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第02講 三角恒等變換
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
（1）會推導(dǎo)兩角差的余弦公式 （2）會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式 （3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用 （4）能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷II卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2021年甲卷（文）第11題，5分 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用． 這就需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用．
知識點(diǎn)一．兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
知識點(diǎn)二．二倍角公式
①；
②；
③；
知識點(diǎn)三：降次（冪）公式
知識點(diǎn)四：半角公式
知識點(diǎn)五．輔助角公式
（其中）．
【解題方法總結(jié)】
1、兩角和與差正切公式變形
；
．
2、降冪公式與升冪公式
；
．
3、其他常用變式
．
4、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
題型一：兩角和與差公式的證明
例1．（浙江省紹興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；
(2)若，求.
【解析】（1）在中，，，，則，
在中，，，，則，
在中，，，
則，
依題意，四邊形是矩形，則，
所以.
（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，
，又是銳角，于是，
所以.
例2．（2023·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：
(1)在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明：
(2)求值：.
【解析】（1）若選①，證明如下：
.
若選②，證明如下：
.
（2）由題，，因?yàn)椋瑒t，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得，
又因?yàn)椋裕裕?br/>整理得解得或，
又，所以.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）(1)試證明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推導(dǎo)：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
【解析】(1)不妨令.
如圖，
設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，.
連接.若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而，＝，∴.
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：
，
化簡得：
當(dāng)時(shí)，上式仍然成立.
∴，對于任意角有：.
(2)①公式的推導(dǎo)：
.
公式的推導(dǎo)：
正切公式的推導(dǎo)：
②公式的推導(dǎo)：
由①知，.
公式的推導(dǎo)：
由①知，.
公式的推導(dǎo)：
由①知，.
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，考慮點(diǎn)，，，，從這個(gè)圖出發(fā).
（1）推導(dǎo)公式：；
（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計(jì)算的值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>根據(jù)圖象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以.
變式2．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：．具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．
則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有．
設(shè)，的夾角為，則，
另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，對于任意角，有：．
此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）
解決下列問題：
(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）
(2)證明：．
【解析】（1）正確；因?yàn)閷τ诜橇阆蛄浚欠较蛏系膯挝幌蛄浚?br/>又且與共線，所以.
（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
從而在中，，
又M是AB的中點(diǎn)，∴，
又，，
所以，
化簡得，．
【解題方法總結(jié)】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路．
題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式
例4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考二模）已知，則（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
即，
則，得，則，
所以
．
故選：A．
例5．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，，即，
故，
故選：A
例6．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)），，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，則有，，
.
故選：B.
變式3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，則等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br/>故，
故選：C．
變式4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形
例7．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，且，
則，
整理得，
則，
整理得，
所以.
故選：D.
例8．（2023·上海靜安·高三校考期中）已知、是不同的兩個(gè)銳角，則下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椤⑹遣煌膬蓚€(gè)銳角，即，
所以，，
對于A，因?yàn)椋?br/>所以一定成立，故A錯(cuò)誤；
對于D，可能成立，故D錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br/>所以恒成立，
即一定不成立，故B正確；
對于C，可能成立，故C錯(cuò)誤.
故選：B.
例9．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
【答案】C
【解析】對于①：，，所以，
，故，故①正確；
對于②：， ，，
，因?yàn)殛P(guān)系不定，故不一定相等，故②不正確；
對于③，，，
，
，，故③正確；
對于④，，
，因?yàn)槲粗?與不一定相等，故④不正確.
故選：C
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
兩式相加得，
.
故選：C.
變式6．（2023·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，
可得，
即，
化簡可得，
即，
所以，，
即，，
可得．
故選：C．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知第二象限角滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋覟榈诙笙藿牵裕?br/>于是
.
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
題型四：角的變換問題
例10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由，解得，
所以.
故選：A.
例11．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)校考期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕獾?，
則，
故選：D.
例12．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
所以，則，
所以
.
故選：D
變式8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由為銳角，且，所以，則
.
故選：D
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕裕?br/>.
故選：A.
變式10．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知，則（ ）
A． B． C．或 D．0或
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)椋?br/>所以，故滿足題意，
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋什缓项}意，舍去；
故選：A
變式11．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知，為銳角，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?，
又，為銳角，
所以，，且．
因?yàn)椋瑸殇J角，，所以，
又， 所以，
故．
故選：D.
變式12．（2023·山東日照·高三校考階段練習(xí)）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?br/>=-.
，
；
，，
所以，
故．
故選：D.
變式13．（2023·吉林四平·高一四平市第一高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故選：D
【解題方法總結(jié)】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
題型五：給角求值
例13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
.
故選：B.
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?br/>，所以原式
故選：C
例15．（2023·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測）若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故選：A.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
．
故選：A．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
，
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
題型六：給值求值
例16．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知，則________.
【答案】/
【解析】因?yàn)椋?br/>則.
故答案為：.
例17．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則______．
【答案】
【解析】由題意可得，
.
故答案為：
例18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測）若，則__________.
【答案】/
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案為:.
變式16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋士傻茫?br/>則
故答案為：.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則_________
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以
.
故答案為：.
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則________．
【答案】
【解析】由兩角差與和的余弦公式，
等式右邊變?yōu)椋海?br/>等式左邊將看作整體，按照兩角差的正弦公式展開，左邊得到：.
于是根據(jù)左邊等于右邊得到：，即，顯然，否則，這與矛盾，于是等式兩邊同時(shí)除以，得到.
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．
題型七：給值求角
例19．（2023·四川·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）寫出一個(gè)使等式成立的的值為_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因?yàn)?br/>所以
所以
解得：
當(dāng)時(shí)，
所以使等式成立的的一個(gè)值為：
故答案為：（答案不唯一）
例20．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個(gè)值是_______.
【答案】（滿足或的值均可）
【解析】實(shí)數(shù)，滿足方程組，
則，
由于，
所以，則；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取時(shí)，．
故答案為：（滿足或的值均可）
例21．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋遥?br/>所以，，且，
則，
所以.
故答案為：.
變式19．（2023·上海嘉定·高三校考期中）若為銳角，，則角__________.
【答案】
【解析】由于為銳角，所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案為：
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則______．
【答案】
【解析】由題知，則，即，即，即，則或，．因?yàn)椋裕裕獾茫?br/>故答案為：
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．
【答案】/
【解析】，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：
，而，于是
.
故答案為：.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．
題型八：正切恒等式及求非特殊角
例22．（2023·全國·高三對口高考）的值是__________.
【答案】1
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，故.
故答案為：.
例23．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，滿足，則______．
【答案】
【解析】∵，
即，
∴，即，
∴．
故答案為：.
例24．（2023·江蘇南通·高三校考期中）在中，若，則_________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，，
由題意可得，
若，則，不妨設(shè)為銳角，則，
則，不合乎題意，
所以，，故，因此，.
故答案為：.
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）____________．
【答案】
【解析】
．
故答案為：.
變式24．（2023·山東·高三濟(jì)寧市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.
【答案】
【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以
因?yàn)椋?br/>所以角是第一象限的角，
所以，
不妨取，則，
所以
，
所以，
所以，
所以，
故答案為：
變式25．（2023·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若是的內(nèi)角，且，則等于______.
【答案】
【解析】由題意知，，即，
∴，
又，∴.
變式26．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，為銳角，且，則__________；__________
【答案】
【解析】利用兩角和差正切公式來構(gòu)造出，代入可求得結(jié)果；根據(jù)的規(guī)律可整理得到結(jié)果.
即
故答案為：；
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，
則，即，
所以，即，
又，，則，所以，
，，則
所以有即.
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
正切恒等式：當(dāng)時(shí)，．
證明：因?yàn)椋?br/>故．
題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例25．（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；
(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>令，解得；
令，解得；
所以函數(shù)的對稱軸為，對稱中心.
（2）因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最大值；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值；
所以函數(shù)的值域?yàn)?
例26．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）已知.
(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，求的值.
【解析】（1），
由，解得，
又，
函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）知，
又，
，
，
.
例27．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)x的值．
【解析】（1）因?yàn)?br/>，
所以的最小正周期為，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以的最大值為，此時(shí)．
變式28．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在區(qū)間上的取值范圍；
【解析】（1）由題意，
在中，，，
，
∴或，
∴在三角形中得或.
所以當(dāng)時(shí)，由勾股定理得，
∴,是等腰直角三角形，
∴.
當(dāng)時(shí), 由正弦定理得,
，即，
∴，
解得：或，
∵,
∴,
∴,
綜上所述,為或.
（2）由題意，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴,
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，
當(dāng), 即時(shí),取最小值,
當(dāng), 即時(shí), 取最大值，
所以在區(qū)間上的取值范圍是.
變式29．（2023·全國·高三對口高考）已知．若的最小正周期為．
(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?br/>所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.
【解題方法總結(jié)】
（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．
1．（2023 新高考Ⅱ）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
則，
故，即，
為銳角，
，
．
故選：．
2．（2023 新高考Ⅰ）已知，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
則．
故選：．
3．（2022 新高考Ⅱ）若，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一：因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
解法二：由題意可得，，
即，
所以，
故．
故選：．第02講 三角恒等變換
目錄
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
（1）會推導(dǎo)兩角差的余弦公式 （2）會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式 （3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用 （4）能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷II卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2021年甲卷（文）第11題，5分 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用． 這就需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用．
知識點(diǎn)一．兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
知識點(diǎn)二．二倍角公式
①；
②；
③；
知識點(diǎn)三：降次（冪）公式
知識點(diǎn)四：半角公式
知識點(diǎn)五．輔助角公式
（其中）．
【解題方法總結(jié)】
1、兩角和與差正切公式變形
；
．
2、降冪公式與升冪公式
；
．
3、其他常用變式
．
4、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
題型一：兩角和與差公式的證明
例1．（浙江省紹興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；
(2)若，求.
例2．（2023·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：
(1)在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明：
(2)求值：.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）(1)試證明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推導(dǎo)：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，考慮點(diǎn)，，，，從這個(gè)圖出發(fā).
（1）推導(dǎo)公式：；
（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計(jì)算的值.
變式2．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：．具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．
則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有．
設(shè)，的夾角為，則，
另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，對于任意角，有：．
此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）
解決下列問題：
(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）
(2)證明：．
【解題方法總結(jié)】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路．
題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式
例4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考二模）已知，則（ ）
A．－1 B． C． D．
例5．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)），，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，則等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
變式4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形
例7．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·上海靜安·高三校考期中）已知、是不同的兩個(gè)銳角，則下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2023·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知第二象限角滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
題型四：角的變換問題
例10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C．1 D．
例11．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)校考期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．3
例12．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知，則（ ）
A． B． C．或 D．0或
變式11．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知，為銳角，且，，則（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2023·山東日照·高三校考階段練習(xí)）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·吉林四平·高一四平市第一高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
題型五：給角求值
例13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測）若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
題型六：給值求值
例16．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知，則________.
例17．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則______．
例18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測）若，則__________.
變式16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則_________
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則________．
【解題方法總結(jié)】
給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．
題型七：給值求角
例19．（2023·四川·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）寫出一個(gè)使等式成立的的值為_______.
例20．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個(gè)值是_______.
例21．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是___________.
變式19．（2023·上海嘉定·高三校考期中）若為銳角，，則角__________.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則______．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則________．
【解題方法總結(jié)】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．
題型八：正切恒等式及求非特殊角
例22．（2023·全國·高三對口高考）的值是__________.
例23．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，滿足，則______．
例24．（2023·江蘇南通·高三校考期中）在中，若，則_________.
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）____________．
變式24．（2023·山東·高三濟(jì)寧市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.
變式25．（2023·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若是的內(nèi)角，且，則等于______.
變式26．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，為銳角，且，則__________；__________
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
正切恒等式：當(dāng)時(shí)，．
證明：因?yàn)椋?br/>故．
題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例25．（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；
(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域．
例26．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）已知.
(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，求的值.
例27．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)x的值．
變式28．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在區(qū)間上的取值范圍；
變式29．（2023·全國·高三對口高考）已知．若的最小正周期為．
(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【解題方法總結(jié)】
（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．
1．（2023 新高考Ⅱ）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
2．（2023 新高考Ⅰ）已知，，則　　
A． B． C． D．
3．（2022 新高考Ⅱ）若，則　　
A． B． C． D．

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