資源簡介

2.3 課時2 空間向量線性運算的坐標表示
【學習目標】
1.掌握空間向量加減運算和數乘運算的坐標表示.(數學抽象、數學運算)
2.理解兩空間向量平行的判定.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.類比平面向量加減運算的坐標表示,思考空間向量加減運算該如何用坐標表示
2.類比平面向量數乘運算的坐標表示,思考空間向量數乘運算該如何用坐標表示
3.類比兩平面向量平行的坐標關系,思考如果兩空間向量平行,那么它們的坐標存在什么樣的關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)即使建立的坐標系不同,同一向量的坐標仍相同. (　　)
(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,則==. (　　)
(3)若向量a=(2,1,-3),b=(1,-1,2),則a+2b=(4,-1,1). (　　)
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a-2b=(　　).
A.(16,0,4) B.(16,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
3.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　).
A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)
C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
【合作探究】
探究1 空間向量的線性運算的坐標表示
問題1:設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a+b,a-b
問題2:平面向量坐標的線性運算與空間向量坐標的線性運算有什么聯系與區別
新知生成
設a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),空間向量的坐標運算法則如下:
1.空間向量加、減運算的坐標表示
(1)語言敘述:兩個向量和(或差)的坐標等于這兩個向量相應坐標的和(或差).
(2)符號敘述:a+b=(x1+y1,x2+y2,x3+y3),a-b=(x1-y1,x2-y2,x3-y3).
2.向量的數乘運算
(1)語言表示:一個實數與向量乘積的坐標等于這個實數乘向量相應的坐標.
(2)符號表示:λa=(λx1,λx2,λx3),λ∈R.
新知運用
例1　如圖,在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求:
(1)向量,,的坐標;
(2)+2,+-2的坐標.
【方法總結】　　1.一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.2.在確定了向量的坐標后,使用空間向量的加減、數乘的坐標運算公式進行計算即可.
已知點A(1,1,-1),B(1,0,1),C(0,1,2),D(-1,2,1),求:
(1),,;
(2)2-+.
探究2 向量平行的坐標表示
問題1:若a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),為什么a∥b不一定能推出==成立
問題2:已知點M在直線 AB上,=λ,λ為實數,當點M在直線AB的不同位置時,λ的取值范圍是什么
新知生成
已知a為非零向量,a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),則a∥b (x1,x2,x3)∥(y1,y2,y3) y1=λx1,y2=λx2,y3=λx3(λ∈R).
新知運用
例2　已知a=(-2,3,2),b=(1,-5,1),且ma+b與2a-b平行,求實數m的值.
【方法總結】　　向量平行問題主要有兩種題型:(1)平行的判斷;(2)平行的應用,如求參數.解題時要注意:①適當引入參數(比如向量a,b平行,可設a=λb),建立關于參數的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.
已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三點在同一條直線上,則a+b=　　　　.
探究3 求點的坐標
例3　已知O是坐標原點,A,B,C三點的坐標分別為A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5).
(1)若=(-),求點D的坐標;
(2)若P是線段AB上的一點,且AP∶PB=1∶2,求點P的坐標.
【方法總結】　　求點的坐標,是向量線性運算的坐標表示的綜合應用,解題關鍵:一是直接根據向量線性的坐標表示的應用公式化簡求解;二是根據坐標運算建立方程求解.與平面向量的坐標運算法則基本一樣,求點的坐標的關鍵是注意一些計算公式的應用.
若A(3,2,4),B(1,2,-8),點C在線段AB上,且=,則點C的坐標是　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則3a-b=(　　).
A.(-8,11,14) B.(-9,3,15)
C.(-10,1,16) D.(0,13,2)
2.向量m=(-1,x,3),n=(y,2,6),若m∥n,則x+y的值為(　　).
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,3),C1(-1,2,4),則點A1的坐標為(　　).
A.(0,4,7) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-1) D.(2,0,1)
4.(2023·九江周練)如圖,在空間四邊形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),點E,F分別為線段BC,AD的中點,則的坐標為(　　).
A.(2,3,3)
B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)
D.(-5,2,-1)
22.3 課時2 空間向量線性運算的坐標表示
【學習目標】
1.掌握空間向量加減運算和數乘運算的坐標表示.(數學抽象、數學運算)
2.理解兩空間向量平行的判定.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.類比平面向量加減運算的坐標表示,思考空間向量加減運算該如何用坐標表示
【答案】　兩個向量和(或差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(或差).
2.類比平面向量數乘運算的坐標表示,思考空間向量數乘運算該如何用坐標表示
【答案】　一個實數與向量乘積的坐標等于這個實數乘向量相應的坐標.
3.類比兩平面向量平行的坐標關系,思考如果兩空間向量平行,那么它們的坐標存在什么樣的關系
【答案】　a∥b(b≠0)的充要條件是存在唯一的實數λ,使a=λb,即a與b相應坐標成倍數關系.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)即使建立的坐標系不同,同一向量的坐標仍相同. (　　)
(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,則==. (　　)
(3)若向量a=(2,1,-3),b=(1,-1,2),則a+2b=(4,-1,1). (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a-2b=(　　).
A.(16,0,4) B.(16,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
【答案】　B
【解析】　∵4a=(12,-8,4),2b=(-4,8,0),∴4a-2b=(16,-16,4).
3.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　).
A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)
C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
【答案】　B
【解析】　因為λa∥a,λa=(0,λ,0),A,C,D選項均不符合λa=(0,λ,0)的形式,只有c=-a滿足c∥a,故選B.
【合作探究】
探究1 空間向量的線性運算的坐標表示
問題1:設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a+b,a-b
【答案】　因為a+b=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)
=(x1i+y1j+z1k)+(x2i+y2j+z2k)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k,
所以a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).
同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2).
問題2:平面向量坐標的線性運算與空間向量坐標的線性運算有什么聯系與區別
【答案】　平面向量坐標的線性運算與空間向量坐標的線性運算是相同的,但空間向量要比平面向量多一豎坐標,豎坐標的處理方式與橫、縱坐標是一樣的.
新知生成
設a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),空間向量的坐標運算法則如下:
1.空間向量加、減運算的坐標表示
(1)語言敘述:兩個向量和(或差)的坐標等于這兩個向量相應坐標的和(或差).
(2)符號敘述:a+b=(x1+y1,x2+y2,x3+y3),a-b=(x1-y1,x2-y2,x3-y3).
2.向量的數乘運算
(1)語言表示:一個實數與向量乘積的坐標等于這個實數乘向量相應的坐標.
(2)符號表示:λa=(λx1,λx2,λx3),λ∈R.
新知運用
例1　如圖,在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求:
(1)向量,,的坐標;
(2)+2,+-2的坐標.
【解析】　(1)由已知A(0,0,0),C'(1,2,3),B(1,0,0),D'(0,2,3),
則=(1,2,3),=(-1,2,3),=(0,2,3).
(2)+2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),
+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).
【方法總結】　　1.一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.2.在確定了向量的坐標后,使用空間向量的加減、數乘的坐標運算公式進行計算即可.
已知點A(1,1,-1),B(1,0,1),C(0,1,2),D(-1,2,1),求:
(1),,;
(2)2-+.
【解析】　(1)由題設,=(1,0,1)-(1,1,-1)=(0,-1,2),=(0,1,2)-(1,1,-1)=(-1,0,3),=(-1,2,1)-(1,1,-1)=(-2,1,2).
(2)由(1)可得,2-+=(0,-2,4)-(-1,0,3)+(-2,1,2)=(-1,-1,3).
探究2 向量平行的坐標表示
問題1:若a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),為什么a∥b不一定能推出==成立
【答案】　因為當b的三個坐標有0時,有些分式無意義.當b的三個坐標都不為0時,a∥b ==才成立,否則有些分式無意義.
問題2:已知點M在直線 AB上,=λ,λ為實數,當點M在直線AB的不同位置時,λ的取值范圍是什么
【答案】　當點M在線段AB上(不與端點重合)時,λ∈(0,1);當點M在AB的延長線上時,λ∈(1,+∞);當點M在AB的反向延長線上時,λ∈(-∞,0);當點M與點A重合時,λ=0;當點M與點B重合時,λ=1.
新知生成
已知a為非零向量,a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),則a∥b (x1,x2,x3)∥(y1,y2,y3) y1=λx1,y2=λx2,y3=λx3(λ∈R).
新知運用
例2　已知a=(-2,3,2),b=(1,-5,1),且ma+b與2a-b平行,求實數m的值.
【解析】　(法一)因為(ma+b)∥(2a-b),所以ma+b=k(2a-b)(k∈R),所以(2k-m)a=(1+k)b,
因為a與b不平行,所以所以m=-2.
(法二)由已知得,ma+b=(-2m+1,3m-5,2m+1),2a-b=(-4,6,4)-(1,-5,1)=(-5,11,3),
因為(ma+b)∥(2a-b),
所以==,解得m=-2.
【方法總結】　　向量平行問題主要有兩種題型:(1)平行的判斷;(2)平行的應用,如求參數.解題時要注意:①適當引入參數(比如向量a,b平行,可設a=λb),建立關于參數的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.
已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三點在同一條直線上,則a+b=　　　　.
【答案】　5
【解析】　根據題意得=(1,-1,3),
=(a-1,-2,b+4),
∵與共線,∴=λ,
∴(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),
∴解得∴a+b=5.
探究3 求點的坐標
例3　已知O是坐標原點,A,B,C三點的坐標分別為A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5).
(1)若=(-),求點D的坐標;
(2)若P是線段AB上的一點,且AP∶PB=1∶2,求點P的坐標.
【解析】　(1)∵=(-1,1,5),=(-3,-1,5),
∴=(-)=(2,2,0)=(1,1,0),
∴點D的坐標為(1,1,0).
(2)由P是線段AB上的一點,且AP∶PB=1∶2,
得=.
設點P的坐標為(x,y,z),則=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z),
故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z),
即解得
因此點P的坐標為,,.
【方法總結】　　求點的坐標,是向量線性運算的坐標表示的綜合應用,解題關鍵:一是直接根據向量線性的坐標表示的應用公式化簡求解;二是根據坐標運算建立方程求解.與平面向量的坐標運算法則基本一樣,求點的坐標的關鍵是注意一些計算公式的應用.
若A(3,2,4),B(1,2,-8),點C在線段AB上,且=,則點C的坐標是　　　　.
【答案】　,2,-4
【解析】　因為點A(3,2,4),B(1,2,-8),C為線段AB上一點,且=,
所以=,=(-2,0,-12).
設點C的坐標為(x,y,z),則=(x-3,y-2,z-4),
則(x-3,y-2,z-4)=(-2,0,-12),即
解得即C,2,-4.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則3a-b=(　　).
A.(-8,11,14) B.(-9,3,15)
C.(-10,1,16) D.(0,13,2)
【答案】　C
【解析】　a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則3a-b=(-10,1,16).
2.向量m=(-1,x,3),n=(y,2,6),若m∥n,則x+y的值為(　　).
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【答案】　C
【解析】　由題意可知x≠0,y≠0,則==,因此x=1,y=-2,所以x+y=-1.
3.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,3),C1(-1,2,4),則點A1的坐標為(　　).
A.(0,4,7) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-1) D.(2,0,1)
【答案】　B
【解析】　設A1(x,y,z),∵=(1,2,3),C1(-1,2,4),又=,
∴(1,2,3)=(-1-x,2-y,4-z),解得x=-2,y=0,z=1,即A1(-2,0,1).
4.(2023·九江周練)如圖,在空間四邊形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),點E,F分別為線段BC,AD的中點,則的坐標為(　　).
A.(2,3,3)
B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)
D.(-5,2,-1)
【答案】　B
【解析】　如圖,取AC的中點M,連接ME,MF,
則==-,,1,
==-,-,-2,
從而=-=(-2,-3,-3).
2

展開更多......

收起↑