資源簡介

2.2 課時(shí)2 向量的數(shù)量積
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解空間向量數(shù)量積的相關(guān)定義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.空間向量的投影.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4.利用向量的模長、夾角求線段長.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在空間中兩個(gè)非零向量a和b的夾角及取值范圍與平面向量有什么關(guān)系
2.已知兩個(gè)非零向量a,b的模以及夾角,如何求a·b
3.空間向量的數(shù)量積有哪些運(yùn)算律 與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律一樣嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù). (　　)
(2)對于非零向量a,b,與相等. (　　)
(3)對于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　)
2.已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=-,則兩向量的夾角為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,則a·b等于　　　　.
4.已知|a|=4,空間向量e為單位向量,=,則空間向量a在向量e上的投影向量為　　　　.
【合作探究】
探究1 向量的數(shù)量積
問題1:如何作空間向量的夾角
問題2:=嗎 與<-a,b>,,<-a,-b>有什么關(guān)系
問題3:要求a·b的值,應(yīng)該知道哪些量的值
新知生成
1.空間角
如圖,由于空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a,b都可以平移到同一個(gè)平面OAB內(nèi).因此與平面向量夾角的定義一樣,我們把∠AOB稱為向量a,b的夾角,記作,其取值范圍為[0,π].
2.空間向量的數(shù)量積
定義a·b=|a||b|cos為a與b的數(shù)量積.
當(dāng)a,b都不為0時(shí),它們有確定的夾角∈[0,π].
當(dāng)a=0或b=0 時(shí),夾角可以在[0,π]中任意選定,但總有a·b=0.
新知運(yùn)用
例1　已知空間四邊形ABCD的邊長和對角線長均為2,E,F,G分別為AB,AD,DC的中點(diǎn),求下列數(shù)量積:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【方法總結(jié)】　　在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積;
(3)根據(jù)向量的方向,正確求出向量的夾角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
探究2 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律
問題1:空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律嗎
問題2:已知向量a,b,|a·b|=|a||b|成立嗎
問題3:對于非零向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c嗎
新知生成
1.數(shù)量積的性質(zhì)
(1)a·a=|a|2.
(2)|a|=.
(3)若a,b是非零向量,則a⊥b a·b=0.
(4)若θ為a,b的夾角,則cos θ=.
2.數(shù)量積的運(yùn)算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
交換律 a·b=b·a
分配律 a·(b+c)=a·b+a·c
新知運(yùn)用
例2　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱AA1的長度為4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
(1)BD1的長;
(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.
【方法總結(jié)】　　1.用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟:(1)用向量表示此距離;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|即可.
2.利用向量的數(shù)量積求夾角問題的思路:(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量夾角的定義來求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后確定.
如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對
角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
(1)求MN與AD的夾角;
(2)若CD=DE=1,求MN的長.
探究3 數(shù)量積的幾何意義
我們在測量樹的高度時(shí),常利用陽光下的影子測量其高度,如圖所示.
問題1:若測得||=2,如何求在上的投影
問題2:平面向量數(shù)量積的投影的定義在空間中還成立嗎
新知生成
1.投影向量
如圖,將空間任意兩
個(gè)向量a,b平移到同一個(gè)平面內(nèi),可得=a,=b,=α.過點(diǎn)B作BB1⊥OA,垂足為點(diǎn)B1,則為在方向上的投影向量,投影向量的模=|cos α|稱為投影長.
取方向上的單位向量e來度量投影向量,類比平面向量,可得=(cos α)e,因而可用(||cos α)e來代表投影向量.我們稱cos α為在方向上的投影,其正負(fù)表示與方向相同還是相反.
2.數(shù)量積的幾何意義
a與b的數(shù)量積等于a的模|a|與b在a方向上的投影|b|·cos α的乘積,也等于b的模|b|與a在b方向上的投影|a|·cos α的乘積.
新知運(yùn)用
例3　如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E為棱C1D1的中點(diǎn),求在方向上的投影向量及投影.
方法指導(dǎo)　先求||,再求·,代入投影向量和投影公式即可得結(jié)果.
【方法總結(jié)】　　投影是向量數(shù)量積的幾何意義,求解的實(shí)質(zhì)還是數(shù)量積的相關(guān)計(jì)算,投影向量是投影乘相應(yīng)投影方向的單位向量.注意區(qū)分投影與投影向量.
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)=a,=b,=c.若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1.
(1)求向量在上的投影;
(2)求向量在上的投影向量.
【隨堂檢測】
1.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為(　　)
A.-6　　　　 B.6　　 　　 C.3　　　 　 D.-3
2.在空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,則cos<,>的值為(　　).
A. B. C.- D.0
3.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則向量在上的投影等于　　　　.
4.(2023·蘇州周練)如圖,已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于AB的線段.又AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長.
22.2 課時(shí)2 向量的數(shù)量積
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解空間向量數(shù)量積的相關(guān)定義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.空間向量的投影.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4.利用向量的模長、夾角求線段長.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在空間中兩個(gè)非零向量a和b的夾角及取值范圍與平面向量有什么關(guān)系
【答案】　完全一致.
2.已知兩個(gè)非零向量a,b的模以及夾角,如何求a·b
【答案】　a·b=|a||b|cos.
3.空間向量的數(shù)量積有哪些運(yùn)算律 與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律一樣嗎
【答案】　①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=b·a;③a·(b+c)=a·b+a·c.一樣.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù). (　　)
(2)對于非零向量a,b,與相等. (　　)
(3)對于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=-,則兩向量的夾角為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】　C
【解析】　設(shè)向量a,b的夾角為θ,則cos θ==-,所以θ=120°.
3.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,則a·b等于　　　　.
【答案】　-2
【解析】　a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.
4.已知|a|=4,空間向量e為單位向量,=,則空間向量a在向量e上的投影向量為　　　　.
【答案】　-2e
【解析】　空間向量a在向量e上的投影向量為|a|cose=4cos ·e=-2e.
【合作探究】
探究1 向量的數(shù)量積
問題1:如何作空間向量的夾角
【答案】　從空間任意一點(diǎn)O出發(fā)作=a,=b,則θ=∠AOB就是a,b所成的角.
問題2:=嗎 與<-a,b>,,<-a,-b>有什么關(guān)系
【答案】　=,<-a,b>==π-,<-a,-b>=.
問題3:要求a·b的值,應(yīng)該知道哪些量的值
【答案】　要求a·b,應(yīng)該知道|a|,|b|及的值.
新知生成
1.空間角
如圖,由于空間內(nèi)任意兩個(gè)向量a,b都可以平移到同一個(gè)平面OAB內(nèi).因此與平面向量夾角的定義一樣,我們把∠AOB稱為向量a,b的夾角,記作,其取值范圍為[0,π].
2.空間向量的數(shù)量積
定義a·b=|a||b|cos為a與b的數(shù)量積.
當(dāng)a,b都不為0時(shí),它們有確定的夾角∈[0,π].
當(dāng)a=0或b=0 時(shí),夾角可以在[0,π]中任意選定,但總有a·b=0.
新知運(yùn)用
例1　已知空間四邊形ABCD的邊長和對角線長均為2,E,F,G分別為AB,AD,DC的中點(diǎn),求下列數(shù)量積:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【解析】　(1)∵空間四邊形ABCD的邊長和對角線長都為2,如圖,
∴在空間四邊形ABCD中,||=||=2,且<,>=60°,
∴·=2×2×cos 60°=2.
(2)∵=2,=2,<,>=60°,
∴·=2×2×cos 60°=2.
(3)∵=×2=1,||=2,∥,<,>=180°,
∴·=·||·cos 180°=1×2×(-1)=-2.
【方法總結(jié)】　　在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積;
(3)根據(jù)向量的方向,正確求出向量的夾角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【解析】　(1)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥BC,BC∥B'C',
所以AB⊥B'C',即⊥,
所以·=0.
(2)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB∥DC,DC∥D'C',
所以AB∥D'C',即∥,即,的夾角為0,
所以·=·cos 0=1.
(3)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,=,
又向量,的夾角∠BAC=45°,且=,
所以·=·=·cos 45°=1.
探究2 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律
問題1:空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律嗎
【答案】　空間向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,也不滿足消去律,即(a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·c/ b=c.
問題2:已知向量a,b,|a·b|=|a||b|成立嗎
【答案】　|a·b|=|a||b|cos≤|a||b|.
當(dāng)a與b共線時(shí),|a·b|=|a||b|,否則不成立.
問題3:對于非零向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c嗎
【答案】　不能,由a·b=a·c得到a·(b-c)=0,即可能有a⊥(b-c)成立.
新知生成
1.數(shù)量積的性質(zhì)
(1)a·a=|a|2.
(2)|a|=.
(3)若a,b是非零向量,則a⊥b a·b=0.
(4)若θ為a,b的夾角,則cos θ=.
2.數(shù)量積的運(yùn)算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
交換律 a·b=b·a
分配律 a·(b+c)=a·b+a·c
新知運(yùn)用
例2　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱AA1的長度為4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
(1)BD1的長;
(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.
【解析】　(1)因?yàn)?++,
所以==+++2·+2·+2·=16+4+4+2×4×2cos 60°+2×4×2cos 120°+0=24,故=2,所以BD1的長為2.
(2)·=(+)·(++)=·+·+·+·+·+·=2×4cos 120°-4+0+2×4cos 120°+0+4=-8,
===2,由(1)知=2,
設(shè)直線BD1與AC所成的角為θ,
則cos θ====,
所以直線BD1與AC所成角的余弦值為.
【方法總結(jié)】　　1.用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟:(1)用向量表示此距離;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|即可.
2.利用向量的數(shù)量積求夾角問題的思路:(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量夾角的定義來求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后確定.
如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對
角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
(1)求MN與AD的夾角;
(2)若CD=DE=1,求MN的長.
【解析】　(1)在矩形ABCD中,AB⊥AD,
在矩形ADEF中,AF⊥AD,
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF,且平面ABCD∩平面ADEF=AD,AB 平面ABCD,
所以AB⊥平面ADEF,
又因?yàn)锳F 平面ADEF,所以AB⊥AF,
因?yàn)?++
=++
=(-)-+(+)
=-+,
所以·=-+·=-·+·=0,
所以MN與AD的夾角為90°.
(2)因?yàn)镃D=DE=1,所以==1,
則=
==,
即MN的長為.
探究3 數(shù)量積的幾何意義
我們在測量樹的高度時(shí),常利用陽光下的影子測量其高度,如圖所示.
問題1:若測得||=2,如何求在上的投影
【答案】　根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義,在上的投影數(shù)量為||cos(π-∠OAB)==-2.
問題2:平面向量數(shù)量積的投影的定義在空間中還成立嗎
【答案】　根據(jù)空間向量數(shù)量積公式可知,依然成立.
新知生成
1.投影向量
如圖,將空間任意兩
個(gè)向量a,b平移到同一個(gè)平面內(nèi),可得=a,=b,=α.過點(diǎn)B作BB1⊥OA,垂足為點(diǎn)B1,則為在方向上的投影向量,投影向量的模=|cos α|稱為投影長.
取方向上的單位向量e來度量投影向量,類比平面向量,可得=(cos α)e,因而可用(||cos α)e來代表投影向量.我們稱cos α為在方向上的投影,其正負(fù)表示與方向相同還是相反.
2.數(shù)量積的幾何意義
a與b的數(shù)量積等于a的模|a|與b在a方向上的投影|b|·cos α的乘積,也等于b的模|b|與a在b方向上的投影|a|·cos α的乘積.
新知運(yùn)用
例3　如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E為棱C1D1的中點(diǎn),求在方向上的投影向量及投影.
方法指導(dǎo)　先求||,再求·,代入投影向量和投影公式即可得結(jié)果.
【解析】　由圖可知,=++,
所以||=++
=
=.
因?yàn)椤?·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14,
所以在上的投影向量是·=,　
在上的投影是==.　
【方法總結(jié)】　　投影是向量數(shù)量積的幾何意義,求解的實(shí)質(zhì)還是數(shù)量積的相關(guān)計(jì)算,投影向量是投影乘相應(yīng)投影方向的單位向量.注意區(qū)分投影與投影向量.
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)=a,=b,=c.若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1.
(1)求向量在上的投影;
(2)求向量在上的投影向量.
【解析】　(1)由圖可知,=++
=++
=(c-a)+a+(b-a)
=a+b+c,
所以·=b ·a+b+c=×0+1+1×1×=.
因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,
所以|a+b+c|=,
所以||=|a+b+c|=.
所以向量在上的投影是=×=.
(2)因?yàn)橄蛄颗c的夾角是向量與夾角的補(bǔ)角,所以·=-,
所以向量在上的投影向量是·=-××=-.
【隨堂檢測】
1.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為(　　)
A.-6　　　　 B.6　　 　　 C.3　　　 　 D.-3
【答案】　B
【解析】　由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
2.在空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,則cos<,>的值為(　　).
A. B. C.- D.0
【答案】　D
【解析】∵·=·(-)=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||·||-||||=0,
∴⊥,∴cos<,>=0.
3.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則向量在上的投影等于　　　　.
【答案】　9
【解析】　因?yàn)?++,
所以·=(++)·=0+6×6×+62=54,
所以向量在上的投影為||cos<,>===9.
4.(2023·蘇州周練)如圖,已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于AB的線段.又AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長.
【解析】　∵CA⊥AB,BD⊥AB,
∴<,>=120°,且·=0,·=0.
∵=++,
∴||2=·=(++)·(++)
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=||2+||2+||2+2||||cos <,>
=62+42+82+2×6×8×-=68,
∴||=2.
2

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