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專題7 有關(guān)數(shù)列求通項(xiàng)、周期性求和的問題
【吉林地區(qū)普通高中2023-2024學(xué)年度高三年級第二次模擬考試】
已知數(shù)列，
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求.
（1）設(shè)
結(jié)合求出，進(jìn)而由為等比數(shù)列得出通項(xiàng)公式；
（2）記，由，，，得出，進(jìn)而由周期性得出.
（1）當(dāng)時，得；當(dāng)時，得
設(shè)
整理得又
，解得
又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故的通項(xiàng)公式為
（2）記，則.
，
，
，其中
因此，
，是奇數(shù)，是奇數(shù)
由得或.
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，.
綜上，，或4048.
（2019下·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考期末）
1．小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng)，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為
A． B． C． D．
（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）
2．高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
由誘導(dǎo)公式得出，利用拼湊得出，從而由為等比數(shù)列得出通項(xiàng).
∵，∴，
即，∴是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴，即.
（2017·江西新余·校聯(lián)考一模）
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 ．
（2021上·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)校考期末）
4．已知數(shù)列滿足，，則 .
由證明為常數(shù)列，從而得出通項(xiàng).
解：由得
∴為常數(shù)列，∴，∴.
（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）
5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則 ．
（2023下·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）
6．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .
（2021下·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）
7．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有甲、乙兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選甲種菜的，下星期一會有改選乙種菜；而選乙種菜的，下星期一會有改選甲種菜.用，分別表示在第個星期一選甲的人數(shù)和選乙的人數(shù)，如果，則（ ）
A．200 B．300 C．380 D．400
（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）
8．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖.記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，若，則（ ）
A．5 B．6 C． D．
（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）
9．若數(shù)列滿足（且），則與的比值為（ ）
A． B． C．2 D．3
（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）
10．已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·重慶·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）
11．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（ ）
A．1011 B．1013 C．2022 D．2023
（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）
12．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數(shù)為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得出的值，可得出結(jié)果.
【詳解】假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.
設(shè)，得，對比得，
，且，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
，因此，，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，同時也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
2．B
【分析】根據(jù)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，利用累加法求，再對進(jìn)行放縮求，最后由裂項(xiàng)相消法求出，根據(jù)高斯函數(shù)可得答案.
【詳解】由得，
又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，
故，
由累加法得
，
所以，
∵，
又，∴，
令，，
，
∴，
代入得.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于考察知識點(diǎn)多，解答過程曲折不易思考，每個知識點(diǎn)的考察難度不算太大，這就要求學(xué)生對數(shù)列知識掌握全面，并且對問題掌握一定的分析方法.
3．
【分析】根據(jù)題意可得，從而可求得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列滿足，
所以，
令，則，解之得，
即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：．
4．241
【分析】利用遞推關(guān)系式推出數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】，，即
又，
是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
，故，.
故答案為：241
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.
5．123
【分析】由已知，根據(jù)給的，通過，計算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求和即可.
【詳解】由已知，，①，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，②，
①②得：，整理得：，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以
，
所以，
所以.
故答案為：123.
6．
【分析】由題意可得，數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求得，利用累加法求得，進(jìn)而得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】由，得.
又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
又，累加得，
即，
所以.
又因?yàn)闈M足上式，所以，所以.
因?yàn)椋裕?br/>即，所以.
故.
所以.
故答案為：.
7．B
【分析】由題意可得數(shù)列遞推公式為，，兩式聯(lián)立消去，得到的遞推公式，由可求得，從而可知的值
【詳解】解：由題意可得，
消去，得，
由，得，從而可得，
故選：B
8．C
【分析】根據(jù)條件，得出，代入初始值，利用遞推，即可求得的值.
【詳解】已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個數(shù)，由于每個白圈產(chǎn)生下一行的1個白圈1個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈，
所以，
又，，，
，
，
，，
，
，所以.
故選:C.
9．D
【分析】由遞推關(guān)系，求證數(shù)列為等比數(shù)列，公比為即可得.
【詳解】，由，則，
在等式式兩邊同取倒數(shù)得，，
在兩邊同加得，，
又，則，
則有，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
則與的比值為.
故選：D.
10．A
【分析】根據(jù)已知的遞推公式得出數(shù)列為等比數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，然后累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出的值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以數(shù)列以首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
所以，
，
，
，
，
累加得：
，
所以，
所以，
故選：A.
11．B
【分析】利用數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的周期性求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
且列，
所以，
故選:B.
12．B
【分析】根據(jù)已知可得出遞推公式，進(jìn)而根據(jù)累加法可求得，代入30即可得出答案.
【詳解】設(shè)三角垛第層小球的個數(shù)為.
由題意可知，，，，，
所以，當(dāng)時，有.
所以，
，
，
，
，
，
兩邊同時相加可得，，
所以，.
當(dāng)時，，滿足題意.
所以，.
所以，.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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