資源簡介

2.4 課時1 空間直線的方向向量和平面的法向量
【學習目標】
1.理解直線的方向向量和平面的法向量.(數學抽象、直觀想象)
2.會用待定系數法求平面的法向量.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.如何用向量來確定一個點在空間的位置
【答案】　在空間中,取一定點O作為原點,那么空間中任意一點P的位置就可以用向量來表示,稱為點P的位置向量.
2.對于平面上的直線,可以用平面向量刻畫其方向.對于空間直線,是否也可用空間向量來刻畫其方向
【答案】　如圖,在直線l上任取兩個不同的點A,B,則有向線段AB所代表的向量就表示直線的方向,稱為直線 l 的方向向量.自然,也是直線 l 的方向向量.
3.如何用向量來確定一個平面的位置
【答案】　給定一點A和一個向量n,那么,過點A,且以向量n為法向量的平面是完全確定的.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)零向量能作為直線的方向向量. (　　)
(2)直線的方向向量都是相等向量. (　　)
(3)直線的方向向量是不唯一的. (　　)
(4)平面的法向量是唯一的. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.若A(1,2,3),B(2,1,0)在直線l上,則直線l的一個方向向量是(　　).
A.(1,-1,-3) B.(-1,1,-3)
C.(3,3,3) D.(-3,0,1)
【答案】　A
3.已知平面α過點P(0,1,1),其法向量為n=(1,1,2),則下列點不在平面α內的是(　　).
A.(2,1,0) B.(-1,0,2)
C.(2,-1,2) D.(2,3,-1)
【答案】　C
【解析】　設平面α內的點A(x,y,z),則=(x,y-1,z-1),結合法向量的定義可得·n=x+(y-1)+2(z-1)=0,即x+y+2z-3=0.
若x=2,y=1,則z=0,故點(2,1,0)在平面α內;
若x=-1,y=0,則z=2,故點(-1,0,2)在平面α內;
若x=2,y=-1,則z=1,故點(2,-1,2)不在平面α內;
若x=2,y=3,則z=-1,故點(2,3,-1)在平面α內.
故選C.
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α內的三點,設平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=　　　　.
【答案】　2∶3∶(-4)
【解析】　因為=1,-3,-,=-2,-1,-,且a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
【合作探究】
探究1 直線的方向向量
問題1:直線的方向向量是唯一的嗎 若不唯一,直線的方向向量之間的關系是怎樣的
【答案】　直線的方向向量不是唯一的,直線的不同的方向向量是共線向量.
問題2:兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角之間有什么關系
【答案】　相等或互補.
問題3:零向量可以是直線的方向向量嗎
【答案】　不可以.直線的方向向量是用來描述空間直線的位置,而零向量的方向是任意的,因此,無法用零向量來描述空間直線的位置.
新知生成
一般地,如果非零向量v與直線l平行,就稱v為l的方向向量.
已知空間直線l上一個定點A以及這條直線的一個方向向量,就可以確定這條空間直線的位置.
新知運用
例1　如圖所示,在空間直角坐標系中,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,且PB=AB=2,若點Q在PC上,求下列直線的一個方向向量:
(1)PQ;(2)PA.
【解析】　由題意得C(0,2,0),P(2,2,2),A(2,0,0).
(1)因為=(-2,0,-2),且點Q在PC上,所以PQ的一個方向向量為vPQ=(-2,0,-2).
(2)因為=(0,-2,-2),所以PA的一個方向向量為vPA=(0,-2,-2).
【方法總結】　　1.一條直線有無窮多個方向向量,這些方向向量是相互平行的;2.直線 l 的方向向量也是所有與 l 平行的直線的方向向量.這個可由直線方向向量的定義和平行直線的傳遞性推知.
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的邊長為2,三棱柱的高為1,BC,B1C1的中點分別為D,D1,以D為坐標原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.求下列直線的一個方向向量:
(1)AD1;(2)B1A.
【解析】　在等邊△ABC中,AB=2,BD=1,所以AD=,則A(0,,0),B1(-1,0,1),D1(0,0,1).
(1)因為=(0,-,1),所以=(0,-,1).
(2)因為=(1,,-1),所以=(1,,-1).
探究2 平面的法向量
如圖,設兩條直線相交于點O,它們確定平面α,對應的方向向量分別為a和b,P為空間內任意一點.
問題1:點P在平面α內的充要條件是什么
【答案】　存在唯一的有序實數組(x,y),使得=xa+yb.
問題2:若⊥α,試問與向量a和b有什么關系
【答案】　⊥a,⊥b.
問題3:什么是平面α的法向量 是平面α的法向量嗎
【答案】　若直線l與平面α垂直,則直線l的方向向量叫作平面α的法向量.不一定是平面α的法向量.
問題4:如何選取平面的法向量
【答案】　平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量,即只需作一條垂直于平面α的直線,再選取該直線的方向向量即可.
新知生成
1.平面的法向量
如果非零向量n所在直線與平面α垂直,那么稱n為平面α的一個法向量.
給定一點A和一個向量n,那么,過點A且以向量n為法向量的平面是完全確定的.
2.坐標平面的法向量的特征
(1)坐標平面xOy的法向量與z軸平行,故(0,0,z)(z≠0)均可作為平面xOy的法向量,常取(0,0,1).
(2)坐標平面xOz的法向量與y軸平行,故(0,y,0)(y≠0)均可作為平面xOz的法向量,常取(0,1,0).
(3)坐標平面yOz的法向量與x軸平行,故(x,0,0)(x≠0)均可作為平面yOz的法向量,常取(1,0,0).
新知運用
例2　如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.
求:(1)平面ABCD的一個法向量;
(2)平面SAB的一個法向量;
(3)平面SCD的一個法向量.
【解析】　以A為坐標原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,
∴=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA 平面ABS,
∴AD⊥平面SAB,
∴=,0,0是平面SAB的一個法向量.
(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).
設平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
∴n⊥,n⊥,
∴即∴
令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
∴n=(2,-1,1)是平面SCD的一個法向量(答案不唯一).
【方法總結】　　求平面法向量的步驟
(1)設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)選向量:在平面內選取兩個不共線的向量,.
(3)列方程組:由列出方程組.
(4)解方程組
(5)賦非零值:取x,y,z的其中一個為非零值(常取±1).
(6)得結論:得到平面的一個法向量.
已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),試求出平面ABC的一個法向量.
【解析】　∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴=(1,-2,-4),=(2,-4,-3),
設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),
由題意得即
解得
取y=1,則x=2.
故平面ABC的一個法向量為n=(2,1,0).
【隨堂檢測】
1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　).
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
【答案】　A
【解析】　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4).故選A.
2.已知平面α過點A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),則下列各點在平面α內的是(　　).
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,2,0) D.(-2,0,1)
【答案】　A
【解析】　設Q(2,3,3),則=(1,4,1),·n=1×2+4×(-1)+1×2=0,所以點Q在平面α內,故A滿足題意;設R(3,-3,4),則=(2,-2,2),·n=2×2+(-2)×(-1)+2×2=10≠0,所以點R不在平面α內,故B不滿足題意;同理可知C,D不滿足題意.
3.在如圖所示的坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,則下列結論中正確的是(　　).
A.直線DD1的一個方向向量為(0,1,1)
B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)
C.直線AC1的一個方向向量為(0,1,1)
D.直線AC的方向向量與直線B1D1的方向向量平行
【答案】　B
【解析】　因為DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直線DD1的一個方向向量為(0,0,1),所以A錯誤;因為BC1∥AD1,=(0,1,1),所以B正確;同理C錯誤;因為AC⊥B1D1,所以它們的方向向量也垂直,所以D錯誤.
4.平面α經過三點A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),求平面α的一個法向量u.
【解析】　由題意得=(2,1,1),=(3,-1,-1),設平面α的法向量u=(x,y,z),則令z=-1,得x=0,y=1,故平面α的一個法向量u=(0,1,-1).
22.4 課時1 空間直線的方向向量和平面的法向量
【學習目標】
1.理解直線的方向向量和平面的法向量.(數學抽象、直觀想象)
2.會用待定系數法求平面的法向量.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.如何用向量來確定一個點在空間的位置
2.對于平面上的直線,可以用平面向量刻畫其方向.對于空間直線,是否也可用空間向量來刻畫其方向
3.如何用向量來確定一個平面的位置
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)零向量能作為直線的方向向量. (　　)
(2)直線的方向向量都是相等向量. (　　)
(3)直線的方向向量是不唯一的. (　　)
(4)平面的法向量是唯一的. (　　)
2.若A(1,2,3),B(2,1,0)在直線l上,則直線l的一個方向向量是(　　).
A.(1,-1,-3) B.(-1,1,-3)
C.(3,3,3) D.(-3,0,1)
3.已知平面α過點P(0,1,1),其法向量為n=(1,1,2),則下列點不在平面α內的是(　　).
A.(2,1,0) B.(-1,0,2)
C.(2,-1,2) D.(2,3,-1)
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α內的三點,設平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=　　　　.
【合作探究】
探究1 直線的方向向量
問題1:直線的方向向量是唯一的嗎 若不唯一,直線的方向向量之間的關系是怎樣的
問題2:兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角之間有什么關系
問題3:零向量可以是直線的方向向量嗎
新知生成
一般地,如果非零向量v與直線l平行,就稱v為l的方向向量.
已知空間直線l上一個定點A以及這條直線的一個方向向量,就可以確定這條空間直線的位置.
新知運用
例1　如圖所示,在空間直角坐標系中,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,且PB=AB=2,若點Q在PC上,求下列直線的一個方向向量:
(1)PQ;(2)PA.
【方法總結】　　1.一條直線有無窮多個方向向量,這些方向向量是相互平行的;2.直線 l 的方向向量也是所有與 l 平行的直線的方向向量.這個可由直線方向向量的定義和平行直線的傳遞性推知.
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的邊長為2,三棱柱的高為1,BC,B1C1的中點分別為D,D1,以D為坐標原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.求下列直線的一個方向向量:
(1)AD1;(2)B1A.
探究2 平面的法向量
如圖,設兩條直線相交于點O,它們確定平面α,對應的方向向量分別為a和b,P為空間內任意一點.
問題1:點P在平面α內的充要條件是什么
問題2:若⊥α,試問與向量a和b有什么關系
問題3:什么是平面α的法向量 是平面α的法向量嗎
問題4:如何選取平面的法向量
新知生成
1.平面的法向量
如果非零向量n所在直線與平面α垂直,那么稱n為平面α的一個法向量.
給定一點A和一個向量n,那么,過點A且以向量n為法向量的平面是完全確定的.
2.坐標平面的法向量的特征
(1)坐標平面xOy的法向量與z軸平行,故(0,0,z)(z≠0)均可作為平面xOy的法向量,常取(0,0,1).
(2)坐標平面xOz的法向量與y軸平行,故(0,y,0)(y≠0)均可作為平面xOz的法向量,常取(0,1,0).
(3)坐標平面yOz的法向量與x軸平行,故(x,0,0)(x≠0)均可作為平面yOz的法向量,常取(1,0,0).
新知運用
例2　如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.
求:(1)平面ABCD的一個法向量;
(2)平面SAB的一個法向量;
(3)平面SCD的一個法向量.
【方法總結】　　求平面法向量的步驟
(1)設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)選向量:在平面內選取兩個不共線的向量,.
(3)列方程組:由列出方程組.
(4)解方程組
(5)賦非零值:取x,y,z的其中一個為非零值(常取±1).
(6)得結論:得到平面的一個法向量.
已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),試求出平面ABC的一個法向量.
【隨堂檢測】
1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　).
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
2.已知平面α過點A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),則下列各點在平面α內的是(　　).
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,2,0) D.(-2,0,1)
3.在如圖所示的坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,則下列結論中正確的是(　　).
A.直線DD1的一個方向向量為(0,1,1)
B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)
C.直線AC1的一個方向向量為(0,1,1)
D.直線AC的方向向量與直線B1D1的方向向量平行
4.平面α經過三點A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),求平面α的一個法向量u.
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