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第01講 三角函數的概念與誘導公式
目錄
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函數的基本關系式，． （3）掌握誘導公式，并會簡單應用． 2023年甲卷第14題，5分 2022年浙江卷第13題，5分 2021年甲卷第8題，5分 高考對此也經常以不同的方式進行考查，將三角函數的定義、同角三角函數關系式和誘導公式綜合起來考查，且考查得較為靈活，需要深人理解概念、熟練運用公式．
知識點一：三角函數基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3、任意角的三角函數
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函數線
如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．
三角函數線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線
知識點二：同角三角函數基本關系
1、同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．
（2）商數關系：；
知識點三：三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可．
【解題方法總結】
1、利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區別
例1．（2023·遼寧·校聯考一模）已知角的終邊上一點的坐標為，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
而，
所以角的終邊上點的坐標可寫為：，
所以，因此的最小正值為.
故選：D
例2．（2023·全國·高三專題練習）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；
對于C，因為與是終邊相同的角，
故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；
對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，
故選：C
例3．（2023·廣東·高三統考學業考試）下列各角中與角的終邊相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】與角的終邊相同的角為，
當時，，B正確；
經驗證，其他三個選項均不合要求.
故選：B
變式1．（2023·北京·高三北大附中?？茧A段練習）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為角的終邊為射線，
所以，角時，，
所以，角的集合為，故A選項錯誤；
所以， ，故B選項錯誤；
，故C選項正確；
，故D選項錯誤.
故選：C
【解題方法總結】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯系與區別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．
題型二：等分角的象限問題
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知是銳角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【解析】因為是銳角,所以,所以,滿足小于180°的正角.
其中D選項不包括，故錯誤.
故選：C
例5．（2023·全國·高三專題練習）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.
故選A.
例6．（2023·浙江·高三專題練習）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在(　　)
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上
D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上
【答案】D
【解析】當時，，終邊位于第一象限
當時，，終邊位于第二象限
當時，，終邊位于軸的非正半軸上
當時，，終邊位于第一象限
綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上
故選
變式2．（1990·上?！じ呖颊骖}）設角屬于第二象限，且，則角屬于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】為第二象限角，，
；
當時，為第一象限角；當時，為第三象限角；
為第一或第三象限角；
，，為第三象限角.
故選：C.
變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因為角的終邊與的終邊重合，
所以，，所以，，
令，則，此時的終邊位于第二象限；
令，則，此時的終邊位于第三象限；
令，則，此時的終邊位于第四象限．
所以的終邊不可能在第一象限，
故選：A．
變式4．（2023·全國·高三專題練習）若角是第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】因為是第三象限角，所以，
所以，
當為偶數時，是第一象限角，
當為奇數時，是第三象限角.
故選：C．
【解題方法總結】
先從的范圍出發，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數列法；（2）的象限分布圖示．
題型三：弧長與扇形面積公式的計算
例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長為__________.
【答案】
【解析】設扇形的半徑為，利用扇形面積計算公式，
可得；
所以該扇形的弧長為，
所以周長為.
故答案為：
例8．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學?？既＃┮阎刃螆A心角所對的弧長，則該扇形面積為__________.
【答案】
【解析】由弧長公式可得，所以扇形面積為，
故答案為：
例9．（2023·全國·高三專題練習）在東方設計中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖，假設扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當時，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，扇子圓心角的弧度數為____________.
【答案】
【解析】設扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，
則，，
因為，即，即，
所以.
故答案為：
變式5．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》是中國古代數學名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現代的算法一致，根據這一算法解決下列問題：現有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.
【答案】100
【解析】因為徑長為20米，下周長為20米，
所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，
該扇形菜田的面積平方米。
故答案為：100.
變式6．（2023·福建廈門·高三福建省廈門第六中學?？茧A段練習）若一個扇形的周長是4為定值，則當該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數是__.
【答案】2
【解析】設扇形的圓心角弧度數為，半徑為，
則，，
當且僅當，解得時，扇形面積最大.
此時.
故答案為：2.
變式7．（2023·江西鷹潭·高三鷹潭一中?？茧A段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，若扇形周長為20，當這個扇形的面積最大時，則圓心角______弧度．
【答案】.
【解析】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，且扇形周長為20，
可得，即，
則扇形的面積，
當時，扇形面積取得最大值，此時.
故答案為：.
【解題方法總結】
應用弧度制解決問題的方法
（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．
（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
題型四：三角函數定義題
例10．（2023·湖南邵陽·高三統考學業考試）已知 是角終邊上的一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函數的定義可知，
故選：B
例11．（2023·全國·高三對口高考）如果點P在角的終邊上，且，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函數定義知：，，
所以，，即P的坐標是.
故選：B
例12．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中校考三模）已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】設射線與軸非負半軸所成夾角為，則，，
射線與軸非負半軸所成夾角為，則，
所以，又，，所以.
故選：D
變式8．（2023·全國·高三專題練習）設，角的終邊與圓的交點為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】畫圖，角的終邊與圓的交點為，
設，則，，代入得，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵在單位圓中，，，
∴，，
∴，
故選：D
變式9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點P，Q從點出發在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，則P，Q兩點在第2019次相遇時，點P的坐標為________.
【答案】
【解析】由題意求得，P，Q兩點每一秒鐘相遇一次，則P，Q兩點在第2019次相遇時，經過了2019秒，求得點P轉過的周數，可得點P的坐標．因為點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，所以兩點相遇1次的路程是單位圓的周長，即，所以兩點相遇一次用了1秒，因此當兩點相遇2019次時，共用了2019秒，所以此時點P所轉過的弧度為，由終邊相同的角的概念可知，與的終邊相同，所以此時點P位于y軸上，故點P的坐標為.
故答案為：.
【解題方法總結】
（1）利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．
（2）判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．
題型五：象限符號與坐標軸角的三角函數值
例13．（2023·全國·高三對口高考）若，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【解析】由，即為第四象限角，
所以且.
故選：C
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知點是角終邊上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，則點在第四象限，
由，故.
故選：C.
例15．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因為是第二象限角，所以，，
進而硧定，.
所以點在第四象限.
故選：D
變式10．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由題意知：，，進而得到，，
所以點（，）位于第三象限.
故選：C
變式11．（2023·河南許昌·高三校考期末）在平面直角坐標系中，點位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】因為，，
所以點位于第二象限.
故選：B
變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知點是第二象限的點，則的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵點是第二象限的點，
∴，，
由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或軸的非正半軸；
由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，
綜上所述，的終邊位于第三象限.
故選：C.
【解題方法總結】
正弦函數值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．
余弦函數值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．
正切函數值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．
題型六：同角求值—條件中出現的角和結論中出現的角是相同的
例16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知是三角形的一個內角，且滿足，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】將兩邊同時平方可得，即；
所以
若，解得，這與是三角形的一個內角矛盾，
所以，解得，此時求得.
故選：A.
例17．（2023·山西陽泉·統考二模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，即，所以.
因為，所以，所以.
因為，
所以.
故選：B.
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，兩邊平方得，
故，所以與導號，
又因為，所以，，
所以.
故選：C.
變式13．（2023·貴州銅仁·統考模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
由題意可得，解得，
因此，.
故選：B.
變式14．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知是關于的方程的兩根，則__________.
【答案】
【解析】由題意：，所以，
所以，即，解得.
故答案為：.
變式15．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．
【答案】
【解析】兩邊平方得：
，
解得：.
故答案為：
變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______．
【答案】
【解析】已知①，則，
，
，，則，，
②，
聯立①②，得，
，
故答案為：.
變式17．（2023·全國·高三專題練習）若，則________．
【答案】
【解析】因為，則，
又因為，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
變式18．（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知，則的值是__________．
【答案】5
【解析】因為，
所以
，
故答案為：5.
變式19．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮阎?，則__________.
【答案】
【解析】因為，
所以、.
故答案為：
變式20．（2023·全國·高三對口高考）若，求的值為__________.
【答案】/
【解析】由可得，
因為不適合，故，
所以，
故，
故答案為：
【解題方法總結】
（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數的符號，再利用三角形三角函數定義求未知三角函數值．
（2）若無象限條件，一般“弦化切”．
題型七：誘導求值與變形
例19．（2023·山西陽泉·統考三模）已知，且，則_______．
【答案】/
【解析】因為，所以，故，
所以.
。
故答案為：
例20．（2023·四川綿陽·統考三模）已知，，則______.
【答案】/
【解析】由得，
由可得，故.
故答案為：
例21．（2023·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以在第一、二象限，
所以.
故選：D.
變式21．（2023·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用誘導公式可得，
故選：B.
變式22．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
的值為，
故選：
變式23．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【解析】.
故選：A.
【解題方法總結】
（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數化成銳角三角函數．
（2）通過等誘導變形把所給三角函數化成所需三角函數．
（3）等可利用誘導公式把的三角函數化
題型八：同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用
例22．（2023·河南駐馬店·統考三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故選：D
例23．（2023·全國·高三對口高考）若，求的值.
【解析】由可得，
故
.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．
【解析】因為，
，
所以，
又，所以.
故答案為：.
變式24．（2023·河南周口·高三?？计谥校?）若，求的值；
（2）設，求的值.
【解析】（1） ，則，，
.
（2）∵
，
∴．
變式25．（2023·江蘇揚州·高三校聯考期末）在平面直角坐標系中，是坐標原點，角的終邊與單位圓的交點坐標為，射線繞點按逆時針方向旋轉弧度后交單位圓于點，點的縱坐標關于的函數為
(1)求函數的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
【解析】（1）因為點在單位圓上，所以由三角函數的定義可得，
又因為，所以，
所以，
.
（2）由可得，即，
由于得，又，所以，
由平方關系得，
所以.
變式26．（2023·貴州貴陽·高三統考期中）已知角滿足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【解析】（1）由題意和同角三角函數基本關系式，有，
消去得，解得或
因為角是第三象限角，所以，，
（2），
當角是第一象限角時，，
當角是第三象限角時，，
【解題方法總結】
（1）利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形．
（2）注意角的范圍對三角函數符號的影響．
1．（2021 全國）已知，則　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【解析】由，得，
．
故選：．
2．（2021 新高考Ⅰ）若，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由題意可得：
．
故選：．
3．（2023 甲卷）“”是“”的　　
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
【答案】
【解析】，可知，可得，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：．第01講 三角函數的概念與誘導公式
目錄
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函數的基本關系式，． （3）掌握誘導公式，并會簡單應用． 2023年甲卷第14題，5分 2022年浙江卷第13題，5分 2021年甲卷第8題，5分 高考對此也經常以不同的方式進行考查，將三角函數的定義、同角三角函數關系式和誘導公式綜合起來考查，且考查得較為靈活，需要深人理解概念、熟練運用公式．
知識點一：三角函數基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3、任意角的三角函數
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函數線
如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．
三角函數線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線
知識點二：同角三角函數基本關系
1、同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．
（2）商數關系：；
知識點三：三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可．
【解題方法總結】
1、利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
題型一：終邊相同的角的集合的表示與區別
例1．（2023·遼寧·校聯考一模）已知角的終邊上一點的坐標為，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全國·高三專題練習）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·廣東·高三統考學業考試）下列各角中與角的終邊相同的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·北京·高三北大附中校考階段練習）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯系與區別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．
題型二：等分角的象限問題
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知是銳角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
例5．（2023·全國·高三專題練習）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
例6．（2023·浙江·高三專題練習）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在(　　)
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上
D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上
變式2．（1990·上?！じ呖颊骖}）設角屬于第二象限，且，則角屬于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
變式4．（2023·全國·高三專題練習）若角是第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解題方法總結】
先從的范圍出發，利用不等式性質，具體有：（1）雙向等差數列法；（2）的象限分布圖示．
題型三：弧長與扇形面積公式的計算
例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長為__________.
例8．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學?？既＃┮阎刃螆A心角所對的弧長，則該扇形面積為__________.
例9．（2023·全國·高三專題練習）在東方設計中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖，假設扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當時，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，扇子圓心角的弧度數為____________.
變式5．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》是中國古代數學名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現代的算法一致，根據這一算法解決下列問題：現有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.
變式6．（2023·福建廈門·高三福建省廈門第六中學校考階段練習）若一個扇形的周長是4為定值，則當該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數是__.
變式7．（2023·江西鷹潭·高三鷹潭一中校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，若扇形周長為20，當這個扇形的面積最大時，則圓心角______弧度．
【解題方法總結】
應用弧度制解決問題的方法
（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．
（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
題型四：三角函數定義題
例10．（2023·湖南邵陽·高三統考學業考試）已知 是角終邊上的一點，則（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全國·高三對口高考）如果點P在角的終邊上，且，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中校考三模）已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．1
變式8．（2023·全國·高三專題練習）設，角的終邊與圓的交點為，那么（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點P，Q從點出發在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，則P，Q兩點在第2019次相遇時，點P的坐標為________.
【解題方法總結】
（1）利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．
（2）判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．
題型五：象限符號與坐標軸角的三角函數值
例13．（2023·全國·高三對口高考）若，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知點是角終邊上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
變式10．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知是第二象限角，則點（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
變式11．（2023·河南許昌·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知點是第二象限的點，則的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題方法總結】
正弦函數值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．
余弦函數值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．
正切函數值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．
題型六：同角求值—條件中出現的角和結論中出現的角是相同的
例16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知是三角形的一個內角，且滿足，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
例17．（2023·山西陽泉·統考二模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·貴州銅仁·統考模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式14．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知是關于的方程的兩根，則__________.
變式15．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．
變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______．
變式17．（2023·全國·高三專題練習）若，則________．
變式18．（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知，則的值是__________．
變式19．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮阎?，則__________.
變式20．（2023·全國·高三對口高考）若，求的值為__________.
【解題方法總結】
（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數的符號，再利用三角形三角函數定義求未知三角函數值．
（2）若無象限條件，一般“弦化切”．
題型七：誘導求值與變形
例19．（2023·山西陽泉·統考三模）已知，且，則_______．
例20．（2023·四川綿陽·統考三模）已知，，則______.
例21．（2023·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式21．（2023·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式22．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式23．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（ ）
A． B． C．- D．
【解題方法總結】
（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數化成銳角三角函數．
（2）通過等誘導變形把所給三角函數化成所需三角函數．
（3）等可利用誘導公式把的三角函數化
題型八：同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用
例22．（2023·河南駐馬店·統考三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例23．（2023·全國·高三對口高考）若，求的值.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．
變式24．（2023·河南周口·高三校考期中）（1）若，求的值；
（2）設，求的值.
變式25．（2023·江蘇揚州·高三校聯考期末）在平面直角坐標系中，是坐標原點，角的終邊與單位圓的交點坐標為，射線繞點按逆時針方向旋轉弧度后交單位圓于點，點的縱坐標關于的函數為
(1)求函數的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
變式26．（2023·貴州貴陽·高三統考期中）已知角滿足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【解題方法總結】
（1）利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形．
（2）注意角的范圍對三角函數符號的影響．
1．（2021 全國）已知，則　　
A．3 B． C． D．
2．（2021 新高考Ⅰ）若，則　　
A． B． C． D．
3．（2023 甲卷）“”是“”的　　
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件

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