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二、反比例函數與等腰三角形
丟分題精析
例1 如圖(a),直線y=kx-2k交坐標軸于A,B兩點,P(m,n)為直線上一點,且滿足
(1)求m,n,k的值.
(2)Q 為雙曲線 上一點,且∠APQ=45°,求 Q點坐標.
解: 將 P(1,-2)代入y=kx-2k,k=2.
(2)如圖(b),∵直線 AB:y=2x-4,∴A(2,0),設直線 PQ交x軸于 D 點,過 D 點作 DC⊥BA 于 C 點,依題意△PCD 為等腰直角三角形.
作 CM⊥x軸于M,PN⊥CN于N,可證:△CNP≌△CMD,∴C(3,2),D(7,0);設 PD:y=kx+b,代入 P(1,-2),D(7,0),
得 聯立 化簡得 即(x-10)(x+3)=0; (舍),∴Q(10,1).
提示：與45°角有關的問題，通常須要構造直角等腰三角形加以解決.模型的構造往往是初學者的一個難點.
例2 如圖(a),已知 A(1,0),C(0,-3),將△AOC 沿AC 翻折得到△ACE，AE 所在的直線交雙曲線 于M,N點,試求M,N的坐標.
解:如圖(a),過 C 點作 CD∥AE,∵∠OAC=∠EAC,∠EAC=∠DCA,
∴∠OAC=∠DCA,∴AD=CD,設AD=CD=x,
則
∴x=5,故D(-4,0),∴CD:
又 代入A點可得
聯立 化簡得x -x-6=0,(x-3)(x+2)=0,
提示：角平分線、平行線、等腰三角形三要素在幾何構圖中常常使用到.利用一次函數圖象平行則k值相等可使問題得解.
例3 如圖(a),y=-5x+5 與坐標軸交于 A,B 兩點,△ABC 是以AB 為底邊的等腰直角三角形.雙曲線 經過C點.
(1)求k的值.
(2)如圖(b)，P 為x軸上的點，△PAC為等腰三角形，請求出所有可能的 P 點.
解:(1)如圖(c),設c點坐標C(x,y),作 BM⊥y軸,CN⊥x軸,BM交 NC 延長線于M,易證
代入
(2)如圖(d)，分類討論應有四種情況：
提示：等腰三角形通常需要分類討論來求值，防止漏解.
丟分題精練
1.如圖,△AOB 為等腰直角三角形,. ,點 A 為x 軸上的點,過 A 作. 軸交雙曲線 于C,AC=1.求k的值.
2.如圖，直線 與x軸、y軸分別相交于 B，A，點 M為雙曲線 上一點，若 是以AB 為底的等腰直角三角形，求 k的值.
3.如圖，直線 分別交坐標軸于 B，A兩點，交雙曲線 于點C，且
(1)求雙曲線的解析式.
(2)在 C點右側的雙曲線上是否存在點 P，使 若存在，求 P 點坐標；若不存在說明理由.
4.如圖,點 點B為x 軸的負半軸上的點，C為函數 的圖象上的點，并且 B 在C的左邊，連接AB，BC，AC，問：是否存在這樣的點 B 和點C，使得 為等腰直角三角形，且 若存在，請求出點 B 和點C 的坐標；若不存在，請說明理由.
5.如圖，直線 與雙曲線 交于C點,D點(0,2),當( 時，求k的值.
6.如圖,直線交坐標軸于A(a,0),B(0,b)兩點,且a,b滿足 ,AB 平分 OC 交反比例函數 于C點.
(1)求a,b的值.
(2)求 的面積.
7.如圖(a),已知直線 交坐標軸于 A,B 兩點,C為OA 上一點,且.
(1)求 C點坐標.
(2)如圖(b),BE平分. 交BE 于 E點.雙曲線 經過E點，求k值.
8.如圖(a), 交坐標軸于A，B 兩點，交 于C點, 的面積為6.
(1)求 k值.
(2)如圖(b),D為反比例函數上的另一點,連CD,過 D 作. 交x軸于E點，且 ED,求E點坐標.
9.如圖(a)，反比例函數 的圖象經過點. ,過點 A 作. 軸于 B, 的面積為
(1)求k和b的值.
(2)若一次函數 的圖象經過點A，并且與x軸交于點M，求m的值.
(3)如圖(b),在 x軸上是否存在點 P,使 為等腰三角形 若存在，求出所有的 P 點；若不存在，請說明理由.
10.如圖(a),正方形OABC的邊長為4,雙曲線 交 AB于 M,且.
(1)求 k 的值.
(2)如圖(b),P 是雙曲線上的點,且OP⊥MC,求 P 點坐標.
(3)如圖(c),N 是 BC 與雙曲線 的交點,NE⊥OA 于 E,問直線 NE 上是否存在點F，使得△MAF 是腰長為3 的等腰三角形 若存在，求出所有可能的點 F；若不存在，說明理由.
11.如圖，已知正比例函數. 與反比例函數 的圖象交于點 A(3,2).
(1)求上述兩函數的表達式.
(2)M(m，n)是反比例函數圖象上的一個動點，其中( ，過點 M作直線. 軸交y軸于點 B；過點 A 作直線 軸交x軸于點C,交直線 MB 于點 D,若四邊形 OADM的面積為6，求M點坐標.
(3)探索：x軸上是否存在點P，使 是等腰三角形 若存在，求出所有可能的點 P；若不存在，說明理由.

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