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專題5 等差數(shù)列前n項和的最值
【重慶市巴蜀中學(xué)校2024屆高考適應(yīng)性月考卷】已知等差數(shù)列的前n項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
由數(shù)列的單調(diào)性得出，公差d＞0，討論，得出的范圍，進而由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出所求范圍.
由題意知是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，必有，公差d＞0，
若，此時，是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，
此時，即，則；
若，此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，
即，則，
綜合可得：的取值范圍是，故選B．
1．已知數(shù)列滿足：對恒成立，且，其前n項和有最大值，則使得的最大的n的值是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．17
2．已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，對任意的，均有成立，則的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出，進而由得出所求范圍.
，∵，
∴，即
∴，故選B．
3．等差數(shù)列的前項和為，已知，則（ ）
A． B．的前項和中最小
C．使時的最大值為9 D．的最大值為0
4．已知為等差數(shù)列，其前項和，若，，則（ ）
A．公差 B．
C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時
由，，構(gòu)造函數(shù)，利用，作出的圖象，利用斜率得出，再由得出所求范圍.
解：由恒成立，可得，又，構(gòu)造函數(shù)，則，
作的圖象為直線l，設(shè)，l與x軸交于C點，如圖示：
由，，在中
∴．選B．
5．設(shè)是公差為的等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則數(shù)列有最大項
B．若數(shù)列有最大項，則
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有
D．若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列
6．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)1=22 B．d=－2
C．當(dāng)n=10或n=11時，Sn取得最大值 D．當(dāng)Sn>0時，n的最大值為20
設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，進而由得出所求范圍.
設(shè)，∵，∴且得
∵，∴，∴
7．已知等差數(shù)列的前n項和為且則
A． B．當(dāng)且僅當(dāng)n= 7時，取得最大值
C． D．滿足的n的最大值為12
8．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，，則前項的和的最小值為 ．
由等差數(shù)列的單調(diào)性得出，當(dāng)，由得出，由，得出，由排除法得出答案.
為等差數(shù)列，前n項和為
由可知，為遞增數(shù)列且
最小，所以分兩種情況①②
若，則，故，排除A
由為遞增數(shù)列，最小，∴，，故，排除C、D，故選B．
9．已知是等差數(shù)列{}的前n項和，若僅當(dāng)時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
10．已知等差數(shù)列的前n項和為，，若時，最小，則= .
11．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為且，當(dāng)取最大值時，的值為 ．
12．等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則的最小值為 ．
13．已知為單調(diào)遞減的等差數(shù)列的前n項和，若數(shù)列前n項和，則下列結(jié)論中正確的有 ．（填寫序號）
①；②；③；④．
14．在等差數(shù)列中，，與互為相反數(shù)，為的前n項和，，則的最小值是 ．
15．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則公差 ；當(dāng) 時，取到最大值.
16．已知數(shù)列的前項和為，其通項公式，則取 時，取最大值，最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】由等差中項性質(zhì)可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由，其前n項和有最大值可得，即可求得，即可知所求結(jié)果為.
【詳解】由數(shù)列滿足對恒成立可知，數(shù)列為等差數(shù)列；
設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則，
若前n項和有最大值，則可知，因此，
又，所以，可得，
所以，即
；
所以，使得的最大的n的值是.
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)題意，由恒成立可得是等差數(shù)列的前項和中的最大值，結(jié)合等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，分3種情況討論，綜合求出的取值范圍，分析選項可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列，對任意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
必有，公差，
分3種情況討論：
①，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，則有，
則，
②，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，則有，
，
③，，是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，，則，變形可得：，
，
而，則有，
綜合可得：.
故選：A．
3．BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和基本量的計算求出通項公式和前和公式，代入計算判斷A，結(jié)合二次函數(shù)求解的最小值判斷B，解不等式判斷C，求出的通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解最值判斷D.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，因為，所以，
所以，.
對于A，，錯誤；
對于B，因為，所以當(dāng)時，有最小值，正確；
對于C，若，則，又，所以的最大值為9，正確；
對于D，因為，所以數(shù)列為關(guān)于的單調(diào)遞增數(shù)列，所以沒有最大值，錯誤.
故選：BC.
4．ABC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列前項和的公式和性質(zhì)，一一判斷即可.
【詳解】由，得，即.
因，所以，且，故選項AB正確；
因，且，故時，最大，即，故選項C正確；
由，得，即，故D錯.
故選：ABC.
5．ABD
【分析】由題意，分、分別討論對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)可判斷A，B；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則分析可判斷C，D.
【詳解】因為，
若，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列有最大項，正確；
若，二次函數(shù)開口向上，無最大項
故若數(shù)列有最大項，有，B正確；
若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若，則，故不一定對任意，均有，C錯誤；
若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實數(shù)，當(dāng)時，之后所有項都為負(fù)數(shù)，不能保證對任意，均有
故若對任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確．
故選：ABD
6．BCD
【解析】由等差數(shù)列的求和公式和通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得首項和公差，求得等差數(shù)列的通項和，由二次函數(shù)的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判斷命題的真假．
【詳解】等差數(shù)列的前項和為，公差，
由，可得，即，①
由是與的等比中項，可得，即，
化為，②
由①②解得，，
則，，
由，可得或11時，取得最大值110；
由，可得，即的最大值為20．
故選：BCD
【點睛】方法點睛：數(shù)列最值常用的方法有：（1）函數(shù)（單調(diào)性）法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）基本不等式法.要結(jié)合已知條件靈活選擇合適的方法求解.
7．ACD
【解析】由題可得，，，求出可判斷A；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；求出可判斷C；令，解出即可判斷D.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，
，，且，
對于A，，故A正確；
對于B，的對稱軸為，開口向下，故或7時，取得最大值，故B錯誤；
對于C，，，故，故C正確；
對于D，令，解得，故n的最大值為12，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：由于等差數(shù)列是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)與異號時，在對稱軸或離對稱軸最近的正整數(shù)時取最值；當(dāng)與同號時，在取最值.
8．
【分析】根據(jù)，可求得與公差的值，從而利用等差數(shù)列前項和公式可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像可知的最小值．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，
所以，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像可知當(dāng)或時，有最小值，
.
故答案為：．
9．11
【分析】由前n項和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【詳解】因為，當(dāng)時取到最小值，
所以，所以，
因為，所以，即，所以.
，則，因為，
所以，解之得：,因為，所以n的最小值為11.
故答案為：11.
10．
【分析】解法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得的變號項，即可求解；
解法二：利用等差數(shù)列的前和公式得到，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解.
【詳解】解法一：因為，所以當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
，
所以，最小，即.
解法二：因為，所以，，
又，所以時，最小，最小為.
故答案為：.
11．
【分析】根據(jù)題意，用首項表示公差，代入前項和公式，化簡得到為關(guān)于開口向下的二次函數(shù)，進而求出其最大值時對應(yīng)的的值.
【詳解】因為，所以，即，化簡后可得．
，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值．
故答案為：.
12．
【分析】由條件得到，再由求和公式得，從而得可求解.
【詳解】由，，得，
解得：，
則．故．
由于，故當(dāng)或4時，.
故答案為：
13．②
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用裂項相消法求得數(shù)列前n項和，結(jié)合已知求得首項和公差，從而可得數(shù)列通項及前項和，再逐一判斷即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
故
，
所以，
則，
解得或（舍去），
所以，
故，故①錯誤；
，故②正確；
，故③錯誤；
，，
則當(dāng)或時，取得最大值，
所以，故④錯誤.
故答案為：②.
14．6
【分析】根據(jù)條件求出，，對進行分類討論求出，求出的表達式，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可得到答案；
【詳解】，，
解得：，，
，
，，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，，
考察函數(shù)，，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，為最小值；
當(dāng)時，，
考察函數(shù)，，
當(dāng)時，；函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，為最小值；
綜上所述：的最小值是；
故答案為：
15． 或
【分析】利用等差數(shù)列可得,即可求得和,則是關(guān)于的二次函數(shù),進而求解即可,需注意.
【詳解】由題,因為等差數(shù)列,所以,解得,
所以,
當(dāng)時取得最大值,因為,
所以當(dāng)或時,取得最大值,
故答案為:；或
【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量,考查等差數(shù)列的前項和的最大值的滿足條件.
16． 5或6 30
【分析】由的通項公式判斷其為等差數(shù)列，進而求出關(guān)于的解析式，利用配方法及的取整數(shù)可求得的最大值.
【詳解】，
，
∴數(shù)列 是首項為10，公差為-2的等差數(shù)列，
，∴當(dāng)或時，取得最大值.
故答案為：5或6；30.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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