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專題6 抽象函數背景的數列問題
【河南省信陽市2023-2024學年高三第一次教學質量檢測】
已知定義在［0，4］上的連續函數滿足：
①在［0，1］上是單調函數
②
③對x∈［－2，2］恒成立
④對x∈［0，2］恒成立
若，記與形成的封閉圖形的面積為，則滿足的最小的n的值為______．
將已知條件中有關抽象函數的運算性質轉化為：當x∈［0，2］時，關于（1，0）對稱
當x∈［0，4］時，關于直線對稱.再利用這些性質得到相應數列的性質，從而進一步解決問題.
當x∈［0，2］時，關于（1，0）對稱
當x∈［0，4］時，關于直線對稱
由對稱性可知，與圍成圖形面積為，即
由，即，∴，
類推：，，
1．設函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數，當時，，則 .
【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：
（1）若函數的圖象關于直線和對稱，則函數的周期為；
（2）若函數的圖象關于點和點對稱，則函數的周期為；
（3）若函數的圖象關于直線和點對稱，則函數的周期為.
2．設是定義在上的奇函數，且的圖象關于直線對稱，則 ．
借助已有的知識儲備，去構造一個符合所有運算性質的具體函數， ，逐條驗證后，以此特例為抓手進一步去解決相應的數列問題.
構造，易驗證它滿足①②③④
，
∴
∴
又∵，∴
3．設函數滿足下列條件：
（1）定義域為；
（2）在上的最大值為；
（3）在上不是增函數．
則的解析式可以是 ．
4．已知函數，數列為等比數列，，， ．
5．已知函數，設數列的通項公式為，則 .
6．已知函數的定義域為，且，則 ．
7．已知定義在上的函數的滿足：，，若函數圖象與函數圖象的交點為，則 ．
8．定義在上的奇函數滿足，，且當時，，則 .
9．給定函數，若數列滿足，則稱數列為函數的牛頓數列.已知為的牛頓數列，且，數列的前項和為.則 .
10．已知數列為等差數列，函數，，，若，則數列的前21項和為 .
11．數列滿足，，，定義函數是數列的特征函數，則下列說法正確的是
①當時，數列單調遞增
②當時，
③當時，
④當時，記數列的前項和為，則
12．若由函數構造的數列滿足，，，則稱為單位收斂函數.現有下列四個函數：①；②；③；④.其中所有單位收斂函數的編號是 .
13．已知三次函數，數列{}滿足，給出下列兩個條件：①函數是遞減函數：②數列{}是遞減數列.試寫出一個滿足條件②但不滿足條件①的函數的解析式= .
14．黎曼函數是一個特殊的函數，由德國著名的數學家黎曼發現并提出，在高等數學中有著廣泛應用，其定義為:時，.若數列，則下列結論:①的函數圖象關于直線對稱；②；③；④；⑤.其中正確的是 （填寫序號）.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】
推導出函數是周期為的周期函數，根據題中條件求出的值，結合函數的周期性可求得的值.
【詳解】因為函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數，
則，，
所以，函數的圖象關于直線對稱，也關于點對稱，
所以，，，
所以，，則，
所以，函數是周期為的周期函數，
當時，，則，，，
，，，
，，
所以，，
又因為，所以，.
故答案為：.
【點睛】
結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：
（1）若函數的圖象關于直線和對稱，則函數的周期為；
（2）若函數的圖象關于點和點對稱，則函數的周期為；
（3）若函數的圖象關于直線和點對稱，則函數的周期為.
2．
【分析】根據奇函數的性質可得出的值，根據函數對稱性可得出的值，推導出函數為周期函數，確定該函數的周期，結合周期性可求得的值.
【詳解】因為函數是定義在上的奇函數，且的圖象關于直線對稱，
則對任意的，，，則，
所以，，
所以，函數是周期為的周期函數，且，
因此，.
故答案為：.
3．（答案不唯一）
【分析】根據題意寫出滿足的，再檢驗即可．
【詳解】解：由已知寫出滿足的函數為，
由，解得，滿足（1）；
由復合函數同增異減可知，在上遞減，在上遞增，
，滿足（2）；
由上面的分析知在上不是增函數，滿足（3）．
故答案為：（答案不唯一）．
4．
【分析】根據函數的對稱性，再結合等比數列的等比中項，利用倒序相加法求和即可得答案.
【詳解】因為，所以.
又因為數列為等比數列，，
所以，
所以
設①
則②
由①+②得：所以
故答案為：
5．36
【分析】根據函數的解析式求出函數的對稱中心，再結合等差數列的性質，即可求解.
【詳解】，
因為，所以是奇函數，對稱中心為，
所以曲線的對稱中心為，即，
因為，易知數列為等差數列，，
所以，
則，，
所以.
故答案為：36.
6．17
【分析】由已知分析得函數是關于對稱，且周期為4的函數，所以.
【詳解】由，可得，
即函數是關于對稱，
又，所以，①
則，②
由①②知，，即函數是周期為4的函數，
由，令，有，
又，即，則，
令，有，即，則，
所以.
故答案為：17
7．4046
【分析】判斷函數和的圖象關于點成中心對稱，由此利用函數的對稱性即可求得答案.
【詳解】由題意知定義在上的函數的滿足：，
故函數的圖象關于點成中心對稱，
由可得，
故函數的圖象關于點成中心對稱，
又函數圖象與函數圖象的交點為，
則這些交點關于點對稱，
故不妨設這些交點從左向右依次排列，
則，
故
，
故答案為：4046
8．
【分析】由奇函數的性質及求出函數的周期，由求出，從而求出，，，，最后根據周期性計算可得.
【詳解】因為是奇函數，所以，又，
所以，即，所以，
所以是周期為4的周期函數.
因為是奇函數，所以，又當時，，所以，則，
所以當時，，所以，，，，
所以，
所以.
故答案為：
9．##
【分析】根據定義求得數列的遞推公式，然后代入可得的遞推公式，根據遞推公式可知為等比數列，然后由等比數列求和公式可得.
【詳解】由得，
則，
所以數列是以為首項，2為公比的等比數列，
所以.
故答案為：
10．
【分析】先化簡，令，證得關于對稱，利用等差數列可證得與關于對稱，故，即可求得答案
【詳解】因為，
所以
令，
所以，
所以，即關于對稱，
因為，所以數列的前21項和
因為，
所以，
因為數列為等差數列，，
所以，
所以，所以與關于對稱，
所以，同理可得，，
又，
所以
故答案為：
11．②③④
【分析】根據定義驗證判斷即可.
【詳解】由已知，，故，故①錯誤
因為，所以，同理，
所以，故②正確
又因為為增函數，且 ，所以
即，故③正確
依題意，由易知對任意的，，則，所以，即數列為單調遞減數列，則，由可得，則，
所以，
所以
綜上，故④正確.
故答案為：②③④
12．②③
【分析】根據函數新定義，結合等比數列前n項求和公式、裂項相減求和法和對數的運算性質分別判斷即可.
【詳解】①：
，
易知的值逐漸遞增，
當時，，
所以，故①不符合題意；
②：，
由，
得
，
即，故②符合題意；
③：
，
即，故③符合題意；
④：
，
當時，，故④不符合題意.
故答案為：②③.
13．(答案不唯一)
【分析】令，利用導數研究其在不單調遞減情況下m的范圍，且保證在上遞減，即可寫出一個函數解析式.
【詳解】設，則，要滿足題設條件則，即，
此時，上，遞增；上，遞減；
不妨令，則，由，當時遞減.
綜上，滿足條件的一個函數有.
故答案為：(答案不唯一)
14．①④⑤
【分析】根據新函數定義，分類討論確定函數的單調性判斷①，取特例判斷②，由的關系可判斷③，構造函數，利用函數的單調性及不等式性質可得證④，根據裂項相消法判斷⑤.
【詳解】對于①：若 ，則 ， ，關于 對稱，
若為無理數，則 也是無理數， ，也關于 對稱，
若 ，并且是既約的真分數，則，并且是互質的 ，， 也是真分數，若 不是既約分數，則與必定存在公約數 ，不妨假設 ，則有，即存在大于1的公約數，與題設矛盾，故 也是既約分數， ，即關于 對稱，故①正確；
對于②， 時， ，故②錯誤；
對于③，當 時，有 ，，，但當 時 ，故③錯誤；
對于④，， ，
構造函數 ， ，則 ， 單調遞增，
，即當時 ， ，
，
當 時， ，， ，故④正確；
對于⑤，
，故⑤正確；
故答案為：①④⑤
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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