資源簡介

2.3 課時1 空間向量的分解與坐標(biāo)表示
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解空間向量基本定理及其意義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.理解共面向量與向量線性運算之間的關(guān)系.(邏輯推理)
3.理解空間向量的正交分解、坐標(biāo)表示.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面中的兩個非零向量在什么情況下平行呢 為什么平行向量也稱為共線向量呢
【答案】　方向相同或相反的非零向量叫作平行向量,也叫共線向量.任一組平行向量都可以移動到同一條直線上,所以平行向量也稱為共線向量.
2.空間中任意兩個向量總是共面的,但空間中任意三個向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情況下三個空間向量共面呢
【答案】　能平移到同一個平面內(nèi)的三個向量是共面的.
3.平面內(nèi)兩個不共線向量e1,e2,若平面內(nèi)任意一個向量p與e1,e2共面,則p,e1,e2這三個向量之間存在怎樣的關(guān)系呢
【答案】　p=xe1+ye2.
4.在三個向量a,b,c 中,某個向量為0,或者某兩個向量平行,請問這三個向量是否共面
【答案】　這三個向量共面.
5.類比平面向量基本定理,敘述空間向量基本定理.
【答案】　設(shè)e1,e2,e3是空間中三個不共面的向量,則空間任一向量p可以分解成這三個向量的實數(shù)倍之和:p=xe1+ye2+ze3.
6.如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點,那么的坐標(biāo)如何表示呢
【答案】　=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)只有兩兩垂直的三個向量才能構(gòu)成空間的一組基.(　　)
(2)若{a,b,c}為空間的一組基,則{-a,b,2c}也可構(gòu)成空間的一組基. (　　)
(3)若{a,b,c}不能構(gòu)成空間的一組基,則a,b,c共面.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,可以構(gòu)成空間的一組基的是(　　).
A.{,,} B.{,,}
C.{,,} D.{,,}
【答案】　C
【解析】　由題意知,{,,}可以構(gòu)成空間的一組基.
3.在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點,BE=3ED,以{,,}為空間的一組基,則=　　　　.
【答案】　--+
【解析】　設(shè)AC的中點為F,則=+=+=-×(+)+=-(-2)+(-)=--+.
【合作探究】
探究1 共面向量
問題1:空間中任意兩個向量是共面向量,則空間中任意三個向量是否共面
【答案】　不一定,如圖所示,空間中的三個向量不共面.
問題2:對于兩個不共線的空間向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系 反之,當(dāng)向量p與向量a,b是什么位置關(guān)系時,p=xa+yb
【答案】　向量p與不共線的向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.
問題3:對于不共線的三點A,B,C和平面ABC外的一點O,空間中一點P滿足關(guān)系式=x+y+z,則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么
【答案】　x+y+z=1.
新知生成
1.共面向量
一般地,能平移到同一個平面內(nèi)的向量叫作共面向量.
2.共面向量基本定理
如果兩個向量e1,e2不共線,那么向量p與向量e1,e2共面的充要條件是存在有序數(shù)組(x,y),使得p=xe1+ye2.
注意:在三個向量a,b,c 中,若某個向量為0,或者某兩個向量平行,則這三個向量共面.
新知運用
例1　在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1的中點,O是面對角線BC1與B1C的交點.試判斷向量與,是否共面.
【解析】　根據(jù)空間向量的運算法則,可得=++=++(-)=-++-=-,
又由空間向量的共面定理,可得向量與,共面.
【方法總結(jié)】　　利用共面向量基本定理判斷三個向量是否共面的關(guān)鍵是熟記平面向量的共面定理,準(zhǔn)確化簡、運算.
如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:向量,,共面.
【解析】　因為點M在BD上,且BM=BD,
所以==+.
同理=+.
所以=++
=++++
=+=+.
又與不共線,根據(jù)向量共面的充要條件可知,,共面.
探究2 空間向量基本定理
問題1:空間中怎樣的向量能構(gòu)成基
【答案】　空間任意三個不共面的向量都可以組成空間向量的一組基.
問題2:基與基向量的概念有什么不同
【答案】　一組基是指一個向量組,一個基向量是指基中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.
問題3:為什么空間向量基本定理中x,y,z是唯一的
【答案】　平移向量a,b,c,p,使它們共起點,如圖所示,以p為體對角線,在a,b,c方向上作平行六面體,易知這個平行六面體是唯一的,因此p在a,b,c方向上的分解是唯一的,即x,y,z是唯一的.
問題4:構(gòu)成基的三個向量中,可以有零向量嗎
【答案】　不可以.因為基是不共面的三個向量,而零向量與任意向量均共面,所以構(gòu)成基的三個向量中不能有零向量.
問題5:如何理解空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算間的關(guān)系
【答案】　空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算類似,僅多了一項豎坐標(biāo),其法則與橫、縱坐標(biāo)一致.
新知生成
1.空間向量基本定理
設(shè)e1,e2,e3是空間中三個不共面向量,則
(1)空間中任意一個向量p都可以寫成這三個向量的線性組合:p=xe1+ye2+ze3.
(2)上述表達(dá)式中的系數(shù)x,y,z由p唯一決定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,則x=x',y=y',z=z'.
2.基{e1,e2,e3}下的坐標(biāo)
我們把{e1,e2,e3}稱為空間的一組基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)稱為向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐標(biāo).
新知運用
一、空間向量基的判斷
例2　已知{e1,e2,e3}是空間的一組基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷{,,}能否作為空間的一組基.
【解析】　假設(shè),,共面,則存在實數(shù)λ,μ使得=λ+μ,
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)
=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵e1,e2,e3不共面,
∴此方程組無解,
∴,,不共面,
∴{,,}可以作為空間的一組基.
【方法總結(jié)】　　判斷三個向量組成的向量組能否作為基,關(guān)鍵是要判斷這三個向量是否共面.首先應(yīng)考慮三個向量中是否有零向量,其次判斷三個非零向量是否共面.如果從正面難以判斷三個向量是否共面,可以假設(shè)三個向量共面,利用向量共面的充要條件建立方程組,若方程組有解,則三個向量共面;若方程組無解,則三個向量不共面.
二、用基表示向量
例3　在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,E,F分別是AD1,BD的中點.
(1)分別用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求實數(shù)x,y,z的值.
【解析】　(1)如圖,連接AC,EF,D1F,BD1,
=+
=-+-
=a-b-c,
=+=+
=-(+)+(+)
=-=a-c.
(2)=(+)=(-+)
=(-c+a-b-c)=a-b-c,
∵=xa+yb+zc,
∴x=,y=-,z=-1.
【方法總結(jié)】　　用基表示向量的步驟
(1)定基:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一組基.
(2)找目標(biāo):用確定的基(或已知基)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡,最后求出結(jié)果.
(3)下結(jié)論:利用空間向量的一組基{a,b,c}可以表示出空間所有向量.結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
1.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基.給出下列向量組:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間的基的向量組有　　　個.
【答案】　3
【解析】　如圖所示,設(shè)a=,b=,c=,則x=,y=,z=,a+b+c=.
由A,B1,D1,C四點不共面可知向量x,y,z也不共面,同理可知b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,可以作為空間的基.因為x=a+b,所以a,b,x共面,不能作為空間的基.
2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=-,=,設(shè)=a,=b,=c,試用a,b,c表示.
【解析】　如圖,連接AN,則=+.
由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形,從而可得=+=a+b,所以=-=-(a+b),
又=-=b-c,
故=+=-=-=b-(b-c),
故=+=-(a+b)+b-(b-c)=-a+b+c.
探究3 空間向量的直角坐標(biāo)表示
問題1:與x軸、y軸、z軸共線的向量i,j,k的坐標(biāo)各有什么特點
【答案】　i=(x,0,0),j=(0,y,0),k=(0,0,z).
問題2:你能寫出坐標(biāo)平面上向量的坐標(biāo)嗎
【答案】　xOy平面上向量的坐標(biāo)為(x,y,0),xOz平面上向量的坐標(biāo)為(x,0,z),yOz平面上向量的坐標(biāo)為(0,y,z).
問題3:對于空間中任意的兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則A,B兩點間的距離公式如何表示呢
【答案】　||=.
問題4:如何求向量p=(x,y,z)在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影
【答案】　由圖可知,p=xi+yj+zk在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影向量OQ=xi,OR=yj,OS=zk,
因此,p在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影分別為x,y,z,
即向量在坐標(biāo)軸正方向上的投影分別等于該向量在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo).
新知生成
1.標(biāo)準(zhǔn)正交基
若空間任意三個兩兩垂直、長度均為1的向量i,j,k不共面,可將它們組成空間的一組基,我們把這組基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.
2.坐標(biāo)
空間中的每個向量p都可以分解成基向量的實數(shù)倍之和:p=xi+yj+zk,將x,y,z按順序排成的實數(shù)組(x,y,z)稱為向量p的坐標(biāo),記為p=(x,y,z).
3.空間向量的坐標(biāo)
一個空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),等于表示這個空間向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去它的起點的坐標(biāo).
4.向量在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影
向量在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影分別等于該向量在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo).
新知運用
例4　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱BB1,DC的中點,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出各頂點的坐標(biāo);
(2)寫出向量,,的坐標(biāo).
【解析】　(1)設(shè)x軸、y軸、z軸正方向的單位向量分別為i,j,k,
因為正方體的棱長為2,所以=2i,=2j,=2k.
因為D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
又因為=+=2i+2j,所以B(2,2,0).
同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
(2)因為E,F分別為棱BB1,DC的中點,
所以=++=-k-2i-j=-2i-j-k,
=++=-2k-2i-j=-2i-j-2k,
=+=2j-k,
所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
【方法總結(jié)】　　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求向量,,,的坐標(biāo).
【解析】　由題意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C為坐標(biāo)原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示.
取標(biāo)準(zhǔn)正交基底為,,,
∴=-=+-=-+,
∴的坐標(biāo)為(1,-1,1).
而=-=-+,
∴的坐標(biāo)為(1,-1,2).
又∵=-,∴的坐標(biāo)為(-1,1,-2).
∵=(+)=(+),
∴的坐標(biāo)為.
【隨堂檢測】
1.已知M,A,B,C為空間中四點,任意三點不共線,且=-2+x+y,若M,A,B,C四點共面,則x+y的值為(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　D
【解析】　若M,A,B,C四點共面,則=m+n,即-=m(-)+n(-),則=(1-m-n)+m+n,又=-2+x+y,所以-2+x+y=1,則x+y=3.
2.設(shè){i,j,k}是空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,已知向量p=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)是(　　).
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
【答案】　A
【解析】　∵p=8a+6b+4c,a=i+j,b=j+k,c=k+i.
∴p=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)
=12i+14j+10k=(12,14,10).
3.如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1兩兩的夾角為60°,AB=AD=1,AA1=2,且設(shè)=a,=b,=c,P是CA1的中點,M是CD1的中點.用基{a,b,c}表示以下向量并計算其模長:
(1);
(2).
【解析】　連接AC,AD1(圖略),
(1)=(+)=(++)=(a+b+c),
所以||2=(a+b+c)2=12+12+22+2×1×1×+2×1×2×+2×1×2×=,
所以||=.
(2)=(+)=(+++)=a+b+c,
所以 ||2=a+b+c2=×12+12+×22+1×1×+×1×2×+1×2×=,
所以||=.
4.(2023·南陽周練)已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下,向量a=4i+3j-8k,b=2i-3j+7k,c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在j上的投影.
【解析】　由已知可得i·j=i·k=j·k=0,且|i|=|j|=|k|=1,
m=a-b+c=(4i+3j-8k)-(2i-3j+7k)+(-i+2j-4k)=i+8j-19k,
所以向量m在j上的投影為==8|j|=8.
22.3 課時1 空間向量的分解與坐標(biāo)表示
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解空間向量基本定理及其意義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.理解共面向量與向量線性運算之間的關(guān)系.(邏輯推理)
3.理解空間向量的正交分解、坐標(biāo)表示.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面中的兩個非零向量在什么情況下平行呢 為什么平行向量也稱為共線向量呢
2.空間中任意兩個向量總是共面的,但空間中任意三個向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情況下三個空間向量共面呢
3.平面內(nèi)兩個不共線向量e1,e2,若平面內(nèi)任意一個向量p與e1,e2共面,則p,e1,e2這三個向量之間存在怎樣的關(guān)系呢
4.在三個向量a,b,c 中,某個向量為0,或者某兩個向量平行,請問這三個向量是否共面
5.類比平面向量基本定理,敘述空間向量基本定理.
6.如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點,那么的坐標(biāo)如何表示呢
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)只有兩兩垂直的三個向量才能構(gòu)成空間的一組基.(　　)
(2)若{a,b,c}為空間的一組基,則{-a,b,2c}也可構(gòu)成空間的一組基. (　　)
(3)若{a,b,c}不能構(gòu)成空間的一組基,則a,b,c共面.(　　)
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,可以構(gòu)成空間的一組基的是(　　).
A.{,,} B.{,,}
C.{,,} D.{,,}
3.在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點,BE=3ED,以{,,}為空間的一組基,則=　　　　.
【合作探究】
探究1 共面向量
問題1:空間中任意兩個向量是共面向量,則空間中任意三個向量是否共面
問題2:對于兩個不共線的空間向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系 反之,當(dāng)向量p與向量a,b是什么位置關(guān)系時,p=xa+yb
問題3:對于不共線的三點A,B,C和平面ABC外的一點O,空間中一點P滿足關(guān)系式=x+y+z,則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么
新知生成
1.共面向量
一般地,能平移到同一個平面內(nèi)的向量叫作共面向量.
2.共面向量基本定理
如果兩個向量e1,e2不共線,那么向量p與向量e1,e2共面的充要條件是存在有序數(shù)組(x,y),使得p=xe1+ye2.
注意:在三個向量a,b,c 中,若某個向量為0,或者某兩個向量平行,則這三個向量共面.
新知運用
例1　在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1的中點,O是面對角線BC1與B1C的交點.試判斷向量與,是否共面.
【方法總結(jié)】　　利用共面向量基本定理判斷三個向量是否共面的關(guān)鍵是熟記平面向量的共面定理,準(zhǔn)確化簡、運算.
如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:向量,,共面.
探究2 空間向量基本定理
問題1:空間中怎樣的向量能構(gòu)成基
問題2:基與基向量的概念有什么不同
問題3:為什么空間向量基本定理中x,y,z是唯一的
問題4:構(gòu)成基的三個向量中,可以有零向量嗎
問題5:如何理解空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算間的關(guān)系
新知生成
1.空間向量基本定理
設(shè)e1,e2,e3是空間中三個不共面向量,則
(1)空間中任意一個向量p都可以寫成這三個向量的線性組合:p=xe1+ye2+ze3.
(2)上述表達(dá)式中的系數(shù)x,y,z由p唯一決定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,則x=x',y=y',z=z'.
2.基{e1,e2,e3}下的坐標(biāo)
我們把{e1,e2,e3}稱為空間的一組基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)稱為向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐標(biāo).
新知運用
一、空間向量基的判斷
例2　已知{e1,e2,e3}是空間的一組基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷{,,}能否作為空間的一組基.
【方法總結(jié)】　　判斷三個向量組成的向量組能否作為基,關(guān)鍵是要判斷這三個向量是否共面.首先應(yīng)考慮三個向量中是否有零向量,其次判斷三個非零向量是否共面.如果從正面難以判斷三個向量是否共面,可以假設(shè)三個向量共面,利用向量共面的充要條件建立方程組,若方程組有解,則三個向量共面;若方程組無解,則三個向量不共面.
二、用基表示向量
例3　在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,E,F分別是AD1,BD的中點.
(1)分別用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求實數(shù)x,y,z的值.
【方法總結(jié)】　　用基表示向量的步驟
(1)定基:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一組基.
(2)找目標(biāo):用確定的基(或已知基)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡,最后求出結(jié)果.
(3)下結(jié)論:利用空間向量的一組基{a,b,c}可以表示出空間所有向量.結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
1.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基.給出下列向量組:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間的基的向量組有　　　個.
2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=-,=,設(shè)=a,=b,=c,試用a,b,c表示.
探究3 空間向量的直角坐標(biāo)表示
問題1:與x軸、y軸、z軸共線的向量i,j,k的坐標(biāo)各有什么特點
問題2:你能寫出坐標(biāo)平面上向量的坐標(biāo)嗎
問題3:對于空間中任意的兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則A,B兩點間的距離公式如何表示呢
問題4:如何求向量p=(x,y,z)在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影
新知生成
1.標(biāo)準(zhǔn)正交基
若空間任意三個兩兩垂直、長度均為1的向量i,j,k不共面,可將它們組成空間的一組基,我們把這組基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.
2.坐標(biāo)
空間中的每個向量p都可以分解成基向量的實數(shù)倍之和:p=xi+yj+zk,將x,y,z按順序排成的實數(shù)組(x,y,z)稱為向量p的坐標(biāo),記為p=(x,y,z).
3.空間向量的坐標(biāo)
一個空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),等于表示這個空間向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去它的起點的坐標(biāo).
4.向量在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影
向量在三條坐標(biāo)軸正方向上的投影分別等于該向量在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo).
新知運用
例4　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱BB1,DC的中點,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出各頂點的坐標(biāo);
(2)寫出向量,,的坐標(biāo).
【方法總結(jié)】　　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求向量,,,的坐標(biāo).
【隨堂檢測】
1.已知M,A,B,C為空間中四點,任意三點不共線,且=-2+x+y,若M,A,B,C四點共面,則x+y的值為(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.設(shè){i,j,k}是空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,已知向量p=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)是(　　).
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
3.如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1兩兩的夾角為60°,AB=AD=1,AA1=2,且設(shè)=a,=b,=c,P是CA1的中點,M是CD1的中點.用基{a,b,c}表示以下向量并計算其模長:
(1);
(2).
4.(2023·南陽周練)已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下,向量a=4i+3j-8k,b=2i-3j+7k,c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在j上的投影.
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