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第03講三角函數的圖象與性質
目錄
考點要求 考題統計 考情分析
（1）理解正、余弦函數在區間內的性質．理解正切函數在區間內的單調性． （2）了解函數的物理意義，能畫出的圖像，了解參數對函數圖像的影響． （3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題． 2023年甲卷第12題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年I卷第15題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意識．
知識點一：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
知識點二：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中）
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
知識點三：與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少．
【解題方法總結】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型一：五點作圖法
例1．（2023·湖北·高一荊州中學校聯考期中）要得到函數的圖象，可以從正弦函數或余弦函數圖象出發，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．
(1)由圖象變換得到函數的圖象，寫出變換的步驟和函數；
(2)用“五點法”畫出函數在區間上的簡圖．

【解析】（1）步驟1：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象；
步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；
步驟3：最后把函數的圖象的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；
步驟2：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象；
步驟3：最后把函數的圖象的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
（2）因為列表：
例2．（2023·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）已知函數
(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數在上的圖像；
(2)求，的單調遞增區間；
(3)當時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.
【解析】（1）因為，當時，，
列表如下：
0 1
1 2 0 0 1
作圖如下：
（2）因為，令，解得，
令，解得，
所以的遞增區間為
（3），，
又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．
例3．（2023·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯考階段練習）函數.
(1)請用五點作圖法畫出函數在上的圖象；（先列表，再畫圖）
(2)設，，當時，試研究函數的零點的情況.
【解析】（1），
按五個關鍵點列表：
0
0 1 0 0
0 3 0 1 0
描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：
（2）因為，
所以的零點個數等價于與圖象交點的個數，
設，，則
當，即時，有2個零點；
當，即時，有1個零點；
當，即時，有0個零點.
【解題方法總結】
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
題型二：函數的奇偶性
例4．（2023·全國·高三專題練習）函數，則（ ）
A．若，則為奇函數 B．若，則為偶函數
C．若，則為偶函數 D．若，則為奇函數
【答案】B
【解析】的定義域為，
對A：若，，若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；
對B：若，，
，故為偶函數，B正確；
對C：若，，，故不是偶函數，故C錯誤；
對D：若，，
若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；
故選：B
例5．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）使函數為偶函數，則的一個值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
因為為偶函數，可得，所以，
令，可得.
故選：A.
例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，若函數是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數的圖像向左平移個單位，得的圖像，
又函數是偶函數，則有，，解得，；
所以.
故選：C．
變式1．（2023·北京·高三專題練習）已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，
故，由于的圖象關于y軸對稱，
則為偶函數，故,即，
故的最小值為，
故選：B
變式2．（2023·浙江·高三期末）將函數的圖象向右平移個單位得到一個奇函數的圖象，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數為奇函數，
則，取，則．
故選：D
變式3．（2023·廣東·高三統考學業考試）函數是（ ）
A．最小正周期為π的奇函數 B．最小正周期為π的偶函數
C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的偶函數
【答案】D
【解析】解析：函數，
故該函數為偶函數，且它的最小正周期為.
故選：D.
變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】解:，令，，于是
，所以是奇函數，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.
故選：B
變式5．（2023·山東·高三專題練習）設函數，如果，則的值是（ ）
A．-10 B．8 C．-8 D．-7
【答案】B
【解析】令，由奇函數定義可知，化簡計算可求得結果.令,則，
所以，由可知，，即，
，
故選：B.
【解題方法總結】
由是奇函數和是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若為奇函數，則；
（2）若為偶函數，則；
（3）若為奇函數，則；
（4）若為偶函數，則；
若為奇函數，則，該函數不可能為偶函數．
題型三：函數的周期性
例7．（2023·湖北襄陽·高三襄陽五中校考開學考試）已知，，是函數的兩個零點，且的最小值為，若將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知函數的最小正周期，則，得，.
將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，
要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，
又，所以當時，取得最大值，最大值為．
故選：A
例8．（2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數的周期為，
將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，
可得，
由可知，兩個函數的最大值與最小值的差為2，且，
不妨設，則，即在時取得最小值，
由于，此時，不合題意；，此時，
當時，滿足題意.
故選：C.
例9．（2023·河北·高三校聯考階段練習）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的最小正周期．
故選：C．
變式6．（2023·高三課時練習）函數（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是______.
【答案】
【解析】因為函數（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，
所以該函數的最小正周期為，
因為，所以，即，
因此，
故答案為：
變式7．（2023·河北衡水·高三河北深州市中學校考階段練習）下列函數中，最小正周期為的奇函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對于A：最小正周期為，故A錯誤；
對于B：，最小正周期，且為奇函數，故B正確；
對于C：，最小正周期為的偶函數，故C錯誤；
對于D：，則，
故為偶函數，故D錯誤.
故選：B
變式8．（2023·全國·高三專題練習）函數對于，都有，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵恒成立，
∴是函數的最小值，是函數的最大值，
即、是函數的兩條對稱軸，則的最小值為.
故選：C.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，如果存在實數，使得對任意的實數，都有成立，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因為，設的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.
考點：三角函數的周期和最值．
變式10．（2023·北京·北京市第一六一中學校考模擬預測）設函數在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圖象可知，，，
解得.
設函數的最小正周期為，易知，
當且僅當時符合題意，此時,
故選：A.
變式11．（2023·全國·高三對口高考）函數的最小正周期是__________.
【答案】
【解析】因為，
因為的最小正周期為，
所以函數最小正周期為.
故答案為：.
變式12．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）函數的最小正周期是______．
【答案】
【解析】所以最小正周期為，
故答案為：
變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.則__________.
【答案】
【解析】由條件，可得，，…，共506組，
所以.
故答案為：1012.
變式14．（2023·四川遂寧·統考三模）已知函數，，，且，則=_____
【答案】/0.5
【解析】因為
，另外，，且，
所以，函數的最小正周期滿足，則，
所以，，故當時，取最小值.
故答案為：
變式15．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知函數，則函數的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】，故，
故答案為：．
變式16．（2023·上海·上海中學校考模擬預測）已知函數的最小正周期是，則______.
【答案】4
【解析】，
所以最小正周期是，所以.
故答案為：4
變式17．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考一模）設函數相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，則的最小值為__________．
【答案】/
【解析】因為函數相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數的周期，
，又，因此，即，
所以當時，.
故答案為：
變式18．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）函數的最小正周期為___________.
【答案】
【解析】，
所以，其最小正周期為.
故答案為：
變式19．（2023·內蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統考階段練習）設函數（，，是常數，，）．若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為_______．
【答案】/
【解析】在區間上具有單調性，區間的長度為，
區間的長度為，
由于，
所以的一條對稱軸為，其相鄰一個對稱中心為，即，
所以.
故答案為：
變式20．（2023·全國·高三專題練習）下列6個函數：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數的編號為___________.
【答案】①③⑤
【解析】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數，
由函數的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數，，最小正周期為，
故答案為：①③⑤
【解題方法總結】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
（1）函數的周期分別為，．
（2）函數，的周期均為
（3）函數的周期均．
題型四：函數的單調性
例10．（2023·河北石家莊·正定中學校考模擬預測）已知函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的值域為
B．的單調遞減區間為
C．為奇函數，
D．不等式的解集為
【答案】D
【解析】因為，
所以，所以，故選項A正確；
由得，
所以的單調遞減區間為，故選項B正確；
所以，
所以為奇函數，故選項C正確；
由得，
即
所以，
所以不等式的解集為，故選項D錯誤.
故選：D.
例11．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度得函數的圖象，則的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】將的圖象向右平移個單位長度后，
得到，即的圖象，
令，，
解得，，
所以的單調遞增區間為，.
故選：C.
例12．（2023·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數的圖象在上單調遞增
【答案】C
【解析】由函數圖象可知，最小正周期為，所以，
將點代入，得，
又，所以，故，故A錯誤；
所以，故B錯誤；
令，則，所以，，解得，，
所以不等式的解集為，故C正確；
將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，
解得，，
令得，因為，故D錯誤.
故選：C.
變式21．（2023·四川瀘州·統考三模）將函數的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數（ ）
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
【答案】B
【解析】函數的最小正周期是，選項AC中區間長度是一個周期，因此不可能單調，圖象左右平移后也不可能單調，AC錯；
函數的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數解析式為，
選項B，時，，在此區間上是減函數，B正確；
選項D，時，，在此區間上不是單調函數，D錯誤．
故選：B．
變式22．（2023·北京密云·統考三模）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
【答案】C
【解析】因為.
對于A選項，當時，
在上單調遞增，A錯；
對于B選項，當時，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
故B錯；
對于C選項，當時，
則在上單調遞減，C對；
對于D選項，當時，
則在上單調遞減，故D錯.
故選：C.
變式23．（2023·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若函數的圖象向左平移個單位長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】設函數的圖象向左平移單位長度后得到的函數圖象對應的函數為，由圖可知，函數的圖象的最小正周期為，
所以，
所以，
由，得，，，
所以，，取，得，
所以，所以，
所以由，得，即，
所以，，即，，
所以不等式的解集為（），
故選：C
變式24．（2023·全國·高一專題練習）的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圖可得，即，
結合圖象可得到在區間中，為最高點，對應的橫坐標為，
軸右側第一個最低點為，對應的橫坐標為，
故函數的單調遞減區間為
故選：B
變式25．（2023·四川涼山·高一校聯考期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，解得，
所以函數的單調遞增區間為.
故選：C
【解題方法總結】
三角函數的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數的單調區間的確定基本思想是吧看做是一個整體，
如由解出的范圍，所得區間即為增區間；
由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若函數中，可用誘導公式將函數變為，則的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
例13．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知函數，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的圖像向右平移個單位長度后，變為
，
因的圖象關于軸對稱，
所以為偶函數，
所以，,
即，,
因，所以，
故當時，實數取得最小值為，
故選：B
例14．（2023·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）已知，函數，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的值是______．
【答案】/
【解析】，函數的最小正周期為，，．
將的圖像向左平移個單位長度，可得的圖像，
根據所得圖像關于軸對稱，可得，，解得，，
又，則令，可得的值為．
故答案為：．
例15．（2023·上海松江·校考模擬預測）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.
【答案】6
【解析】顯然函數的圖象關于點成中心對稱，
依題意，函數的圖象與函數的圖象的交點關于點成中心對稱，
于是，所以.
故答案為：6
變式26．（2023·全國·高三對口高考）設函數的圖象關于點成中心對稱，若，則______.
【答案】
【解析】因為函數的圖象關于點成中心對稱，
所以，所以，所以
因為，所以時，.
故答案為：
變式27．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）函數向左平移個單位長度之后關于對稱，則的最小值為______.
【答案】1
【解析】向左平移個單位長度后，得，
因為函數關于對稱，
所以，,
，，
所以的最小值為1.
故答案為：1
變式28．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若，且直線為圖象的一條對稱軸，則的最小值為______．
【答案】5
【解析】由，得，
又，解得，所以，
又直線為圖象的一條對稱軸，
則有，，化簡得，，
又，故的最小值為5．
故答案為：.
變式29．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為________．
【答案】
【解析】的圖象關于點對稱，，即，令，可得的最小值為．
故答案為：
變式30．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象.若函數的圖象關于點對稱，則的最小值為______.
【答案】
【解析】由題可得，
的圖象關于點對稱，
所以，解得，
，故的最小值為.
故答案為：.
變式31．（2023·江西吉安·高三統考期末）記函數（）的最小正周期為，且的圖象關于對稱，當取最小值時，_______.
【答案】/
【解析】由的圖象關于對稱，則，，
∴（），
又∵，
∴當，的最小值為4，
此時，，
∴.
故答案為：.
變式32．（2023·福建寧德·高三校考階段練習）寫出滿足條件“函數的圖象關于直線對稱”的的一個值________．
【答案】（答案不唯一，滿足即可）
【解析】由題意可得：，則，
當時，.
故答案為：.
變式33．（2023·江西贛州·高三校聯考期中）已知函數圖象的一條對稱軸為．若,則的最大______．
【答案】
【解析】由題知.
所以
因為,所以當取最大值
故答案為：
變式34．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）曲線的一個對稱中心為______（答案不唯一）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】，
令或，
則或，
令，則.所以函數的一個對稱中心是.
故答案為：（答案不唯一）.
變式35．（2023·甘肅武威·甘肅省武威第一中學校考模擬預測）函數圖象的一個對稱中心的坐標是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，解得,則圖象的對稱中心的坐標是．
當時，，則是圖像的一個對稱中心．
故答案為：（答案不唯一）.
【解題方法總結】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型六：函數的定義域、值域（最值）
例16．（2023·全國·高三專題練習）實數滿足，則的范圍是___________.
【答案】
【解析】.故令，.
則原式，故.
故答案為：.
例17．（2023·河北·校聯考一模）函數的最小值為__________.
【答案】/
【解析】因為，所以當時，，此時的最小值為.
故答案為：
例18．（2023·湖南長沙·長郡中學校考模擬預測）若函數的最小值為，則常數的一個取值為___________.（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）.
【解析】可化為，
所以，
設，
則，設，
則，
因為函數的最小值為，
所以，，
所以或，其中，
故答案為：（答案不唯一）.
變式36．（2023·全國·高三對口高考）的最小值為__________.
【答案】
【解析】，
所以當，時，取得最小值.
故答案為：．
變式37．（2023·上海嘉定·校考三模）若關于的方程在上有實數解，則實數的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】原方程
等價于
即函數，在上有交點，
∵，∴，，故，
則.
故答案為：
變式38．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）函數的值域為__________．
【答案】
【解析】因為，
又，所以，則，
即函數的值域為.
故答案為：.
變式39．（2023·上海·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為______．
【答案】
【解析】當時，，
則，所以，
所以函數的值域為.
故答案為：
變式40．（2023·全國·高三專題練習）設函數，，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
.
因為，所以，所以，
所以，即函數的最小值為.
故答案為：.
變式41．（2023·全國·高三專題練習）設，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】設，由，得，
又由，得，
所以，
令，，
當時，時，即當時，
原函數取到最小值.
故答案為：.
變式42．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，該函數的最大值為__________．
【答案】
【解析】由題意，函數，
令且，則，
從而， 令，解得或，
當時，；當時，；
當時，，
所以在上單調遞減；在上單調遞增；在上單調遞減．
因為，，所以的最大值為.
故答案為：.
變式43．（2023·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，
所以，
，
當且僅當時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
變式44．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學校考模擬預測）函數的值域是___________.
【答案】
【解析】因為
又因為,
所以當時,取得最小值 -1 ,
當時,取得最大值 2 , 故的值域是.
故答案為：
變式45．（2023·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是________.
【答案】
【解析】解法一：，
，可得．
，
令，，
顯然函數在上單調遞增，，，即，
的取值范圍是．
解法二：由得，設，即，
則
令，，，，顯然在上單調遞增，
所以，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：
變式46．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為_____________．
【答案】
【解析】令，，
則，即，
所以，
又因為，所以，
即函數的值域為．
故答案為：.
變式47．（2023·全國·高三專題練習）函數的最大值為______．
【答案】2
【解析】，其中，，.
∵，，
∴，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∵
∴當時，取得最大值．
故答案為：
變式48．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為______．
【答案】
【解析】的定義域滿足 ，即 .
故答案為：.
變式49．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為______.
【答案】
【解析】設，因為，可得，
因為正切函數在上的值域為，
即函數在的值域為.
故答案為：.
變式50．（2023·江西·校聯考模擬預測）函數的最大值為________．
【答案】/
【解析】∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．
故答案為：
【解題方法總結】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設，化為一次函數在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設，化為二次函數在閉區間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設，則，故，故原函數化為二次函數在閉區間上的最值求解．
（5）與，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數求解釋務必注意或的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
題型七：三角函數性質的綜合
例19．（多選題）（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知函數（）的圖象與函數的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（ ）
A． B．
C．函數是偶函數 D．在上單調遞增
【答案】AD
【解析】由題意，函數與的最小正周期相同，則，且.
當時，，其一個對稱中心為，
也是的一個對稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；
當時，，其一個對稱中心為，
也是的一個對稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極小值，滿足題意.
，，A項正確，B項不正確；
，不是偶函數，C項不正確；
當時，，函數在上單調遞減，則在上單調遞增，D項正確.
故選：AD
例20．（多選題）（2023·廣東潮州·統考模擬預測）設函數，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（ ）
A．在單調遞減
B．的一條對稱軸為
C．的周期為
D．把函數的圖象向左平移個長度單位得到函數的解析式為
【答案】AB
【解析】根據輔助角公式得．
最小正周期為，，，即．
函數過點，，
，則．
當時．即．
令，則，
當時，在單調遞減，故A正確．
令，則，
當時，的一條對稱軸為，故B正確．
因為為偶函數，所以，
則的周期為且，故C錯誤．
函數的圖象向左平移個長度單位得到函數的解析式為，故D錯誤．
故選：AB．
例21．（多選題）（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．的最大值為2
B．是偶函數
C．在上單調遞增
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于點對稱
【答案】AB
【解析】因為函數的圖象關于對稱，
所以，解得，
所以，其最大值為2，故A正確；
令，
定義域為，，
所以即是偶函數，故B正確；
時，，在單調遞增，
在單調遞減，故C錯誤；
把的圖象向左平移個單位長度，得到函數
的圖象，
因為，
所以的圖象不關于點對稱，故D錯誤.
故選：AB
變式51．（多選題）（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱
C．函數的最小正周期為
D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】由，故必有一個最大值和一個最小值，
則為半個周期長度，故正確；
由題意的圖象關于軸對稱，B正確；
的最小正周期為C錯誤.
，在上有且僅在3個零點，
結合正弦函數的性質知：，則，D正確；
故選：ABD
變式52．（多選題）（2023·海南·高三校聯考期末）已知函數，，恒成立，在上單調，則（ ）
A．
B．將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象
C．
D．若函數在上有5個零點，則
【答案】AB
【解析】因為，所以是函數的一個零點，所以①，
又因為對恒成立，所以時取得最小值，
即②，則①減②可得：，
又因為在上單調，所以，
則，結合，所以，
所以，，
則，，又因為，
所以，故A正確；
所以，
將的圖象向左平移個單位長度后得到，故B正確；
，故C錯誤；
函數在上有5個零點，令，
即與的圖象有5個交點，畫出與的圖象如下，

，，
由圖可知，當時，與的圖象有5個交點，
即函數在上有5個零點,故D錯誤.
故選：AB
變式53．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論不正確的是（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期為
C．在區間上單調遞增 D．的最小值為1
【答案】BC
【解析】因為，，所以是偶函數，A正確；顯然是周期函數，
因為，所以B錯誤；因為當時，
所以在區間上單調遞增，在上單調遞減，C錯誤；
因為
當時，設，則，
同理：當時，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.
故選：BC.
變式54．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數，下列敘述正確的有（ ）
A．的周期為2π； B．是偶函數；
C．在區間上單調遞減； D．x1，x2∈R，
【答案】BC
【解析】是偶函數，不是周期函數，是偶函數，是周期函數，最小正周期為，故不是周期函數，A錯誤，B正確；當時，，因為，在次區間上單調遞減，故在區間上單調遞減，C正確；
當時，，，，即，D選項錯誤.
故選：BC
變式55．（多選題）（2023·重慶·統考模擬預測）聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論正確的是（ ）
A．的一個周期為 B．的最小值為
C．的圖象關于點對稱 D．在區間上有3個零點
【答案】ACD
【解析】選項A：
故的一個周期為，A正確.
選項B：
，當，時，取得最小值，
，當，時即，時，取得最小值，
所以兩個函數不可能同時取得最小值，所以的最小值不是，故B錯誤.
選項C：
，
，
所以，
所以的圖象關于點對稱，C正確，
選項D：
，
得，或，
得，或，，
故區間中的根為，，，
故D正確.
故選：ACD
變式56．（2023·全國·高三專題練習）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數存在；
若選條件②：因為在上單調遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
變式57．（2023·江西贛州·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在內的零點.
【解析】（1）由圖象可得，
，則，即，
∴，
由圖象得，即，
∴，，則，，
又，∴，
故；
（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），
再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函，
∴，
令，則或，
解得，，或，，
又，∴或，
即函數在內的零點為0與.
變式58．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學校考三模）已知函數在區間上單調，其中，，且．
(1)求的圖象的一個對稱中心的坐標；
(2)若點在函數的圖象上，求函數的表達式．
【解析】（1）由函數在區間上單調，
且，可知，
故的圖象的一個對稱中心的坐標為
（2）由點在函數的圖象上，
有，又由，
，
可知函數在區間上單調遞減，
由函數的圖象和性質，
有，
又，有，
將上面兩式相加，有，
有，
又由，可得，
則，
又由函數在區間上單調，
有，可得，可得，
故．
變式59．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函數的最小正周期為
①求的值；
②當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍
【解析】（1）依題意，
，
當時，，
（2）①由（1）知，
最小正周期，得，
②當時， ，當時，
，當，即時，的最大值為2，
不等式恒成立，即恒成立，
整理為，恒成立，
當時，恒成立，
當時，，得，
綜上可得，，
當時， ，當時，
，當，即時，的最大值為0
不等式恒成立，即恒成立，
整理為，恒成立，
當時，恒成立，
當時，，得，
綜上可得，，
綜上可知，當時，，當時，.
變式60．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）某港口在一天之內的水深變化曲線近似滿足函數，其中為水深（單位：米），為時間（單位：小時），該函數圖像如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內至多能在港口停留多久？
【解析】（1）由圖知，，，，
所以，將點代入得，
結合解得，
所以函數的解析式.
（2）貨船需要的安全水深為米，所以當時貨船可以停留在港口.
由得，得，
即，
當時，，當時，，
所以該船一天之內至多能在港口停留小時.
變式61．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）已知函數的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，______；
①若將的圖像向右平移個單位，所得函數為奇函數．
②若將的圖像向左平移個單位，所得函數為偶函數，
在①，②兩個條件中選擇一個補充在______并作答
(1)若，求的取值范圍；
(2)設函數的零點為，求的值．
【解析】（1）因為函數的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，
所以，解得，所以，
選①：
當將的圖像向右平移個單位，得到函數，
因為為奇函數，所以，即，
因為 ，所以，則
則，
因為，所以，則，
所以.
選②：的圖像向左平移個單位，得到函數，
因為函數為偶函數，所以，即.
因為 ，所以，則
則，
因為，所以，則，
所以.
（2）因為函數的零點為，
所以，則，
所以，
.
變式62．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若方程在上有解，求實數的取值范圍.
【解析】（1）由函數的圖象知：，則，
所以，，
因為，
所以，則，
又因為，則，
所以；
（2）由題意得：，
令，
則化為：，
即在上有解，
由對勾函數的性質得：，
所以.
【解題方法總結】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖像關于軸對稱，則函數為偶函數）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）
題型八：根據條件確定解析式
方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數的部分圖像，求函數解析式．
例22．（2023·甘肅金昌·高三統考階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，設使成立的a的最小正值為m，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】使成立的a即為的對稱中心的橫坐標，
∴a的最小正值為，
由圖可知，，，∴，
將點代入，得，
∴，，
，，∵，∴取，
∴，∴，
∴.
故選：B.
例23．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中學校考開學考試）已知函數（為常數，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，所以，故，
因為，，所以，，
即 .
又因為，解得.
即.
將的圖像向左平移個單位長度，
得到函數.
故選：A
例24．（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的函數圖象的解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由題中函數圖象可知：.
最小正周期為，所以，，
將點代入函數解析式中，得，
所以，，即，.
因為，所以，故，.
把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，
得到函數圖象的解析式為，；
再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），
得到函數圖象的解析式為，.
故選：D
變式63．（2023·全國·高三專題練習）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圖象可得，可得，
，可得，
由于函數在附近單調遞減，且，，
由圖象可知，函數的最小正周期滿足，可得，
，則，
所以，解得，
，所以，，因此．
故選：D．
變式64．（2023·北京通州·統考模擬預測）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由圖知：，則，故，
則，
由，則，
所以，，
又，故，
綜上，，
故選：C.
變式65．（2023·寧夏·高三銀川一中校考階段練習）已知函數，，，的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為_______________.
【答案】
【解析】由圖象得到的最大值為，所以
將點、代入解析式，
，因為，，可得，
所以
故答案為：．
變式66．（2023·江蘇南京·高三統考期中）設函數，（其中，）的部分圖象如圖，則函數的解析式為_______.
【答案】
【解析】由過求的值，根據五點畫法坐標求出，即可求出結論.過點，
，或，
函數在軸右側第一個最高點坐標為
若時，，
若時，（舍去），
.
故答案為:.
方向二：知性質（如奇偶性、單調性、對稱性、最值），求解函數解析式（即的值的確定）
變式67．（2023·全國·模擬預測）已知函數，當時，的最小值為，則______；若將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域為______．
【答案】
【解析】易知的最大值和最小值分別為和，
因為，所以、一個為的最大值點，
一個為的最小值點，
設函數的最小正周期為，則由的最小值為，
得，所以，則，
所以．
將函數的圖象向左平移個單位長度后，
所得圖象對應的函數為，
令，則，
可得，
，所以，，
所以，所以，
所以，
若，則，
則，則.
故在上的值域為．
故答案為：；．
變式68．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）某函數滿足以下三個條件：
①是偶函數；②；③的最大值為4．
請寫出一個滿足上述條件的函數的解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為是偶函數，所以的圖象關于y軸對稱，
因為，所以，即
所以的圖象關于點對稱，所以4為的一個周期，
又的最大值為4，所以滿足條件.
故答案為：（答案不唯一）
變式69．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，且，寫出一個滿足條件的函數的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案為：（答案不唯一）.
變式70．（2023·河北·校聯考模擬預測）已知函數的圖象過點，且相鄰兩個零點的距離為.若將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則函數的解析式為___________.
【答案】
【解析】的相鄰兩個零點的距離為，的最小正周期，；
又，，解得：，
又，，，
.
故答案為：.
變式71．（2023·全國·高三專題練習）已知，滿足，，且在上有且僅有5個零點，則此函數解析式為_____________．
【答案】
【解析】因為，令，
則，即，
所以是圖像的對稱中心，
又，令，
則，即，
所以是圖像的對稱軸，
所以，得，
令，則，所以，
因為在上有且只有5個零點，所以，又，
即，所以，得，代入上式，得，
又，所以，所以.
故答案為：
變式72．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）已知函數（，）滿足，其圖象與軸在原點右側的第一個交點的坐標為，則函數的解析式為__________.
【答案】或
【解析】因為滿足，所以圖象關于對稱，
因為圖象與軸在原點右側的第一個交點的坐標為，
所以，所以，
所以即，所以，，
解得：，，
因為，所以或
所以或.
故答案為：或.
變式73．（2023·全國·高三專題練習）函數(，)為偶函數，且函數的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，則的解析式為________.
【答案】
【解析】∵函數，
∴，
由題意得，
∴，則.
∵為偶函數，
∴，
∴，，
又∵，
故，
即，
∴.
故答案為：
變式74．（2023·上海虹口·統考一模）設函數（其中,）,若函數圖象的對稱軸與其對稱中心的最小距離為,則______．
【答案】
【解析】解:由題知,因為對稱軸與對稱中心的最小距離為,
所以,即,
所以,此時,
因為對稱軸為,
故有:,
即,
因為,
所以,
故.
故答案為:
【解題方法總結】
根據函數必關于軸對稱，在三角函數中聯想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．
題型九：三角函數圖像變換
例25．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）如圖，函數的圖像過兩點，為得到函數的圖像，應將的圖像（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】D
【解析】
代入得 即
即
對于A選項，
,故A錯誤
對于B選項
，故B錯誤
對于C選項
，故C錯誤
對于D選項，
，故D正確
故選：D
例26．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，
由題意可得，可得，當時，，
故選：D.
例27．（2023·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考開學考試）已知把函數的圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知，
，
且
，
，
即，
解得，當時，取得最小正值，
.
故選：C.
變式75．（2023·全國·高三專題練習）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】A
【解析】由題意，由于函數，
觀察發現可由函數向左平移個單位長度，得到函數的圖象，
故選：A.
變式76．（2023·青海西寧·統考二模）為了得到函數圖象，只要將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
B．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變
【答案】A
【解析】只要將的圖象向左平移個單位長度，得到函數 的圖象，
再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，即A正確；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的是函數的圖象，故B錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的是函數的圖象，故C錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的是函數的圖象，故D錯誤；
故選：A
變式77．（2023·全國·高三專題練習）若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】因為，
故將已知轉化為要得到函數的圖象，
又，
所以將的圖象向右平移個單位長度即可得到的圖象.
故選：D
變式78．（2023·陜西·統考模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
B．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象
C．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
D．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象
【答案】A
【解析】由圖象可知，函數的最小正周期為，則，，
，則，可得，
，所以，，
所以，，
因此，將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象.
故選：A.
變式79．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）已知曲線，則下面結論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】C
【解析】曲線，
把上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得的圖象；
再把得到的曲線向左平移個單位長度，可以得到曲線的圖象.
故選：C.
變式80．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，將函數的圖象經過下列哪種可以與 的圖象重合（ ）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】C
【解析】，
將函數的圖象向右平移個單位：；
故選：C
【解題方法總結】
由函數的圖像變換為函數的圖像．
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
題型十：三角函數模型
例28．（2023·江西贛州·高三校聯考階段練習）如圖，摩天輪的半徑為m，其中心點距離地面的高度為m，摩天輪按逆時針方向勻速轉動，且轉一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉動過程中下列說法正確的是（ ）

A．轉動后點距離地面
B．若摩天輪轉速減半，則轉動一圈所需的時間變為原來的
C．第和第點距離地面的高度相同
D．摩天輪轉動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間長為
【答案】D
【解析】設轉動過程中，點離地面距離的函數為：
，
由題意得：，
，則 ，
所以 ，
選項A，轉到后，點距離地面的高度為：
，故A不正確；
選項B，若摩天輪轉速減半，則轉動一圈所需的時間變為原來的2倍，
故B不正確；
選項C，因為
，
，
所以 ，
即第和第點距離地面的高度不相同，故C不正確；
選項D，令，
則 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天輪轉動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間為，
故D正確；
故選：D.
例29．（2023·全國·高三專題練習）2019年長春市新地標——“長春眼”在摩天活力城Mall購物中心落成，其樓頂平臺上的空中摩天輪的半徑約為40m，圓心O距地面的高度約為60m，摩天輪逆時針勻速轉動，每15min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時P距離地面的高度，當距離地面的高度在以上時可以看到長春的全貌，則在轉一圈的過程中可以看到整個城市全貌的時間約為（ ）
A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
【答案】B
【解析】由題意可知摩天輪運動一周距離底面的最高點為(60+40)米與最低點(60-40)米，相差80米，
∴；運動一周15分鐘，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故時間長為min.
故選：B
例30．（2023·重慶·高三統考階段練習）某鐘表的秒針端點到表盤中心的距離為，秒針繞點勻速旋轉，當時間時，點與表盤上標“12”處的點重合．在秒針正常旋轉過程中，，兩點的距離（單位：）關于時間（單位：）的函數解析式為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函數的定義域為，周期為，且時，，
對于選項A，函數周期為，A錯誤；
對于選項B，函數周期為，B錯誤；
對于選項D，當時，，D錯誤；
對于選項C，
，
所以函數，
故選：C.
變式81．（2023·全國·高三專題練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時8秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則的表達式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因點在水車上，所以.
由題可知的最小正周期為8，則，又，則.
因，則，又，故.
綜上：.
故選：D
變式82．（2023·全國·高三專題練習）一個大風車的半徑為8m，勻速旋轉的速度是每12min旋轉一周.它的最低點離地面2m，風車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉，點離地面距離與時間之間的函數關系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】以過風車中心垂直于地面的豎直向上的直線為y軸，該直線與地面的交點為原點，建立坐標系，如圖，
依題意，設函數解析式為，
顯然，則，，
函數的周期，則，因當時，，即有，則，
于是得，
所以點離地面距離與時間之間的函數關系式是.
故選：C
【解題方法總結】
（1）研究的性質時可將視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
1．（2023 甲卷）已知為函數向左平移個單位所得函數，則與的交點個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】把函數向
左平移個單位可得
函數的圖象，
而直線經過點，且斜率為，
且直線還經過點，、
，，
，
，如圖，
故與的交點個數為3．
故選：．
2．（2023 乙卷）已知函數在區間，單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根據題意可知，
，取，，
又根據“五點法“可得，，
，，
，
．
故選：．
3．（2023 上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】由給定區間可知，．
區間，與區間，相鄰，且區間長度相同．
取，則，，區間，，可知，，故可能；
取，則，，，區間，，，可知，，故可能；
取，則，，，區間，，，可知，，故可能．
結合選項可得，不可能的是，．
故選：．第03講 三角函數的圖象與性質
目錄
考點要求 考題統計 考情分析
（1）理解正、余弦函數在區間內的性質．理解正切函數在區間內的單調性． （2）了解函數的物理意義，能畫出的圖像，了解參數對函數圖像的影響． （3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題． 2023年甲卷第12題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年I卷第15題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意識．
知識點一：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
知識點二：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中）
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
知識點三：與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少．
【解題方法總結】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型一：五點作圖法
例1．（2023·湖北·高一荊州中學校聯考期中）要得到函數的圖象，可以從正弦函數或余弦函數圖象出發，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．
(1)由圖象變換得到函數的圖象，寫出變換的步驟和函數；
(2)用“五點法”畫出函數在區間上的簡圖．

(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數在上的圖像；
(2)求，的單調遞增區間；
(3)當時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.
例3．（2023·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯考階段練習）函數.
(1)請用五點作圖法畫出函數在上的圖象；（先列表，再畫圖）
(2)設，，當時，試研究函數的零點的情況.
【解題方法總結】
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
題型二：函數的奇偶性
例4．（2023·全國·高三專題練習）函數，則（ ）
A．若，則為奇函數 B．若，則為偶函數
C．若，則為偶函數 D．若，則為奇函數
例5．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）使函數為偶函數，則的一個值可以是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，若函數是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·北京·高三專題練習）已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·浙江·高三期末）將函數的圖象向右平移個單位得到一個奇函數的圖象，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2023·廣東·高三統考學業考試）函數是（ ）
A．最小正周期為π的奇函數 B．最小正周期為π的偶函數
C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的偶函數
變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
變式5．（2023·山東·高三專題練習）設函數，如果，則的值是（ ）
A．-10 B．8 C．-8 D．-7
【解題方法總結】
由是奇函數和是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若為奇函數，則；
（2）若為偶函數，則；
（3）若為奇函數，則；
（4）若為偶函數，則；
若為奇函數，則，該函數不可能為偶函數．
題型三：函數的周期性
例7．（2023·湖北襄陽·高三襄陽五中校考開學考試）已知，，是函數的兩個零點，且的最小值為，若將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·河北·高三校聯考階段練習）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2023·高三課時練習）函數（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是______.
變式7．（2023·河北衡水·高三河北深州市中學校考階段練習）下列函數中，最小正周期為的奇函數是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2023·全國·高三專題練習）函數對于，都有，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，如果存在實數，使得對任意的實數，都有成立，則的最小值為
A． B． C． D．
變式10．（2023·北京·北京市第一六一中學校考模擬預測）設函數在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（ ）
A． B．
C． D．
變式11．（2023·全國·高三對口高考）函數的最小正周期是__________.
變式12．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）函數的最小正周期是______．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.則__________.
變式14．（2023·四川遂寧·統考三模）已知函數，，，且，則=_____
變式15．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知函數，則函數的最小正周期是__________．
變式16．（2023·上海·上海中學校考模擬預測）已知函數的最小正周期是，則______.
變式17．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考一模）設函數相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，則的最小值為__________．
變式18．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）函數的最小正周期為___________.
變式19．（2023·內蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統考階段練習）設函數（，，是常數，，）．若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為_______．
變式20．（2023·全國·高三專題練習）下列6個函數：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數的編號為___________.
【解題方法總結】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
（1）函數的周期分別為，．
（2）函數，的周期均為
（3）函數的周期均．
題型四：函數的單調性
例10．（2023·河北石家莊·正定中學校考模擬預測）已知函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的值域為
B．的單調遞減區間為
C．為奇函數，
D．不等式的解集為
例11．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點向右平移個單位長度得函數的圖象，則的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數的圖象在上單調遞增
變式21．（2023·四川瀘州·統考三模）將函數的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數（ ）
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
變式22．（2023·北京密云·統考三模）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
變式23．（2023·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若函數的圖象向左平移個單位長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
變式24．（2023·全國·高一專題練習）的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
變式25．（2023·四川涼山·高一校聯考期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
三角函數的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數的單調區間的確定基本思想是吧看做是一個整體，
如由解出的范圍，所得區間即為增區間；
由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若函數中，可用誘導公式將函數變為，則的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
例13．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知函數，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2023·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）已知，函數，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的值是______．
例15．（2023·上海松江·校考模擬預測）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.
變式26．（2023·全國·高三對口高考）設函數的圖象關于點成中心對稱，若，則______.
變式27．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）函數向左平移個單位長度之后關于對稱，則的最小值為______.
變式28．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若，且直線為圖象的一條對稱軸，則的最小值為______．
變式29．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為________．
變式30．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象.若函數的圖象關于點對稱，則的最小值為______.
變式31．（2023·江西吉安·高三統考期末）記函數（）的最小正周期為，且的圖象關于對稱，當取最小值時，_______.
變式32．（2023·福建寧德·高三校考階段練習）寫出滿足條件“函數的圖象關于直線對稱”的的一個值________．
變式33．（2023·江西贛州·高三校聯考期中）已知函數圖象的一條對稱軸為．若,則的最大______．
變式34．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）曲線的一個對稱中心為______（答案不唯一）.
變式35．（2023·甘肅武威·甘肅省武威第一中學校考模擬預測）函數圖象的一個對稱中心的坐標是______．
【解題方法總結】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型六：函數的定義域、值域（最值）
例16．（2023·全國·高三專題練習）實數滿足，則的范圍是___________.
例17．（2023·河北·校聯考一模）函數的最小值為__________.
例18．（2023·湖南長沙·長郡中學校考模擬預測）若函數的最小值為，則常數的一個取值為___________.（寫出一個即可）
變式36．（2023·全國·高三對口高考）的最小值為__________.
變式37．（2023·上海嘉定·校考三模）若關于的方程在上有實數解，則實數的取值范圍是__________.
變式38．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）函數的值域為__________．
變式39．（2023·上海·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為______．
變式40．（2023·全國·高三專題練習）設函數，，則的最小值為________.
變式41．（2023·全國·高三專題練習）設，則的最小值為__________.
變式42．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，該函數的最大值為__________．
變式43．（2023·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
變式44．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學校考模擬預測）函數的值域是___________.
變式45．（2023·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是________.
變式46．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為_____________．
變式47．（2023·全國·高三專題練習）函數的最大值為______．
變式48．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為______．
變式49．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為______.
變式50．（2023·江西·校聯考模擬預測）函數的最大值為________．
【解題方法總結】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設，化為一次函數在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設，化為二次函數在閉區間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設，則，故，故原函數化為二次函數在閉區間上的最值求解．
（5）與，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數求解釋務必注意或的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
題型七：三角函數性質的綜合
例19．（多選題）（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知函數（）的圖象與函數的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（ ）
A． B．
C．函數是偶函數 D．在上單調遞增
例20．（多選題）（2023·廣東潮州·統考模擬預測）設函數，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（ ）
A．在單調遞減
B．的一條對稱軸為
C．的周期為
D．把函數的圖象向左平移個長度單位得到函數的解析式為
例21．（多選題）（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．的最大值為2
B．是偶函數
C．在上單調遞增
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于點對稱
變式51．（多選題）（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱
C．函數的最小正周期為
D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為
變式52．（多選題）（2023·海南·高三校聯考期末）已知函數，，恒成立，在上單調，則（ ）
A．
B．將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象
C．
D．若函數在上有5個零點，則
變式53．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論不正確的是（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期為
C．在區間上單調遞增 D．的最小值為1
變式54．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數，下列敘述正確的有（ ）
A．的周期為2π； B．是偶函數；
C．在區間上單調遞減； D．x1，x2∈R，
變式55．（多選題）（2023·重慶·統考模擬預測）聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論正確的是（ ）
A．的一個周期為 B．的最小值為
C．的圖象關于點對稱 D．在區間上有3個零點
變式56．（2023·全國·高三專題練習）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
變式57．（2023·江西贛州·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在內的零點.
變式58．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學校考三模）已知函數在區間上單調，其中，，且．
(1)求的圖象的一個對稱中心的坐標；
(2)若點在函數的圖象上，求函數的表達式．
變式59．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函數的最小正周期為
①求的值；
②當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍
變式60．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）某港口在一天之內的水深變化曲線近似滿足函數，其中為水深（單位：米），為時間（單位：小時），該函數圖像如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內至多能在港口停留多久？
變式61．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）已知函數的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，______；
①若將的圖像向右平移個單位，所得函數為奇函數．
②若將的圖像向左平移個單位，所得函數為偶函數，
在①，②兩個條件中選擇一個補充在______并作答
(1)若，求的取值范圍；
(2)設函數的零點為，求的值．
變式62．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若方程在上有解，求實數的取值范圍.
【解題方法總結】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖像關于軸對稱，則函數為偶函數）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）
題型八：根據條件確定解析式
方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數的部分圖像，求函數解析式．
例22．（2023·甘肅金昌·高三統考階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，設使成立的a的最小正值為m，，則（ ）
A． B． C． D．
例23．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中學校考開學考試）已知函數（為常數，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式可以為（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的函數圖象的解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式63．（2023·全國·高三專題練習）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
變式64．（2023·北京通州·統考模擬預測）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
變式65．（2023·寧夏·高三銀川一中校考階段練習）已知函數，，，的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為_______________.
變式66．（2023·江蘇南京·高三統考期中）設函數，（其中，）的部分圖象如圖，則函數的解析式為_______.
方向二：知性質（如奇偶性、單調性、對稱性、最值），求解函數解析式（即的值的確定）
變式67．（2023·全國·模擬預測）已知函數，當時，的最小值為，則______；若將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域為______．
變式68．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）某函數滿足以下三個條件：
①是偶函數；②；③的最大值為4．
請寫出一個滿足上述條件的函數的解析式______．
變式69．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，且，寫出一個滿足條件的函數的解析式：___________.
變式70．（2023·河北·校聯考模擬預測）已知函數的圖象過點，且相鄰兩個零點的距離為.若將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則函數的解析式為___________.
變式71．（2023·全國·高三專題練習）已知，滿足，，且在上有且僅有5個零點，則此函數解析式為_____________．
變式72．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）已知函數（，）滿足，其圖象與軸在原點右側的第一個交點的坐標為，則函數的解析式為__________.
變式73．（2023·全國·高三專題練習）函數(，)為偶函數，且函數的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，則的解析式為________.
變式74．（2023·上海虹口·統考一模）設函數（其中,）,若函數圖象的對稱軸與其對稱中心的最小距離為,則______．
【解題方法總結】
根據函數必關于軸對稱，在三角函數中聯想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．
題型九：三角函數圖像變換
例25．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）如圖，函數的圖像過兩點，為得到函數的圖像，應將的圖像（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
例26．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
例27．（2023·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考開學考試）已知把函數的圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
變式75．（2023·全國·高三專題練習）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
變式76．（2023·青海西寧·統考二模）為了得到函數圖象，只要將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
B．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變
變式77．（2023·全國·高三專題練習）若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
變式78．（2023·陜西·統考模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
B．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象
C．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
D．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象
變式79．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）已知曲線，則下面結論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
變式80．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，將函數的圖象經過下列哪種可以與 的圖象重合（ ）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【解題方法總結】
由函數的圖像變換為函數的圖像．
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
題型十：三角函數模型
例28．（2023·江西贛州·高三校聯考階段練習）如圖，摩天輪的半徑為m，其中心點距離地面的高度為m，摩天輪按逆時針方向勻速轉動，且轉一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉動過程中下列說法正確的是（ ）

A．轉動后點距離地面
B．若摩天輪轉速減半，則轉動一圈所需的時間變為原來的
C．第和第點距離地面的高度相同
D．摩天輪轉動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間長為
例29．（2023·全國·高三專題練習）2019年長春市新地標——“長春眼”在摩天活力城Mall購物中心落成，其樓頂平臺上的空中摩天輪的半徑約為40m，圓心O距地面的高度約為60m，摩天輪逆時針勻速轉動，每15min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時P距離地面的高度，當距離地面的高度在以上時可以看到長春的全貌，則在轉一圈的過程中可以看到整個城市全貌的時間約為（ ）
A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
例30．（2023·重慶·高三統考階段練習）某鐘表的秒針端點到表盤中心的距離為，秒針繞點勻速旋轉，當時間時，點與表盤上標“12”處的點重合．在秒針正常旋轉過程中，，兩點的距離（單位：）關于時間（單位：）的函數解析式為（ ）
A．
B．
C．
D．
變式81．（2023·全國·高三專題練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時8秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則的表達式為（ ）
A． B．
C． D．
變式82．（2023·全國·高三專題練習）一個大風車的半徑為8m，勻速旋轉的速度是每12min旋轉一周.它的最低點離地面2m，風車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉，點離地面距離與時間之間的函數關系式是（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
（1）研究的性質時可將視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
1．（2023 甲卷）已知為函數向左平移個單位所得函數，則與的交點個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023 乙卷）已知函數在區間，單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則　　
A． B． C． D．
3．（2023 上海）已知，記在，的最小值為，在，的最小值為，則下列情況不可能的是　　
A．， B．， C．， D．，

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