資源簡介

2.4 課時5 向量與距離
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.向量的投影長和點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)
2.把空間距離問題轉(zhuǎn)化為平面問題,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.用向量法求空間距離——點(diǎn)線(線線)距離、點(diǎn)面(面面)距離.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離,是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量的長度嗎
2.幾何度量中最基本的距離是什么
3.歸納求點(diǎn)到面的距離的方法.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點(diǎn)到平面α的距離. (　　 )
(2)若平面α∥β,則兩平面α,β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離,也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離. (　　 )
2.已知直線l的方向向量為n=(1,0,2),點(diǎn)A(0,1,1)在直線l上,則點(diǎn)P(1,2,2)到直線l的距離為(　　 ).
A.2 B. C. D.
3.若平面α的一個法向量為n=(1,2,2),點(diǎn)A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,則點(diǎn)A到平面α的距離為(　　 ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【合作探究】
探究1 點(diǎn)到直線的距離
如圖,在空間中任取一點(diǎn)O,作=a,=b,過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1,回答下列問題.
問題1:向量a在向量b上的投影向量是什么
問題2:設(shè)與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量等于什么
問題3:在上圖中,怎樣求線段MM1的長度 長度的表達(dá)式是什么
新知生成
如圖,直線l的方向向量為v,點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線交l于點(diǎn)D,則||即為點(diǎn)P到直線l的距離.
設(shè)A為直線l上任意一點(diǎn),則是在l上的投影向量,所以投影長
||=||cos ∠PAD=||·=.
于是,點(diǎn)P到已知直線l的距離
d=||==.
新知運(yùn)用
例1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).求點(diǎn)N到直線AB的距離.
方法指導(dǎo)　建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解點(diǎn)到直線的距離.
【方法總結(jié)】　　求空間一點(diǎn)P到直線l(P l)的距離的算法程序
若在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則點(diǎn)C1到直線AE的距離是　　　　.
探究2 點(diǎn)到平面的距離
點(diǎn)到平面的距離是指空間內(nèi)一點(diǎn)到平面內(nèi)一點(diǎn)的最小長度.特殊地,當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時,該點(diǎn)到平面的距離為0.如圖,平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn),過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,回答下列問題.
問題1:點(diǎn)P到平面α的距離是哪一個線段的長度
問題2:從向量投影的角度來看,點(diǎn)P到平面α的距離又是什么
問題3:根據(jù)向量投影的定義,你能得出點(diǎn)P到平面α的距離的表達(dá)式嗎
新知生成
1.點(diǎn)到平面的距離
如圖,在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)A,作向量,設(shè)n是平面α的法向量,則在法向量n上的投影長||=即為點(diǎn)P到平面α的距離d.
2.求空間一點(diǎn)P到平面α(P α)的距離的算法程序如圖所示.
新知運(yùn)用
例2　如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面為正三角形,側(cè)棱垂直于底面)中,側(cè)棱長AA1=2,底面邊長AB=1,N是CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)求三棱錐B1-ANB的高.
方法指導(dǎo)　(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求出平面ABN的法向量,利用向量法求出三棱錐B1-ANB的高.
【方法總結(jié)】　　用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟
(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.
(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(,平面α的法向量n).
(4)求距離:d=.
提醒:用向量法求線面距、面面距時一般要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距.
如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,已知D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四邊形AEC1F為平行四邊形,則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為(　　).
A. B.4 C. D.
探究3 兩平行線間的距離
問題:類比點(diǎn)到直線的距離的求法,如何求兩條平行直線之間的距離
新知生成
求兩條平行線m,n間的距離的步驟:
(1)確定直線m的方向向量v;
(2)在直線m上任取一點(diǎn)A,直線n上任取一點(diǎn)P,并計(jì)算向量;
(3)計(jì)算向量在方向向量v上的投影長;
(4)點(diǎn)A到直線n的距離,即兩平行線m,n之間的距離為.
新知運(yùn)用
例3　如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,M,N分別是AD,AB的中點(diǎn),求直線MN到直線B'D'的距離.
如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,E為CC'上一點(diǎn),且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B交C'D'于點(diǎn)F,求直線EF與A'B之間的距離.
探究4 兩平行平面間的距離
問題:類比點(diǎn)到平面的距離的求法,如何求兩平行平面間的距離
新知生成
求兩平行平面α,β間的距離的步驟:
(1)確定平面α,β的法向量n;
(2)在平面α上任取一點(diǎn)A,在平面β上任取一點(diǎn)B,并計(jì)算向量;
(3)計(jì)算向量在平面α,β的法向量n上的投影長,該投影長即兩平行平面α與β間的距離.
新知運(yùn)用
例4　在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求平面ADE與平面B1C1F之間的距離.
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　　).
A.a B.a C.a D.a
【隨堂檢測】
1.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為(　　).
A.10　　　　 B.3　　　　 C.　　　　 D.
2.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),則點(diǎn)A到直線BC的距離為(　　 ).
A. B. C. D.
3.在空間直角坐標(biāo)系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為(　　).
A. B. C. D.
4.如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A'B'C'D',且AB=AD=1,BB'=2,M,N分別是A'D',D'C'的中點(diǎn),則直線AC到直線MN的距離為　　　.
22.4 課時5 向量與距離
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.向量的投影長和點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)
2.把空間距離問題轉(zhuǎn)化為平面問題,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.用向量法求空間距離——點(diǎn)線(線線)距離、點(diǎn)面(面面)距離.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離,是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量的長度嗎
【答案】　不是, 平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離是在平面α的法向量上投影的絕對值.
2.幾何度量中最基本的距離是什么
【答案】　兩點(diǎn)之間的距離是幾何度量中最基本的距離,計(jì)算任何圖形之間的距離都可以轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間的距離.
3.歸納求點(diǎn)到面的距離的方法.
【答案】　求點(diǎn)到面的距離可以采用等積變換法或歸結(jié)為解直角三角形或向量法求解.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點(diǎn)到平面α的距離. (　　 )
(2)若平面α∥β,則兩平面α,β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離,也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離. (　　 )
【答案】　(1)√　(2)√
2.已知直線l的方向向量為n=(1,0,2),點(diǎn)A(0,1,1)在直線l上,則點(diǎn)P(1,2,2)到直線l的距離為(　　 ).
A.2 B. C. D.
【答案】　D
【解析】　由已知得=(-1,-1,-1),因?yàn)橹本€l的方向向量為n=(1,0,2),所以點(diǎn)P(1,2,2)到直線l的距離為===.
3.若平面α的一個法向量為n=(1,2,2),點(diǎn)A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,則點(diǎn)A到平面α的距離為(　　 ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　∵A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,
∴AB為平面α的一條斜線,且=(2,1,1),
∴點(diǎn)A到平面α的距離d===2.
【合作探究】
探究1 點(diǎn)到直線的距離
如圖,在空間中任取一點(diǎn)O,作=a,=b,過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1,回答下列問題.
問題1:向量a在向量b上的投影向量是什么
【答案】　.
問題2:設(shè)與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量等于什么
【答案】　投影向量=|a|cos·e=|a|·cos·e=(a·e)e.
問題3:在上圖中,怎樣求線段MM1的長度 長度的表達(dá)式是什么
【答案】　利用勾股定理,MM1===.
新知生成
如圖,直線l的方向向量為v,點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線交l于點(diǎn)D,則||即為點(diǎn)P到直線l的距離.
設(shè)A為直線l上任意一點(diǎn),則是在l上的投影向量,所以投影長
||=||cos ∠PAD=||·=.
于是,點(diǎn)P到已知直線l的距離
d=||==.
新知運(yùn)用
例1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).求點(diǎn)N到直線AB的距離.
方法指導(dǎo)　建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解點(diǎn)到直線的距離.
【解析】　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),N(0,4,2),∴=(0,4,2),=(2,2,0),||=2,||=4.
設(shè)點(diǎn)N到直線AB的距離為d,則d===4.
【方法總結(jié)】　　求空間一點(diǎn)P到直線l(P l)的距離的算法程序
若在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則點(diǎn)C1到直線AE的距離是　　　　.
【答案】　
【解析】　如圖所示,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),所以=-1,0,,=(-1,1,1),
所以向量在方向上的投影向量的長度為==,
所以點(diǎn)C1到直線AE的距離
d===.
探究2 點(diǎn)到平面的距離
點(diǎn)到平面的距離是指空間內(nèi)一點(diǎn)到平面內(nèi)一點(diǎn)的最小長度.特殊地,當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時,該點(diǎn)到平面的距離為0.如圖,平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn),過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,回答下列問題.
問題1:點(diǎn)P到平面α的距離是哪一個線段的長度
【答案】　PQ.
問題2:從向量投影的角度來看,點(diǎn)P到平面α的距離又是什么
【答案】　在直線l上的投影向量的長度.
問題3:根據(jù)向量投影的定義,你能得出點(diǎn)P到平面α的距離的表達(dá)式嗎
【答案】　||=.
新知生成
1.點(diǎn)到平面的距離
如圖,在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)A,作向量,設(shè)n是平面α的法向量,則在法向量n上的投影長||=即為點(diǎn)P到平面α的距離d.
2.求空間一點(diǎn)P到平面α(P α)的距離的算法程序如圖所示.
新知運(yùn)用
例2　如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面為正三角形,側(cè)棱垂直于底面)中,側(cè)棱長AA1=2,底面邊長AB=1,N是CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)求三棱錐B1-ANB的高.
方法指導(dǎo)　(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求出平面ABN的法向量,利用向量法求出三棱錐B1-ANB的高.
【解析】　(1)取AB的中點(diǎn)O,A1B1的中點(diǎn)M,連接OC,OM.
依據(jù)題意,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA,OM,OC所在的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A,0,0,N0,1,,B1-,2,0,
∴=-,1,,=(-1,2,0).
設(shè)平面ANB1的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則
取y1=1,得x1=2,z1=0,
∴平面ANB1的一個法向量n1=(2,1,0),
由題意可知平面AA1B1B的一個法向量為m=(0,0,1),
又n1·m=0,
∴平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)由(1)知B-,0,0,所以=(-1,0,0),
設(shè)平面ABN的法向量為n2=(x2,y2,z2),
則
取z2=2,得x2=0,y2=-,
∴平面ABN的一個法向量n2=(0,-,2),
∴點(diǎn)B1到平面ANB的距離d===,
∴三棱錐B1-ANB的高為.
【方法總結(jié)】　　用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟
(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.
(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(,平面α的法向量n).
(4)求距離:d=.
提醒:用向量法求線面距、面面距時一般要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距.
如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,已知D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四邊形AEC1F為平行四邊形,則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為(　　).
A. B.4 C. D.
【答案】　D
【解析】　∵四邊形AEC1F為平行四邊形,
∴F(0,0,2),∴=(-2,0,2),=(0,4,1),
設(shè)平面AEC1F的法向量為n=(x,y,z),
則
令z=1,則y=-,x=1,得平面AEC1F的一個法向量n=1,-,1,
又∵=(0,0,3),
∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d===.
探究3 兩平行線間的距離
問題:類比點(diǎn)到直線的距離的求法,如何求兩條平行直線之間的距離
【答案】　在其中一條直線上取定一點(diǎn),則該點(diǎn)到另一條直線的距離即兩條平行直線之間的距離.
新知生成
求兩條平行線m,n間的距離的步驟:
(1)確定直線m的方向向量v;
(2)在直線m上任取一點(diǎn)A,直線n上任取一點(diǎn)P,并計(jì)算向量;
(3)計(jì)算向量在方向向量v上的投影長;
(4)點(diǎn)A到直線n的距離,即兩平行線m,n之間的距離為.
新知運(yùn)用
例3　如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,M,N分別是AD,AB的中點(diǎn),求直線MN到直線B'D'的距離.
【解析】　連接BD,D'M,因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是AD,AB的中點(diǎn),
所以MN∥BD,又BD∥B'D',所以MN∥B'D',
所以點(diǎn)M到直線B'D'的距離即所求的距離.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD'所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),
故=(-1,0,3),=(2,1,0),
所以點(diǎn)M到直線B'D'的距離為
==.
故直線MN到直線B'D'的距離為.
如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,E為CC'上一點(diǎn),且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B交C'D'于點(diǎn)F,求直線EF與A'B之間的距離.
【解析】　如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA'所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E1,1,,
因?yàn)镋F∥A'B,所以直線EF與A'B之間的距離等于點(diǎn)E到直線A'B的距離.
連接BE,因?yàn)?(1,0,-1),=0,1,所以點(diǎn)E到直線A'B的距離為=,
所以直線EF與A'B之間的距離為.
探究4 兩平行平面間的距離
問題:類比點(diǎn)到平面的距離的求法,如何求兩平行平面間的距離
【答案】　在其中一個平面上任取一點(diǎn),該點(diǎn)到另外一個平面的距離即兩平行平面間的距離.
新知生成
求兩平行平面α,β間的距離的步驟:
(1)確定平面α,β的法向量n;
(2)在平面α上任取一點(diǎn)A,在平面β上任取一點(diǎn)B,并計(jì)算向量;
(3)計(jì)算向量在平面α,β的法向量n上的投影長,該投影長即兩平行平面α與β間的距離.
新知運(yùn)用
例4　在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求平面ADE與平面B1C1F之間的距離.
【解析】　以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(0,3,0),E3,0,,B1(3,0,3),C1(3,3,3),F0,3,,=(0,3,0),=(0,3,0),則=.
因?yàn)锳D,B1C1不在同一條直線上,所以AD∥B1C1,
因?yàn)锳D 平面B1C1F,又B1C1 平面B1C1F,所以AD∥平面B1C1F.
同理可證AE∥平面B1C1F,又AD∩AE=A,AD,AE 平面ADE,故平面ADE∥平面B1C1F.
設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),=(0,3,0),=3,0,,
由取x=1,則y=0,z=-2,可得n=(1,0,-2),
又因?yàn)?(3,0,3),所以平面ADE與平面B1C1F之間的距離d===.
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　　).
A.a B.a C.a D.a
【答案】　D
【解析】　由正方體的性質(zhì)得,AB1∥DC1,D1B1∥DB,又AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,AB1,D1B1 平面AB1D1,DC1,DB 平面BDC1,
易得平面AB1D1∥平面BDC1,
則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,連接A1C,如圖,
則A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),
∴=(a,-a,a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=(-a,-a,0).
∵·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,∴CA1⊥AB1,CA1⊥B1D1,且AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,可知A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一個法向量為n=(1,-1,1),
則兩平面間的距離d===a.
【隨堂檢測】
1.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為(　　).
A.10　　　　 B.3　　　　 C.　　　　 D.
【答案】　D
【解析】　∵A(-1,3,0),P(-2,1,4),∴=(-1,-2,4).
由題意知|n|=3,∴點(diǎn)P到平面α的距離為=.
2.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),則點(diǎn)A到直線BC的距離為(　　 ).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),可得=(1,1,-1),=(2,2,2),
則向量在方向上的投影向量的長度為==,
所以點(diǎn)A到直線BC的距離為=.
3.在空間直角坐標(biāo)系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),設(shè)向量n=(x,y,z)與向量,都垂直,則即取x=1,則y=3,z=-4,則n=(1,3,-4),
又平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離d===.
4.如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A'B'C'D',且AB=AD=1,BB'=2,M,N分別是A'D',D'C'的中點(diǎn),則直線AC到直線MN的距離為　　　.
【答案】　
【解析】　依據(jù)長方體的性質(zhì)可知AC∥MN,故兩直線間的距
離為點(diǎn)M到直線AC的距離.
由題意得=(-1,1,0),=0,,-2,所以點(diǎn)M到直線AC的距離d===.
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