資源簡(jiǎn)介

專題8 數(shù)列中的遞推
【2024屆T8聯(lián)考數(shù)學(xué)】8．一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房A只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂……以此類推，用表示蜜蜂爬到n號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
由得出，再由定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而由通項(xiàng)得出所求.
由題意可得，．
∴時(shí)，
∵，∴數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．
∴，故正確選項(xiàng)為A．
（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）
1．已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）
2．若數(shù)列滿足（且），則與的比值為（ ）
A． B． C．2 D．3
進(jìn)入n有兩條最終進(jìn)入n－2與n－1，，并由此遞推得出，計(jì)算得出所求.
進(jìn)入n有兩條最終進(jìn)入n－2與n－1，∴，
∴
同理
又，∴原式
（2023下·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）
3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .
（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
4．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
由寫出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而得出周期性，再由周期得出所求.
1，2，3，5，8，13，21，……依據(jù)不完全歸納，
呈現(xiàn)出周期變化，所以
（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）
5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則 ．
（2021上·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)校考期末）
6．已知數(shù)列滿足，，則 .
（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）
7．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第30層小球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）
8．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.記圖2中第行黑圈的個(gè)數(shù)為，若，則（ ）
A．5 B．6 C． D．
（2021下·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）
9．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有甲、乙兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選甲種菜的，下星期一會(huì)有改選乙種菜；而選乙種菜的，下星期一會(huì)有改選甲種菜.用，分別表示在第個(gè)星期一選甲的人數(shù)和選乙的人數(shù)，如果，則（ ）
A．200 B．300 C．380 D．400
（2019下·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考期末）
10．小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng)，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個(gè)木樁，木樁上套有編號(hào)分別為、、、、、、的七個(gè)圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個(gè)圓環(huán)從一個(gè)木樁移動(dòng)到另一個(gè)木樁，且任意一個(gè)木樁上不能出現(xiàn)“編號(hào)較大的圓環(huán)在編號(hào)較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個(gè)圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為
A． B． C． D．
（2023上·重慶·高三重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
11．表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）
12．高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)已知的遞推公式得出數(shù)列為等比數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，然后累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出的值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以數(shù)列以首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
所以，
，
，
，
，
累加得：
，
所以，
所以，
故選：A.
2．D
【分析】由遞推關(guān)系，求證數(shù)列為等比數(shù)列，公比為即可得.
【詳解】，由，則，
在等式式兩邊同取倒數(shù)得，，
在兩邊同加得，，
又，則，
則有，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
則與的比值為.
故選：D.
3．
【分析】由題意可得，數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求得，利用累加法求得，進(jìn)而得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】由，得.
又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
又，累加得，
即，
所以.
又因?yàn)闈M足上式，所以，所以.
因?yàn)椋裕?br/>即，所以.
故.
所以.
故答案為：.
4．
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法二：整理得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結(jié)合等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.
【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時(shí)除以得：，
整理得，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，
當(dāng)時(shí)，則
，
故，
顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.
故答案為：.
5．123
【分析】由已知，根據(jù)給的，通過(guò)，計(jì)算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求和即可.
【詳解】由已知，，①，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得：，整理得：，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以
，
所以，
所以.
故答案為：123.
6．241
【分析】利用遞推關(guān)系式推出數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】，，即
又，
是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
，故，.
故答案為：241
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.
7．B
【分析】根據(jù)已知可得出遞推公式，進(jìn)而根據(jù)累加法可求得，代入30即可得出答案.
【詳解】設(shè)三角垛第層小球的個(gè)數(shù)為.
由題意可知，，，，，
所以，當(dāng)時(shí)，有.
所以，
，
，
，
，
，
兩邊同時(shí)相加可得，，
所以，.
當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
所以，.
所以，.
故選：B.
8．C
【分析】根據(jù)條件，得出，代入初始值，利用遞推，即可求得的值.
【詳解】已知表示第行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個(gè)數(shù)，由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的1個(gè)白圈1個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，
所以，
又，，，
，
，
，，
，
，所以.
故選:C.
9．B
【分析】由題意可得數(shù)列遞推公式為，，兩式聯(lián)立消去，得到的遞推公式，由可求得，從而可知的值
【詳解】解：由題意可得，
消去，得，
由，得，從而可得，
故選：B
10．B
【分析】假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán)，將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得出的值，可得出結(jié)果.
【詳解】假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán)，將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個(gè)圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.
設(shè)，得，對(duì)比得，
，且，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
，因此，，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
11．B
【分析】先根據(jù)遞推公式變形并構(gòu)造數(shù)列得出，再適當(dāng)放縮得出，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.
【詳解】由可知，所以數(shù)列是常數(shù)列，
又，，所以，則數(shù)列各項(xiàng)均為1，
即，，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
即，
由，
，
故，
根據(jù)題意可知：，
所以.
故選：B
12．B
【分析】根據(jù)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，利用累加法求，再對(duì)進(jìn)行放縮求，最后由裂項(xiàng)相消法求出，根據(jù)高斯函數(shù)可得答案.
【詳解】由得，
又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，
故，
由累加法得
，
所以，
∵，
又，∴，
令，，
，
∴，
代入得.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于考察知識(shí)點(diǎn)多，解答過(guò)程曲折不易思考，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考察難度不算太大，這就要求學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)掌握全面，并且對(duì)問(wèn)題掌握一定的分析方法.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

展開更多......

收起↑