資源簡介

2.4 課時2 向量與垂直
【學習目標】
1.用直線的方向向量和平面的法向量證明直線與平面的位置關系.(邏輯推理、數學運算)
2.建立立體圖形與空間向量之間的聯系,把立體幾何問題轉化為空間向量問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.若直線與直線垂直,則它們的方向向量滿足什么關系
2.直線與平面垂直的判定定理是什么 如何用向量法證明
3.如果兩個平面垂直,那么它們的非零法向量滿足什么條件
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為0 (　　)
(2)兩個平面垂直,則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直. (　　)
2.若直線l的方向向量為a=(-1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,4),則(　　)
A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l與α斜交
3.若直線l1的方向向量為u1=(1,3,2),直線l2上有兩點A(1,0,1),B(2,-1,2),則兩直線的位置關系是　　　　.
4.若平面α,β的法向量分別為(-1,2,4),(x,-1,-2),且α⊥β,則x的值為　　　　.
【合作探究】
探究1 直線與直線垂直
問題1:證明直線與直線垂直的方法有哪些
問題2:設直線l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量u2=(a2,b2,c2),如何證明直線l1與l2垂直
新知生成
1.射影
過點P作平面α的垂線,則稱垂足P0為點P在平面α內的射影.
注意:如果直線l垂直于平面α,那么l在α上的射影是一個點,就是l與α的交點.如果l與α不垂直,那么l在α上的射影就是一條直線.
2.三垂線(逆)定理
(1)三垂線定理:如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直,那么它和這條斜線也垂直.
(2)三垂線定理的逆定理:如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,那么它和這條斜線在平面內的射影也垂直.
新知運用
例1　如圖,在四棱錐P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.
【方法總結】　　利用向量方法證明線線垂直
(1)坐標法:首先建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,然后求出兩直線方向向量的坐標,再通過數量積的坐標運
算得到數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數乘運算,結合圖形,將兩直線的方向向量用基向量表示,然后根據數量積的運算律證明兩直線的方向向量的數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.證明:BF⊥DE.
探究2 直線與平面垂直
如圖,這是繞直角三角形的一條直角邊OA所在直線旋轉一周形成的圖形.根據圖形回答下列問題.
問題1:圓錐的旋轉軸OA與底面上的任意一條直線是否垂直 為什么
問題2:如何證明直線l與平面α垂直
新知生成
設直線l的方向向量為a=(x1,y1,z1),平面α的法向量為u=(x2,y2,z2),
則l⊥α a∥u a=ku (x1,y1,z1)=k(x2,y2,z2)(k∈R).
新知運用
例2　如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.
方法指導　(1)通過證明⊥,⊥,得到AB1⊥BA1,AB1⊥BD;(2)證明與平面A1BD的法向量平行.
【方法總結】　　坐標法證明線面垂直有兩種思路
(1)建立空間直角坐標系,將直線的方向向量用坐標表示,找出平面內兩條相交直線,并用坐標表示它們的方向向量,分別計算兩組向量的數量積,得到數量積為0.
(2)建立空間直角坐標系,將直線的方向向量用坐標表示,求出平面的法向量,判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行.
使用坐標法證明時,如果平面的法向量很明顯,那么可以選用思路(2),否則常常選用思路(1)解決.
如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1B,DC的中點,求證:AE⊥平面A1D1F.
探究3 平面與平面垂直
問題1:向量a⊥α,a∥β,則平面α,β有怎樣的位置關系
問題2:如何利用向量證明空間中平面與平面垂直
新知生成
若平面α的法向量為u=(a1,b1,c1),平面β的法向量為v=(a2,b2,c2),則α⊥β u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知運用
例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
方法指導　要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.
三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點.求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【隨堂檢測】
1.若直線l1,l2的方向向量分別為m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),則這兩條直線(　　).
A.平行 B.垂直
C.異面垂直 D.垂直相交
2.已知直線l的一個方向向量a=(1,2,m),平面α的一個法向量n=(-1,-2,3),l⊥α,則m=(　　).
A.-3 B.-1 C.0 D.1
3.平面α,β的法向量分別為m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,則k=　　　　.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,證明:平面B1ED⊥平面B1BD.
22.4 課時2 向量與垂直
【學習目標】
1.用直線的方向向量和平面的法向量證明直線與平面的位置關系.(邏輯推理、數學運算)
2.建立立體圖形與空間向量之間的聯系,把立體幾何問題轉化為空間向量問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.若直線與直線垂直,則它們的方向向量滿足什么關系
【答案】　它們的方向向量垂直.
2.直線與平面垂直的判定定理是什么 如何用向量法證明
【答案】　如果一條直線垂直于平面內的兩條相交直線,那么這條直線與該平面垂直,這就是直線與平面垂直的判定定理.利用平面向量的基本定理和線面垂直的定義證明.
3.如果兩個平面垂直,那么它們的非零法向量滿足什么條件
【答案】　它們的法向量垂直,即法向量的數量積為0.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為0 (　　)
(2)兩個平面垂直,則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×
2.若直線l的方向向量為a=(-1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,4),則(　　)
A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l與α斜交
【答案】　B
【解析】　∵a=(-1,0,2),n=(-2,0,4),∴n=2a,即a∥n,∴l⊥α.
3.若直線l1的方向向量為u1=(1,3,2),直線l2上有兩點A(1,0,1),B(2,-1,2),則兩直線的位置關系是　　　　.
【答案】　l1⊥l2
【解析】　∵=(1,-1,1),∴u1·=1×1-3×1+2×1=0,∴l1⊥l2.
4.若平面α,β的法向量分別為(-1,2,4),(x,-1,-2),且α⊥β,則x的值為　　　　.
【答案】　-10
【解析】　∵α⊥β,∴平面α和β的法向量的數量積為0,即-x-2-8=0,解得x=-10.
【合作探究】
探究1 直線與直線垂直
問題1:證明直線與直線垂直的方法有哪些
【答案】　證明兩直線所成的角為90°或證明一條直線與另一條直線所在的平面垂直或利用三垂線定理.
問題2:設直線l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量u2=(a2,b2,c2),如何證明直線l1與l2垂直
【答案】　l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知生成
1.射影
過點P作平面α的垂線,則稱垂足P0為點P在平面α內的射影.
注意:如果直線l垂直于平面α,那么l在α上的射影是一個點,就是l與α的交點.如果l與α不垂直,那么l在α上的射影就是一條直線.
2.三垂線(逆)定理
(1)三垂線定理:如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直,那么它和這條斜線也垂直.
(2)三垂線定理的逆定理:如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,那么它和這條斜線在平面內的射影也垂直.
新知運用
例1　如圖,在四棱錐P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.
【解析】　(法一)以A為原點,AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),F0,,.
因為點E在邊BC上,設E(m,1,0),
所以=(m,1,-1),=0,,,
因為·=0,所以⊥,即PE⊥AF.
由m的任意性可知,無論點E在邊BC上何處,總有PE⊥AF.
(法二)因為點E在邊BC上,可設=λ,
所以·=(++)·(+)
=(++λ)·(+)
=(·+·+·+·+λ·+λ·)
=×(0-1+1+0+0+0)=0,
所以⊥,即PE⊥AF.
由λ的任意性可知,無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.
【方法總結】　　利用向量方法證明線線垂直
(1)坐標法:首先建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,然后求出兩直線方向向量的坐標,再通過數量積的坐標運
算得到數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數乘運算,結合圖形,將兩直線的方向向量用基向量表示,然后根據數量積的運算律證明兩直線的方向向量的數量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.證明:BF⊥DE.
【解析】　因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以BB1⊥底面ABC,又AB 底面ABC,所以BB1⊥AB.
因為A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,
又BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BCC1B1,
所以AB⊥平面BCC1B1,所以BA,BC,BB1兩兩垂直.
以B為坐標原點,分別以BA,BC,BB1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1).
由題設D(a,0,2)(0≤a≤2),
因為=(0,2,1),=(1-a,1,-2),所以·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,
所以BF⊥DE.
探究2 直線與平面垂直
如圖,這是繞直角三角形的一條直角邊OA所在直線旋轉一周形成的圖形.根據圖形回答下列問題.
問題1:圓錐的旋轉軸OA與底面上的任意一條直線是否垂直 為什么
【答案】　垂直,因為OA⊥底面,所以OA垂直底面上的任意一條直線.
問題2:如何證明直線l與平面α垂直
【答案】　分別求直線l的方向向量v=(x,y,z),平面α的法向量n=(a,b,c),確定λ的值,使n=λv,由此說明n∥v,即l⊥α.
新知生成
設直線l的方向向量為a=(x1,y1,z1),平面α的法向量為u=(x2,y2,z2),
則l⊥α a∥u a=ku (x1,y1,z1)=k(x2,y2,z2)(k∈R).
新知運用
例2　如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.
方法指導　(1)通過證明⊥,⊥,得到AB1⊥BA1,AB1⊥BD;(2)證明與平面A1BD的法向量平行.
【解析】　(法一)如圖所示,取BC的中點O,連接AO.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點O1,以點O為原點,以,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),所以=(1,2,-),=(-1,2,),=(-2,1,0),
故·=1×(-1)+2×2+(-)×=0,
·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0,
所以⊥,⊥,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因為BA1∩BD=B,且BA1,BD 平面A1BD,
所以AB1⊥平面A1BD.
(法二)建立同法一的空間直角坐標系.
設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則即
令x=1,得平面A1BD的一個法向量為n=(1,2,-).
又=(1,2,-),所以n=,即∥n,
所以AB1⊥平面A1BD.
【方法總結】　　坐標法證明線面垂直有兩種思路
(1)建立空間直角坐標系,將直線的方向向量用坐標表示,找出平面內兩條相交直線,并用坐標表示它們的方向向量,分別計算兩組向量的數量積,得到數量積為0.
(2)建立空間直角坐標系,將直線的方向向量用坐標表示,求出平面的法向量,判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行.
使用坐標法證明時,如果平面的法向量很明顯,那么可以選用思路(2),否則常常選用思路(1)解決.
如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1B,DC的中點,求證:AE⊥平面A1D1F.
【解析】　由題意知DA,DC,DD1兩兩垂直,以D為原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,設正方體的棱長為1,
則A(1,0,0),E1,1,,A1(1,0,1),D1(0,0,1),F0,,0,
∴=0,1,,=(-1,0,0),=0,,-1.
設平面A1D1F的法向量為n=(x,y,z),
則n·=0,n·=0,
即解得
令z=1,則n=(0,2,1).
又=0,1,,∴n=2,
∴n∥,即AE⊥平面A1D1F.
探究3 平面與平面垂直
問題1:向量a⊥α,a∥β,則平面α,β有怎樣的位置關系
【答案】　α⊥β.
問題2:如何利用向量證明空間中平面與平面垂直
【答案】　利用兩平面垂直的充要條件,即證明兩平面的法向量垂直.
新知生成
若平面α的法向量為u=(a1,b1,c1),平面β的法向量為v=(a2,b2,c2),則α⊥β u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知運用
例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
方法指導　要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.
【解析】　由題意得AB,BC,BB1兩兩垂直.以B為原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,,
∴=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=-2,0,.
設平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),
則
令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).
設平面AEC1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),
則
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4).
∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點.求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【解析】　如圖,以A為坐標原點,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).
因為D為BC的中點,
所以點D的坐標為(1,1,0),
所以=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,),
故·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,
所以⊥,⊥,即BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AD∩AA1=A,AD,AA1 平面ADA1,所以BC⊥平面ADA1,而BC 平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【隨堂檢測】
1.若直線l1,l2的方向向量分別為m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),則這兩條直線(　　).
A.平行 B.垂直
C.異面垂直 D.垂直相交
【答案】　B
【解析】　因為m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.
2.已知直線l的一個方向向量a=(1,2,m),平面α的一個法向量n=(-1,-2,3),l⊥α,則m=(　　).
A.-3 B.-1 C.0 D.1
【答案】　A
【解析】　∵l⊥α,∴a∥n,∴m=-3.
3.平面α,β的法向量分別為m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,則k=　　　　.
【答案】　-5
【解析】　由α⊥β知m·n=0,∴-2-8-2k=0,解得k=-5.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,證明:平面B1ED⊥平面B1BD.
【解析】　以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),B1(1,1,1),E0,1,,故=(1,1,1),=0,1,.
設平面B1DE的法向量為n1=(x,y,z),則x+y+z=0且y+z=0,令z=-2,則y=1,x=1,
∴n1=(1,1,-2).
同理求得平面B1BD的一個法向量為n2=(1,-1,0),
由n1·n2=0,知n1⊥n2,
∴平面B1ED⊥平面B1BD.
2

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