加減法
如圖,觀察正方體中過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所表示的向量,,.
問題1:三條棱所表示的向量的模相等嗎 這三個(gè)向量是相等向量嗎
【答案】　模相等;這三個(gè)向量不是相等向量.
問題2:向量,,共面嗎 ++能進(jìn)行運(yùn)算嗎 如何運(yùn)算
【答案】　不共面;能運(yùn)算,可類比平面向量的加法法則,借助平行四邊形法則或三角形法則求解.
新知生成
1.空間向量的加減法
如圖,對于空間中任意兩個(gè)向量a,b,作=a,=b,=b,則a+b=,a-b=.
2.空間向量加法的運(yùn)算律
(1)a+b=b+a(加法交換律).
(2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法結(jié)合律).
新知運(yùn)用
例2　如圖所示,已知長方體ABCD-A'B'C'D'.化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
(1)-;
(2)++;
(3)用向量,,表示向量.
【解析】　(1)-=-
=+=+=.
(2)++=(+)+
=+=.
向量,如圖所示.
(3)在平行四邊形ACC'A'中,由平行四邊形法則可得=+,
在平行四邊形ABCD中,由平行四邊形法則可得=+,
故=++.
【方法總結(jié)】　　空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧:(1)向量加減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.
1.化簡(-)-(-)=　　　　.
【答案】　0
【解析】　原式=(-)+-=+-=-=0.
2.如圖,在四棱錐V-ABCD中,化簡-++=　　　　.
【答案】　0
【解析】　-++=+=0.
探究3 向量與實(shí)數(shù)相乘
某人回家過年,在一個(gè)公交站牌A處下車,由西向東步行3站路程,到達(dá)另一個(gè)公交站牌B,換乘k路車,經(jīng)過2站路程到達(dá)小區(qū)門口C,再乘電梯到24樓,即回到家P.
問題1:若由A→B的每站路程都是向量a,則如何用向量a表示
【答案】　=a+a+a=3a.
問題2:若由B→C的每站路程都是向量b,則如何用向量b表示
【答案】　=b+b=2b.
問題3:若每一層的位移用c表示,如何用a,b,c表示向量
【答案】　類比平面向量的數(shù)乘運(yùn)算,可得=3a+2b+24c.
新知生成
1.空間向量與實(shí)數(shù)相乘
(1)空間向量與實(shí)數(shù)λ相乘可類比平面向量數(shù)乘的法則進(jìn)行,因而有|λa|=|λ||a|.
(2)向量a與λa的關(guān)系
當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a方向相反.
2.單位向量
長度為1的向量稱為單位向量.對于每一個(gè)非零向量a,可得到與它方向相同的唯一單位向量e=·a.
3.共線向量或平行向量
對于空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ為實(shí)數(shù),則b與a共線或平行,記作b∥a.
4.空間向量與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律
① λ(a+b)=λa+λb(對向量加法的分配律).
②(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a(對實(shí)數(shù)加法的分配律).
新知運(yùn)用
一、空間向量的線性運(yùn)算
例3　如圖,在三棱錐O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是△ABC的重心,用基向量,,表示,則下列表示正確的是(　　).
A.++
B.++
C.-++
D.++
方法指導(dǎo)　將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,再利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.
【答案】　D
【解析】　由題意得,=+=+
=+(-)
=+(+)-
=-++.
所以=+=-++=++.
【方法總結(jié)】　　1.向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.
2.利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí),要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.
二、空間向量的共線問題
例4　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為線段A1C上一點(diǎn),且=,BD與AC交于點(diǎn)M.求證:C1,O,M三點(diǎn)共線.
方法指導(dǎo)　用向量,,分別表示和,然后根據(jù)向量共線的充要條件證明.
【解析】　設(shè)=a,=b,=c,
則=+=+
=(+)+(+)
=++(++)
=+--+
=++=a+b+c,
=+=+=(+)+=a+b+c,
∴=3,又∵直線MC1與直線MO有公共點(diǎn)M,
∴C1,O,M三點(diǎn)共線.
【方法總結(jié)】　　對于空間三點(diǎn)P,A,B,可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.
①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ成立;
②對空間任一點(diǎn)O,有=+t(t∈R);
③對空間任一點(diǎn)O,有=x+y(x+y=1).
1.如圖,設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若=+x+y,求x,y的值.
【解析】　因?yàn)?++
=-+--
=-+
=-+(+)
=-+(+)
=-++(-)
=-++,
所以x=,y=-.
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在A1D1上,且=2,點(diǎn)F在對角線A1C上,且=.求證:E,F,B三點(diǎn)共線.
【解析】　設(shè)=a,=b,=c,
因?yàn)?2,=,
所以=,=,
所以==b,
=(-)=(+-)=a+b-c,
所以=-=a-b-c=a-b-c.
又=++=-b-c+a=a-b-c,
所以=,又,有公共點(diǎn)E,所以E,F,B三點(diǎn)共線.
【隨堂檢測】
1.如圖,在空間四邊形OABC中,點(diǎn)M,N分別在OA,BC上,OM=2MA,BN=CN,則=(　　).
A.-+
B.-++
C.+-
D.+-
【答案】　B
【解析】　=++=+-+(-)=-++.故選B.
2.(2023·莆田周練)設(shè)四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是(　　).
A.平行四邊形 B.空間四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
【答案】　A
【解析】　∵+=+,∴=.
∴∥且||=||.
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
3.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,若=x+y+z,則x+y+z=　　　　.
【答案】　2
【解析】　∵=+=+=+=+(+)=++,∴x=,y=,z=1,∴x+y+z=2.
4.如圖,在空間四邊形ABCD中,G為△BCD的重心,E,F分別為邊CD,AD的中點(diǎn),試化簡+-,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.
【解析】　∵G是△BCD的重心,BE是CD邊上的中線,
∴=.
又E,F分別為邊CD,AD的中點(diǎn),
∴=.
∴+-=+-=+=.(如圖所示)
22.2 課時(shí)1 空間向量的概念及線性運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解空間向量的有關(guān)概念.(數(shù)學(xué)抽象)
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.掌握共線向量定理及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
1.回憶一下平面向量是怎么定義的
2.回憶一下平面向量的有關(guān)內(nèi)容并回答以下問題:
(1)如圖,該向量如何表示 其模如何表示
(2)零向量和單位向量如何定義
(3)平面中某兩個(gè)長度一樣但方向相反的向量是什么向量
(4)平面中某兩個(gè)向量平行或重合,這兩個(gè)向量稱為什么向量
(5)方向相同且模相等的向量稱為什么向量
3.平面向量的運(yùn)算律有哪些
4.對任意兩個(gè)平面向量a,b,如果a=λb(λ∈R),那么a與b有什么位置關(guān)系 反過來,當(dāng)a,b有什么位置關(guān)系時(shí),a=λb(λ∈R)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在空間中,任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移. (　　)
(2)在空間中,互為相反向量的兩個(gè)向量必共線. (　　)
(3)空間向量的加減運(yùn)算的結(jié)果不一定是向量. (　　)
(4)共面向量一定平行. (　　)
2.下列說法中正確的是(　　).
A.任意兩個(gè)空間向量都可以比較大小
B.由于0方向不定,故0不能與任何向量平行
C.若|a|=|b|,則a與b共線
D.空間向量的模可以比較大小
3.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,以頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)或終點(diǎn),且與向量的模相等的向量有(　　).
A.7個(gè) B.3個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
4.已知在空間四邊形ABCD中,=a,=b,=c,則=(　　).
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
【合作探究】
探究1 空間向量的基本概念
已知一個(gè)正三角形鋼板,三個(gè)頂點(diǎn)用等長的繩子綁起,在力F的作用下勻速上升,三根繩子的受力情況如圖所示.
問題1:在物理學(xué)中,力是什么量 這三個(gè)力共面嗎 這三個(gè)力在數(shù)學(xué)上叫什么
問題2:你能否根據(jù)平面向量的定義,試著敘述一下空間向量的定義
問題3:這兩個(gè)定義有何區(qū)別 本質(zhì)是否相同
新知生成
1.空間向量
把空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量,空間向量a的大小(或長度)稱為向量a的模,記為|a|.
2.相等向量
從不同點(diǎn)出發(fā)的向量,只要它們的方向相同且長度相等,就稱它們?yōu)橄嗟认蛄?
3.相反向量
方向相反、長度相等的向量稱為相反向量.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.
(1)試寫出與相等的所有向量;
(2)試寫出的所有相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)相等向量、相反向量的概念求解;(2)根據(jù)模的概念以及空間幾何體的線面性質(zhì)求解.
【方法總結(jié)】　　在空間中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致.兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同,模相等;兩向量互為相反向量的充要條件是兩個(gè)向量的模相等,方向相反.
如圖所示,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'頂點(diǎn)連接的所有向量中,與向量相等的向量有　　　　;與向量相反的向量有　　　　.(要求寫出所有適合條件的向量)
探究2 空間向量的加減法
如圖,觀察正方體中過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所表示的向量,,.
問題1:三條棱所表示的向量的模相等嗎 這三個(gè)向量是相等向量嗎
問題2:向量,,共面嗎 ++能進(jìn)行運(yùn)算嗎 如何運(yùn)算
新知生成
1.空間向量的加減法
如圖,對于空間中任意兩個(gè)向量a,b,作=a,=b,=b,則a+b=,a-b=.
2.空間向量加法的運(yùn)算律
(1)a+b=b+a(加法交換律).
(2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法結(jié)合律).
新知運(yùn)用
例2　如圖所示,已知長方體ABCD-A'B'C'D'.化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
(1)-;
(2)++;
(3)用向量,,表示向量.
【方法總結(jié)】　　空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧:(1)向量加減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.
1.化簡(-)-(-)=　　　　.
2.如圖,在四棱錐V-ABCD中,化簡-++=　　　　.
探究3 向量與實(shí)數(shù)相乘
某人回家過年,在一個(gè)公交站牌A處下車,由西向東步行3站路程,到達(dá)另一個(gè)公交站牌B,換乘k路車,經(jīng)過2站路程到達(dá)小區(qū)門口C,再乘電梯到24樓,即回到家P.
問題1:若由A→B的每站路程都是向量a,則如何用向量a表示
問題2:若由B→C的每站路程都是向量b,則如何用向量b表示
問題3:若每一層的位移用c表示,如何用a,b,c表示向量
新知生成
1.空間向量與實(shí)數(shù)相乘
(1)空間向量與實(shí)數(shù)λ相乘可類比平面向量數(shù)乘的法則進(jìn)行,因而有|λa|=|λ||a|.
(2)向量a與λa的關(guān)系
當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a方向相反.
2.單位向量
長度為1的向量稱為單位向量.對于每一個(gè)非零向量a,可得到與它方向相同的唯一單位向量e=·a.
3.共線向量或平行向量
對于空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ為實(shí)數(shù),則b與a共線或平行,記作b∥a.
4.空間向量與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律
① λ(a+b)=λa+λb(對向量加法的分配律).
②(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a(對實(shí)數(shù)加法的分配律).
新知運(yùn)用
一、空間向量的線性運(yùn)算
例3　如圖,在三棱錐O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是△ABC的重心,用基向量,,表示,則下列表示正確的是(　　).
A.++
B.++
C.-++
D.++
方法指導(dǎo)　將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,再利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.
【方法總結(jié)】　　1.向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.
2.利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí),要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.
二、空間向量的共線問題
例4　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為線段A1C上一點(diǎn),且=,BD與AC交于點(diǎn)M.求證:C1,O,M三點(diǎn)共線.
方法指導(dǎo)　用向量,,分別表示和,然后根據(jù)向量共線的充要條件證明.
【方法總結(jié)】　　對于空間三點(diǎn)P,A,B,可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.
①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ成立;
②對空間任一點(diǎn)O,有=+t(t∈R);
③對空間任一點(diǎn)O,有=x+y(x+y=1).
1.如圖,設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若=+x+y,求x,y的值.
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在A1D1上,且=2,點(diǎn)F在對角線A1C上,且=.求證:E,F,B三點(diǎn)共線.
【隨堂檢測】
1.如圖,在空間四邊形OABC中,點(diǎn)M,N分別在OA,BC上,OM=2MA,BN=CN,則=(　　).
A.-+
B.-++
C.+-
D.+-
2.(2023·莆田周練)設(shè)四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是(　　).
A.平行四邊形 B.空間四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
3.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,若=x+y+z,則x+y+z=　　　　.
4.如圖,在空間四邊形ABCD中,G為△BCD的重心,E,F分別為邊CD,AD的中點(diǎn),試化簡+-,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.
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