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四、反比例函數與全等三角形
丟分題精析
例1 如圖(a),直線 交坐標軸于 A,B 兩點,與直線y=x交于C 點,以 AC為直角邊作等腰直角三角形ACD，D點在第二象限.反比例函數 經過D點，CD交y軸于E點.
(1)求k的值.
(2)求OE+AE的值.
解:(1)聯立 得 ∴C(7,7),如圖(a),過 C點作CM⊥x軸于 M,過 D點作 DN⊥x軸于 N,可證得△ACM≌△DAN,又∵A(3,0),∴D(-4,4),∴k=-16.
(2)如圖(b),過 D 點作 DN⊥x軸,DH⊥y軸于 H,在ON上截得 NK=EH,易證△DNK≌△DHE,得 DK=DE,且∠NDK=∠HDE,∴∠KDE=90°,又∵∠ADC=45°
∴△AKD≌△AED(SAS),∴AE=AK,
∴OE+AE=OH+EH+AK=OH+NK+AK=OH+AN=4+7=11.
提示：在三角形全等的證明題中，通常需得證二次全等，利用第一次全等得出的結論，作為第二次全等的條件.
例2 在平面直角坐標系中,A(a,0),B(0,b),且滿足 點 C,B關于x軸對稱.
(1)求 A,C兩點坐標.
(2)如圖(a),點 M為x軸上A 點右側的點,過點M作MN⊥CM交直線AB 于N,連BM,反比例函數 經過 N點，當 時，求k的值.
(3)如圖(b)，點 P 為第二象限角平分線點一動點，將射線 BP 繞 BL點逆時斜旋轉. 交x軸于點Q,連 PQ,若. ,求 BQ的長.
解:(1)a=4,b=-4,∴A(4,0),B(0,-4),C(0,4).
(2)如圖(c),作 EM⊥x軸交BA 于 E 點,連 AC.先證 ,得 CM=NM,再證△COM≌△MFN,得 NF=OM,又∵
∴NF= OB,∴NF=6,∴N(10,6),∴k=60.
(3)如圖(d),分別過P 點作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,PH⊥PQ交y軸于H,在△PMQ 和△PNH中,
∴△PMQ≌△PNH(ASA),∴PQ=PH,
∴△PBQ≌△PBH(SAS),∴∠HBP=∠QBP=30°,∴∠OBQ=60°,
∴BQ=2OB=8.
提示：利用全等求點的坐標而后求k值，是求反比例函數解析式常用的方法.經多次全等才可求得答案的題應給予更多關注.
例3 如圖(a),△ACO為等腰直角三角形,C為直角頂點,AC=OC,C(-1,3).
(1)求 A 點坐標.
(2)如圖(b),AE⊥AC交x軸于E 點,F 為AC 上的點,連 EF 交 OC 的延長線于 H,反比例函數 經過F點,當EH=OH時,求k的值.
(3)如圖(c),若. 繞 O 點旋轉時,過 C 點作( 軸于 N,M 為 AO 的中點,問 的大小是否發生變化 若不變，求其值；若變化，說明理由.
解:(1)A(-4,2).
(2)如圖(d),延長 AE 并作OK⊥AE 于K,此時四邊形 ACOK 為正方形, ∴∠HEO=∠HOE,又∵AK∥CO,∴∠HOE=∠KEO,作( 于G,∵OE為∠GEK 的平分線,∴OG=OK=OC,
∴△OFG≌△OFC,∴∠FOG=∠FOC,又∵.
∴∠FOE=45°,∴直線 OF 的解析式為:y=-x,又∵A(-4,2),C(-1,3),∴直線AC的解析式為： 聯立起來
3
(3)如圖(e),連 CM,則 CM=OM,CM⊥OM,在 y 軸上截OH=CN,在 和△HOM中,
∴△NCM≌△HOM,∴MN=MH,∠CMN=∠OMH,
∴△MNH 為等腰直角三角形,∴∠MNO=45°.
提示：角平分線、平行線、等腰三角形稱為關聯三要素.在平面幾何證明中，常常會出現“你中有我、我中有你”，因而要學會聯想，作輔助線予以構造.
丟分題精練
1.如圖，直線 交坐標軸于A，B 兩點，線段AB 的垂直平分線與直線y=x交于C點， 反比例函數 經過C點，求k的值.
2.如圖，已知直線. )交坐標軸于 A，B 兩點，以AB 為斜邊作等腰直角三角形ABC,C在第四象限,連OC.
(1)寫出OA,OB,OC 三線段之間的數量關系.
(2)當 時，反比例函數 剛好經過C點，求m的值.
3.如圖(a),點 A(a,b),B(m,-2),C(-3,n)都在雙曲線 上,直線 AB 交 y 軸于 N,直線BC經過原點，且
(1)求雙曲線及直線 AB的解析式.
(2)求 的面積.
(3)如圖(b),已知點 ,連 EN,作 交x軸于M，點 P 為雙曲線上一點，且 ,求點 P 的坐標.
4.如圖(a),C為直線y=x上一點,A點為x 軸上一點,A(4,0),. BC 交 y 軸于C 點,且 B(0,2), 經過C點.
(1)求 k 的值.
(2)如圖(b),AD 平分∠OAB交OC 于 D 點,求證:(
(3)如圖(c),DH⊥x軸于 H 點,求 的值.

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