資源簡介

2.4 課時4 向量與夾角
【學習目標】
1.理解異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面所成的角的定義.(直觀想象)
2.能夠用向量法求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.(數學運算)
3.理解空間兩個向量所成的角與空間角的區別與聯系.(邏輯推理)
【自主預習】
1.如何求兩向量a與b的夾角θ
2.如何用向量方法解決兩條異面直線之間的夾角問題
3.如何求直線與平面所成的角
4.求平面與平面所成的角有哪些方法
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等. (　　 )
(2)直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角. (　　 )
(3)二面角的大小就是該二面角兩個面的法向量的夾角. (　　 )
(4)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為45°. (　　 )
2.已知直線l的一個方向向量為a=(1,1,0),平面α的一個法向量為u=(1,2,-2),則直線l與平面α所成角的余弦值為(　　 ).
A. B.- C.± D.
3.(多選題)已知在二面角α-l-β中,平面α的一個法向量為n1=,-,-,平面β的一個法向量為n2=0,,,則二面角α-l-β的大小可能為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.
(1)求證:D1F⊥AE.
(2)求直線EF和CB1所成角的大小.
【合作探究】
探究1 直線與直線的夾角
如圖,這是一個正方體的平面展開圖.
將該展開圖還原成正方體,回答下列問題.
問題1:MN與EF是異面直線嗎 若是,則求出它們的夾角;若不是,請說明理由.
問題2:根據立體幾何知識,我們怎樣求兩條異面直線a,b的夾角 異面直線所成的角的取值范圍是什么
問題3:設直線a,b的夾角為θ,方向向量分別為a,b,那么夾角θ與方向向量的夾角之間的關系是怎樣的 對應的余弦值表達式是什么
新知生成
如圖,設兩條異面直線a與b所成的角為θ0<θ≤,它們的方向向量分別是v1,v2,設v1與v2的夾角為φ.
　　　　①　　　　　　　　　　　 ②
根據異面直線所成角的定義,可知θ與φ的關系是θ=
對于上述兩種情況,均有cos θ=|cos φ|=|cos v1,v2 |=.
新知運用
例1　如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.
方法指導　建立空間直角坐標系,寫出點A1,B,A,O1的坐標,求向量,的坐標,計算cos<,>的大小,并轉化為A1B與AO1的夾角的余弦值.
【方法總結】　　1.幾何法求異面直線的夾角時,需要通過作平行線將異面直線的夾角轉化為平面角,再利用解三角形來求解,過程相當復雜;用向量法求異面直線的夾角,可以避免復雜的幾何作圖和論證過程,只需對相應向量進行運算即可.
2.由于兩異面直線的夾角θ的取值范圍是0,,而兩向量的夾角α的取值范圍是[0,π],故應有cos θ=|cos α|,求解時要特別注意.
如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,點D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,求BD1與AF1所成角的余弦值.
探究2 直線與平面所成的角
3D立體打印技術出現在20世紀90年代中期,它與普通打印工作原理基本相同.
打印機內裝有液體或粉末等“打印材料”,與電腦連接后,通過電腦控制把“打印材料”一層層疊加起來,最終把計算機上的藍圖變成實物,這一打印技術稱為3D立體打印技術.如圖所示,這是3D打印的圓柱體.
問題1:將它抽象成如圖所示的圓柱體,設AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點,且AB=BC=2,∠CBD=45°,如何求直線BD與平面ACD所成角的大小
問題2:用向量法如何求直線BD與平面ACD所成的角的大小
問題3:直線和平面所成的角θ與直線方向向量u和平面法向量n所在直線的夾角有什么關系
新知生成
1.直線與平面所成的角
如圖,當直線l與平面α相交且不垂直時,設它們所成的角為θ,v是直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,v與n的夾角為φ,那么θ與φ有如下關系:
θ=
　?、佟　　　　　　　?②
當l∥α或l α時,θ=0,φ=;當l⊥α時,θ=,φ=0或π.
對于上述情況,均有sin θ=|cos φ|=|cos v,n |=.
直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.
2.直線與平面所成的角的范圍為0,.
新知運用
例2　如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分別為C1C,BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.
【方法總結】　　若直線l與平面α的夾角為θ,利用法向量計算θ的步驟如下:
如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N為AB上一點,AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.
(1)證明:CM⊥SN.
(2)求SN與平面CMN所成角的大小.
探究3 兩個平面所成的角
衛星飛行的水平速度叫作第一宇宙速度,即環繞速度.衛星只要獲得這一水平方向的速度后,不需要再加動力就可以環繞地球飛行.這時衛星的飛行軌跡叫作衛星軌道.如圖所示,這是標注衛星軌道參數的衛星軌道圖,衛星軌道參數是用來描述在太空中衛星運行的位置、形狀和取向的各種參數.
問題1:設衛星軌道面與赤道面分別為α,β,其法向量分別是n1,n2,平面α與平面β所成的角為θ,則角θ與向量的夾角之間有什么關系 它們的余弦值滿足什么等式
問題2:兩個平面所成的角與兩個平面的法向量所成的夾角有何關系
問題3:兩個平面所成的角的范圍與二面角的范圍有什么區別
新知生成
1.二面角
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形為二面角.二面角的大小可用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度,其取值范圍一般約定為[0,π].
2.兩個平面所成的角
兩個平面相交會形成四個二面角,一般規定較小的二面角為兩個平面所成的角,由此可知兩個平面所成角的取值范圍為0,.
3.兩個平面所成的角的計算
如圖,設兩個平面α1和α2所成的角為θ,平面α1,α2的法向量分別為n1和n2,記=φ,如圖,則θ與φ有如下關系:
θ=
　　　?、佟　　　　　　　　　、?br/>對于上述兩種情況,均有cos θ=|cos φ|=|cos n1,n2 |=.
新知運用
例3　 在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中點,求二面角E-AC-D的平面角的大小.
方法指導　有兩種思路,思路一:根據二面角的定義找出平面EAC與平面ABCD的平面角,再求其夾角;思路二:建立空間直角坐標系,求平面的法向量,利用法向量的夾角與平面所成的角之間的關系求解.
【方法總結】　　利用向量法求二面角的步驟:
(1)建立空間直角坐標系;
(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;
(3)求兩個法向量的夾角;
(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角;
(5)確定二面角的大小.
如圖,該幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的,G是的中點.
(1)設P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的平面角的大小.
【隨堂檢測】
1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　).
A. B.
C. D.
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　).
A. B. C. D.
3.已知向量m,n分別是直線l的方向向量、平面α的法向量,若cos=-,則l與α所成的角為　　　　.
4.如圖,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=SD=2,BC=1,∠SDC=120°,求二面角B-AS-D的平面角的余弦值.
22.4 課時4 向量與夾角
【學習目標】
1.理解異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面所成的角的定義.(直觀想象)
2.能夠用向量法求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.(數學運算)
3.理解空間兩個向量所成的角與空間角的區別與聯系.(邏輯推理)
【自主預習】
1.如何求兩向量a與b的夾角θ
【答案】　兩向量a與b的夾角可利用公式cos θ=求解.
2.如何用向量方法解決兩條異面直線之間的夾角問題
【答案】　兩條異面直線所成的角,可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角.
3.如何求直線與平面所成的角
【答案】　找(作)出直線與平面所成的角,解直角三角形;也可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角求解.
4.求平面與平面所成的角有哪些方法
【答案】　(1)找(作)出兩平面所成的角,解三角形求解;(2)可以轉化為兩平面的法向量的夾角求解.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等. (　　 )
(2)直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角. (　　 )
(3)二面角的大小就是該二面角兩個面的法向量的夾角. (　　 )
(4)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為45°. (　　 )
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知直線l的一個方向向量為a=(1,1,0),平面α的一個法向量為u=(1,2,-2),則直線l與平面α所成角的余弦值為(　　 ).
A. B.- C.± D.
【答案】　A
【解析】　因為直線l的一個方向向量為a=(1,1,0),平面α的一個法向量為u=(1,2,-2),所以cos===,
則直線l與平面α所成角θ的正弦值sin θ=|cos|=,
故余弦值cos θ==.
3.(多選題)已知在二面角α-l-β中,平面α的一個法向量為n1=,-,-,平面β的一個法向量為n2=0,,,則二面角α-l-β的大小可能為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】　AD
【解析】　設所求二面角的大小為θ,
若θ為銳二面角,則cos θ==,解得θ=30°;
若θ為鈍二面角,則cos θ=-=-,解得θ=150°.
綜上所述,二面角α-l-β的大小為30°或150°.
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.
(1)求證:D1F⊥AE.
(2)求直線EF和CB1所成角的大小.
【解析】　(1)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,不妨設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,
則A(2,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),
∴=(0,1,-2),=(0,2,1),
∴·=1×2-2×1=0,
∴D1F⊥AE.
(2)∵=(-2,-1,-1),=(2,0,2),
∴cos<,>===-,
∴直線EF和CB1所成角的大小為.
【合作探究】
探究1 直線與直線的夾角
如圖,這是一個正方體的平面展開圖.
將該展開圖還原成正方體,回答下列問題.
問題1:MN與EF是異面直線嗎 若是,則求出它們的夾角;若不是,請說明理由.
【答案】　將展開圖折成正方體,如圖所示,EF與MN是異面直線,它們的夾角為60°.
問題2:根據立體幾何知識,我們怎樣求兩條異面直線a,b的夾角 異面直線所成的角的取值范圍是什么
【答案】　經過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,則把a'與b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).取值范圍是(0°,90°].
問題3:設直線a,b的夾角為θ,方向向量分別為a,b,那么夾角θ與方向向量的夾角之間的關系是怎樣的 對應的余弦值表達式是什么
【答案】　當0°≤≤90°時,θ=;當90°<≤180°時,θ=180°-.余弦值表達式為cos θ=|cos|.
新知生成
如圖,設兩條異面直線a與b所成的角為θ0<θ≤,它們的方向向量分別是v1,v2,設v1與v2的夾角為φ.
　　　?、佟　　　　　　　　　　?②
根據異面直線所成角的定義,可知θ與φ的關系是θ=
對于上述兩種情況,均有cos θ=|cos φ|=|cos v1,v2 |=.
新知運用
例1　如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.
方法指導　建立空間直角坐標系,寫出點A1,B,A,O1的坐標,求向量,的坐標,計算cos<,>的大小,并轉化為A1B與AO1的夾角的余弦值.
【解析】　建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),
∴=(-,1,-),=(,-1,-).
∴|cos<,>|=
==.
∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.
【方法總結】　　1.幾何法求異面直線的夾角時,需要通過作平行線將異面直線的夾角轉化為平面角,再利用解三角形來求解,過程相當復雜;用向量法求異面直線的夾角,可以避免復雜的幾何作圖和論證過程,只需對相應向量進行運算即可.
2.由于兩異面直線的夾角θ的取值范圍是0,,而兩向量的夾角α的取值范圍是[0,π],故應有cos θ=|cos α|,求解時要特別注意.
如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,點D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,求BD1與AF1所成角的余弦值.
【解析】　如圖所示,以C為原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C-xyz,設CB=CA=CC1=1,則A(1,0,0),B(0,1,0),D1,,1,F1,0,1,故=-,0,1,=,-,1,
∴||=,||=,
則cos<,>==,
∴BD1與AF1所成角的余弦值為.
探究2 直線與平面所成的角
3D立體打印技術出現在20世紀90年代中期,它與普通打印工作原理基本相同.
打印機內裝有液體或粉末等“打印材料”,與電腦連接后,通過電腦控制把“打印材料”一層層疊加起來,最終把計算機上的藍圖變成實物,這一打印技術稱為3D立體打印技術.如圖所示,這是3D打印的圓柱體.
問題1:將它抽象成如圖所示的圓柱體,設AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點,且AB=BC=2,∠CBD=45°,如何求直線BD與平面ACD所成角的大小
【答案】　如圖,取AC的中點E,連接BE,DE.根據空間垂直的判定和性質可知∠BDE即BD與平面ACD所成的角,然后解三角形可得BD與平面ACD所成的角為30°.
問題2:用向量法如何求直線BD與平面ACD所成的角的大小
【答案】　可以以點B為原點建立空間直角坐標系,求出平面ACD的法向量n,向量u=,然后代入公式sin θ=|cos|=求解.
問題3:直線和平面所成的角θ與直線方向向量u和平面法向量n所在直線的夾角有什么關系
【答案】　直線方向向量和平面法向量所在直線的夾角α與直線和平面所成的角θ互余,即θ=-α.因此sin θ=cos α=.
新知生成
1.直線與平面所成的角
如圖,當直線l與平面α相交且不垂直時,設它們所成的角為θ,v是直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,v與n的夾角為φ,那么θ與φ有如下關系:
θ=
　?、佟　　　　　　　?②
當l∥α或l α時,θ=0,φ=;當l⊥α時,θ=,φ=0或π.
對于上述情況,均有sin θ=|cos φ|=|cos v,n |=.
直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.
2.直線與平面所成的角的范圍為0,.
新知運用
例2　如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分別為C1C,BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.
【解析】　以A坐標為原點,AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),
所以=(2,0,-2),=(0,2,1),=(1,1,0).
設平面AEF的法向量為n=(a,b,c),
則即
令a=1,則b=-1,c=2,可得平面AEF的一個法向量為n=(1,-1,2).
設A1B與平面AEF所成的角為θ,
則sin θ=|cos|==,
即A1B與平面AEF所成角的正弦值為.
【方法總結】　　若直線l與平面α的夾角為θ,利用法向量計算θ的步驟如下:
如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N為AB上一點,AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.
(1)證明:CM⊥SN.
(2)求SN與平面CMN所成角的大小.
【解析】　設PA=1,以A為原點,射線AB,AC,AP分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
又AN=AB,M,S分別為PB,BC的中點,
∴N,0,0,M1,0,,S1,,0,
(1)由題意得,=1,-1,,=-,-,0,
故·=1,-1,·-,-,0=0,
∴CM⊥SN.
(2)由題意得=-,1,0.
設平面CMN的法向量為a=(x,y,z),∵·a=0,·a=0,
∴∴
取y=1,得a=(2,1,-2).
∵cos==-,∴=.
∴SN與平面CMN所成的角為-=.
探究3 兩個平面所成的角
衛星飛行的水平速度叫作第一宇宙速度,即環繞速度.衛星只要獲得這一水平方向的速度后,不需要再加動力就可以環繞地球飛行.這時衛星的飛行軌跡叫作衛星軌道.如圖所示,這是標注衛星軌道參數的衛星軌道圖,衛星軌道參數是用來描述在太空中衛星運行的位置、形狀和取向的各種參數.
問題1:設衛星軌道面與赤道面分別為α,β,其法向量分別是n1,n2,平面α與平面β所成的角為θ,則角θ與向量的夾角之間有什么關系 它們的余弦值滿足什么等式
【答案】　=θ或=180°-θ.cos θ=|cos|.
問題2:兩個平面所成的角與兩個平面的法向量所成的夾角有何關系
【答案】　兩個平面所成的角等于兩個平面的法向量所成的夾角或其補角.
問題3:兩個平面所成的角的范圍與二面角的范圍有什么區別
【答案】　二面角的范圍是[0,π],而兩個平面所成的角的范圍是0,.
新知生成
1.二面角
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形為二面角.二面角的大小可用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度,其取值范圍一般約定為[0,π].
2.兩個平面所成的角
兩個平面相交會形成四個二面角,一般規定較小的二面角為兩個平面所成的角,由此可知兩個平面所成角的取值范圍為0,.
3.兩個平面所成的角的計算
如圖,設兩個平面α1和α2所成的角為θ,平面α1,α2的法向量分別為n1和n2,記=φ,如圖,則θ與φ有如下關系:
θ=
　　　　①　　　　　　　　　?、?br/>對于上述兩種情況,均有cos θ=|cos φ|=|cos n1,n2 |=.
新知運用
例3　 在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中點,求二面角E-AC-D的平面角的大小.
方法指導　有兩種思路,思路一:根據二面角的定義找出平面EAC與平面ABCD的平面角,再求其夾角;思路二:建立空間直角坐標系,求平面的法向量,利用法向量的夾角與平面所成的角之間的關系求解.
【解析】　(法一)如圖,以A為原點,分別以AC,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
設PA=AB=a,AC=b,連接BD與AC交于點O,取AD的中點F,連接OF,OE,則C(b,0,0),B(0,a,0),=,∴D(b,-a,0),P(0,0,a),
∴E,-,,O,0,0,=0,-,,=(b,0,0).
∵·=0,∴⊥.
∵==0,-,0,∴·=0,∴⊥,
∴∠EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角(或補角).
∴cos<,>==.
由圖可知,二面角E-AC-D的平面角是銳角,
∴二面角E-AC-D的平面角為45°.
(法二)建系如方法一,連接AE,∵PA⊥平面ABCD,
∴=(0,0,a)為平面ABCD的一個法向量,
=,-,,=(b,0,0).
設平面AEC的法向量為m=(x,y,z),
由得
∴x=0,y=z,取m=(0,1,1),
則cos===.
由圖可知,二面角E-AC-D的平面角是銳角,
∴二面角E-AC-D的平面角為45°.
【方法總結】　　利用向量法求二面角的步驟:
(1)建立空間直角坐標系;
(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;
(3)求兩個法向量的夾角;
(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角;
(5)確定二面角的大小.
如圖,該幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的,G是的中點.
(1)設P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的平面角的大小.
【解析】　(1)因為AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP 平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP,所以BE⊥BP.
又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),
故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3).
設平面EAG的法向量為m=(x1,y1,z1),
由可得
取z1=2,可得平面EAG的一個法向量為m=(3,-,2).
設平面AGC的法向量為n=(x2,y2,z2),
由可得
取z2=-2,可得平面AGC的一個法向量為n=(3,-,-2).
所以cos==,
由圖可知,二面角E-AG-C的平面角是銳角,
故二面角E-AG-C的平面角的大小為60°.
【隨堂檢測】
1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz(圖略),設AB=1.
則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),∴=(0,1,-2),=(-1,0,2),故cos<,>===-,
∴異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　設正方體的棱長為1,依題意,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1).
∴=(-1,0,1),=(-1,1,0).
設平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),
∴令x=1,可得n=(1,1,1),
又∵=(0,0,1),
∴BB1與平面ACD1所成角的正弦值為=.
3.已知向量m,n分別是直線l的方向向量、平面α的法向量,若cos=-,則l與α所成的角為　　　　.
【答案】　60°
【解析】　設l與α所成的角為θ,則sin θ=|cos|=,又θ為銳角,∴θ=60°.
4.如圖,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=SD=2,BC=1,∠SDC=120°,求二面角B-AS-D的平面角的余弦值.
【解析】　過點D作DC的垂線,交SC于點E,以點D為坐標原點,DC,DE,DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
∵∠SDC=120°,
∴∠SDE=30°.
又∵SD=2,
∴點S到y軸的距離為1,到x軸的距離為,則D(0,0,0),S(-1,,0),A(0,0,2),B(2,0,1).
設平面SAD的法向量為m=(x,y,z),
∵=(0,0,-2),=(-1,,-2),
∴即
令x=,則y=1,z=0,
∴平面SAD的一個法向量為m=(,1,0).
設平面SAB的法向量為n=(a,b,c),
又∵=(2,0,-1),
∴即
令a=,則b=5,c=2,
∴平面SAB的一個法向量為n=(,5,2),
∴cos===.
由圖可知二面角B-AS-D的平面角為銳角,
故二面角B-AS-D的平面角的余弦值是.
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