資源簡介

2.4 課時3 向量與平行
【學習目標】
1.用直線的方向向量和平面的法向量證明線面的平行關系.(邏輯推理、數學運算)
2.建立立體圖形與空間向量之間的聯系,把立體幾何問題轉化為空間向量問題 .(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一
【答案】　不唯一,直線的方向向量(平面的法向量)有無數個,它們是共線向量.
2.直線與直線平行,它們的方向向量是什么關系
【答案】　直線與直線平行,它們的方向向量平行.
3.若直線的方向向量與平面的法向量垂直,直線與平面的位置關系如何
【答案】　直線與平面平行或直線在平面內.
4.若兩平面的法向量平行,這兩平面的位置關系是什么
【答案】　兩平面平行或重合.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量n1,n2為平面α的法向量,則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行. (　　)
(2)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.
(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　
2.已知直線l的方向向量為a,平面α內兩共點向量,,則下列關系中能表示l∥α的是(　　).
A.a= B.a=k
C.a=p+λ D.以上均不能
【答案】　D
【解析】　選項A,B,C均表示l∥α或l α.
3.若平面α,β的一個法向量分別為m=-,,-1,n=,-1,3,則(　　).
A.α∥β B.α⊥β
C.α與β相交但不垂直 D.α∥β或α與β重合
【答案】　D
【解析】　∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α與β重合.
4.設u是平面α的法向量,a是直線l的方向向量,根據下列條件判斷α與l的位置關系:
(1)u=(2,2,-1),a=(-6,8,4);
(2)u=(2,-3,0),a=(8,-12,0);
(3)u=(1,4,5),a=(-2,4,0).
【解析】　(1)因為u=(2,2,-1),a=(-6,8,4),
所以u·a=-12+16-4=0,
所以u⊥a,所以l α或l∥α.
(2)因為u=(2,-3,0),a=(8,-12,0),
所以u=a,所以u∥a,所以l⊥α.
(3)因為u=(1,4,5),a=(-2,4,0),
所以u與a不共線也不垂直,所以l與α斜交.
【合作探究】
探究1 直線與直線平行
雙杠是男子競技體操項目之一.它是由金屬的架子支撐兩條平行的木頭、塑膠或合成金屬制成的杠.一套典型的雙杠動作包括在支撐位置、倒立位置和掛臂位置的轉換.雙杠于1896年被列為奧運會比賽項目.
問題1:如何利用向量的方法證明圖中兩杠l1∥l2
【答案】　證明兩直線l1,l2的方向向量平行即可.
問題2:如何證明兩個向量a,b平行
【答案】　要證a∥b,只需證明a=λb(λ∈R).
問題3:兩條直線平行,它們的方向向量平行嗎
【答案】　平行.
新知生成
直線與直線平行
設兩條不重合的直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),則l∥m a∥b (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知運用
例1　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,BB1的中點.求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.
方法指導　證明四邊形AEC1F是平行四邊形,即證明四邊形的對邊互相平行,進而轉化為證明直線的方向向量平行.
【解析】　以D為坐標原點,分別以,,為正交基底建立空間直角坐標系(圖略),不妨設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),F1,1,,
∴=-1,0,,=-1,0,,=0,1,,=0,1,,
∴=,=,∴∥,∥.
又∵F AE,F EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF,
∴四邊形AEC1F是平行四邊形.
【方法總結】　　1.兩直線平行 兩直線的方向向量共線.
2.兩直線的方向向量共線 兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時,必需指出兩直線不重合.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對角線B1D1,A1B上的點,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.
【解析】　如圖所示,以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz.
設DA=a,DC=b,DD1=c,則A(a,0,0),C1(0,b,c),Ea,b,c,Fa,,c,∴=-,,,=(-a,b,c),∴=.
又FE與AC1不共線,∴EF∥AC1.
探究2 直線與平面平行
問題1:若直線l的方向向量為u=(-3,4,2),平面α的一個法向量為v=(2,2,-1),則l與α的位置關系是什么
【答案】　∵u·v=(-3,4,2)·(2,2,-1)=-6+8-2=0,∴u⊥v,∴l∥α或l α.
問題2:如何利用向量證明空間中直線與平面平行
【答案】　直線與平面平行的充要條件是直線在平面外且直線的方向向量與平面的法向量垂直.
新知生成
設直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α的法向量為u=(a2,b2,c2),l α,則l∥α a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知運用
例2　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.
方法指導　可以證明與平面A1BD的法向量垂直;可以在平面A1BD內找一向量與共線;也可以證明能用平面A1BD中的兩個不共線向量線性表示.
【解析】　(法一)如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M0,1,,N,1,1,于是=(1,0,1),=(1,1,0),=,0,.
設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則
即取x=1,則y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一個法向量為n=(1,-1,-1).
又·n=,0,·(1,-1,-1)=0,
∴⊥n,又MN 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
(法二)∵=-=-=(-)=,∴∥,∴MN∥DA1.
∵MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
(法三)∵=-=-=-=(+)-(+)=-.
即可用與線性表示,∴與,是共面向量,又MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
【方法總結】　　向量法證明線面平行的三個思路
(1)設直線l的方向向量是a,平面α的法向量是u,則要證明l∥α,只需證明a⊥u,即a·u=0,且l α.
(2)根據線面平行的判定定理可知,要證明一條直線和一個平面平行,在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.
(3)根據共面向量定理可知,如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量,那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行,因此要證明一條直線和一個平面平行,只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示.
如圖所示,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點,求證:AB∥平面DEG.
【解析】　∵EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又∵AE⊥EB,∴EB,EF,EA兩兩垂直.
以E為坐標原點,EB,EF,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).
設平面DEG的法向量為n=(x,y,z),
則即
令y=1,得z=-1,x=-1,
則n=(-1,1,-1),
∴·n=-2+0+2=0,即⊥n.
∵AB 平面DEG,
∴AB∥平面DEG.
探究3 平面與平面平行
問題1:如何利用向量證明空間中平面與平面平行
【答案】　只需證明兩平面的法向量平行.
問題2:證明平面與平面平行的步驟是什么
【答案】　(1)求出兩平面α,β的法向量n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2);
(2)確定實數λ的值,使得n1=λn2;
(3)由此證明n1∥n2,又α與β不重合,所以α∥β.
新知生成
設不重合的兩個平面α,β的法向量分別為u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),則α∥β u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知運用
例3　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
求證:平面A1BD∥平面CD1B1.
方法指導　按照兩平面平行的條件,要證明平面A1BD∥平面CD1B1,只需證明兩個平面的法向量平行.
【解析】　以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(0,1,-1).
設平面A1BD的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),
則
即
令z1=1,得x1=-1,y1=1,
∴平面A1BD的一個法向量為n1=(-1,1,1).
設平面CD1B1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),
則即
令y2=1,得x2=-1,z2=1,
∴n2=(-1,1,1),∴n1=n2,即n1∥n2,
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
【方法總結】　　證明兩平面平行時,分別找(或求)出兩個平面的法向量u,v,驗證u∥v成立.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.
【解析】　(法一)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,,4,E0,,4,F(1,3,4).
∴=1,,0,=1,,0,=(-1,0,4),=(-1,0,4),
∴=,=,
∴MN∥EF,AM∥BF,
∵MN,AM 平面EFBD,EF,BF 平面EFBD,
∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.
又AM,MN 平面AMN,AM∩MN=M,
∴平面AMN∥平面EFBD.
(法二)由法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N2,,4,D(0,0,0),E0,,4,F(1,3,4),則=(-1,0,4),=0,,4,=0,,4,=(1,3,4).
設平面AMN、平面EFBD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則即
令x1=1,得z1=,y1=-.
又即
令y2=-1,得z2=,x2=,
∴n1=1,-,,n2=,-1,,
∴n1=n2,即n1∥n2,∴平面AMN∥平面EFBD.
【隨堂檢測】
1.(多選題)已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),則下列說法正確的是(　　).
A.n1∥n2 α∥β B.n1⊥n2 α⊥β
C.v∥n1 l∥α D.v⊥n1 l⊥α
【答案】　AB
【解析】　若n1∥n2,因為平面α與平面β不重合,所以α∥β,若α∥β,則n1,n2共線,即n1∥n2,故選項A正確;若n1⊥n2,則平面α與平面β所成的角為直角,故α⊥β,若α⊥β,則n1⊥n2,故選項B正確;若v∥n1,則l⊥α,故選項C錯誤;若v⊥n1,則l∥α或l α,故選項D錯誤.
2.兩個不重合的平面的法向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則這兩個平面的位置關系是(　　).
A.平行 B.相交不垂直
C.垂直 D.以上都不對
【答案】　A
【解析】　∵v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),∴v2=-2v1,∴v1∥v2,∴兩個平面平行.
3.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則下列選項中,能使l∥α成立的是(　　).
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
【答案】　AD
【解析】　若l∥α,則a·n=0.A中,a·n=0;B中,a·n=1+5=6;C中,a·n=-1;D中,a·n=-3+3=0.故選AD.
4.在長方體OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,點P在棱AA1上,且AP=2PA1,點S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分別是棱O1B1,AE的中點.求證:PQ∥RS.
【解析】　如圖,以O為坐標原點,OA,OB,OO1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0).
易求得P3,0,,Q(0,2,2),R(3,2,0),S0,4,,
于是=-3,2,,=-3,2,,
∴=,∴∥.∵R PQ,∴PQ∥RS.
22.4 課時3 向量與平行
【學習目標】
1.用直線的方向向量和平面的法向量證明線面的平行關系.(邏輯推理、數學運算)
2.建立立體圖形與空間向量之間的聯系,把立體幾何問題轉化為空間向量問題 .(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一
2.直線與直線平行,它們的方向向量是什么關系
3.若直線的方向向量與平面的法向量垂直,直線與平面的位置關系如何
4.若兩平面的法向量平行,這兩平面的位置關系是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量n1,n2為平面α的法向量,則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行. (　　)
(2)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.
(　　)
2.已知直線l的方向向量為a,平面α內兩共點向量,,則下列關系中能表示l∥α的是(　　).
A.a= B.a=k
C.a=p+λ D.以上均不能
3.若平面α,β的一個法向量分別為m=-,,-1,n=,-1,3,則(　　).
A.α∥β B.α⊥β
C.α與β相交但不垂直 D.α∥β或α與β重合
4.設u是平面α的法向量,a是直線l的方向向量,根據下列條件判斷α與l的位置關系:
(1)u=(2,2,-1),a=(-6,8,4);
(2)u=(2,-3,0),a=(8,-12,0);
(3)u=(1,4,5),a=(-2,4,0).
【合作探究】
探究1 直線與直線平行
雙杠是男子競技體操項目之一.它是由金屬的架子支撐兩條平行的木頭、塑膠或合成金屬制成的杠.一套典型的雙杠動作包括在支撐位置、倒立位置和掛臂位置的轉換.雙杠于1896年被列為奧運會比賽項目.
問題1:如何利用向量的方法證明圖中兩杠l1∥l2
問題2:如何證明兩個向量a,b平行
問題3:兩條直線平行,它們的方向向量平行嗎
新知生成
直線與直線平行
設兩條不重合的直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),則l∥m a∥b (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知運用
例1　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,BB1的中點.求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.
方法指導　證明四邊形AEC1F是平行四邊形,即證明四邊形的對邊互相平行,進而轉化為證明直線的方向向量平行.
【方法總結】　　1.兩直線平行 兩直線的方向向量共線.
2.兩直線的方向向量共線 兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時,必需指出兩直線不重合.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對角線B1D1,A1B上的點,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.
探究2 直線與平面平行
問題1:若直線l的方向向量為u=(-3,4,2),平面α的一個法向量為v=(2,2,-1),則l與α的位置關系是什么
問題2:如何利用向量證明空間中直線與平面平行
新知生成
設直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α的法向量為u=(a2,b2,c2),l α,則l∥α a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知運用
例2　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.
方法指導　可以證明與平面A1BD的法向量垂直;可以在平面A1BD內找一向量與共線;也可以證明能用平面A1BD中的兩個不共線向量線性表示.
【方法總結】　　向量法證明線面平行的三個思路
(1)設直線l的方向向量是a,平面α的法向量是u,則要證明l∥α,只需證明a⊥u,即a·u=0,且l α.
(2)根據線面平行的判定定理可知,要證明一條直線和一個平面平行,在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.
(3)根據共面向量定理可知,如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量,那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行,因此要證明一條直線和一個平面平行,只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示.
如圖所示,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點,求證:AB∥平面DEG.
探究3 平面與平面平行
問題1:如何利用向量證明空間中平面與平面平行
問題2:證明平面與平面平行的步驟是什么
新知生成
設不重合的兩個平面α,β的法向量分別為u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),則α∥β u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知運用
例3　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
求證:平面A1BD∥平面CD1B1.
方法指導　按照兩平面平行的條件,要證明平面A1BD∥平面CD1B1,只需證明兩個平面的法向量平行.
【方法總結】　　證明兩平面平行時,分別找(或求)出兩個平面的法向量u,v,驗證u∥v成立.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.
【隨堂檢測】
1.(多選題)已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),則下列說法正確的是(　　).
A.n1∥n2 α∥β B.n1⊥n2 α⊥β
C.v∥n1 l∥α D.v⊥n1 l⊥α
2.兩個不重合的平面的法向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則這兩個平面的位置關系是(　　).
A.平行 B.相交不垂直
C.垂直 D.以上都不對
3.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則下列選項中,能使l∥α成立的是(　　).
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
4.在長方體OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,點P在棱AA1上,且AP=2PA1,點S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分別是棱O1B1,AE的中點.求證:PQ∥RS.
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