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專題 10 等比數列的單調性
【湖北省新高考聯考協作體2023-2024學年高三下學期2月收心考試數學試卷】.
已知數列是等比數列，則“存在正整數k，對于恒成立”是：“為遞減數列”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
角度一、取與 ，利用等比數列的定義與性質分類討論先判定充分性再判定必要性即可；角度二、先判定必要性，再取前兩項，結合等比數列的定義與性質分類討論的大小判定充分性即可.
角度一、
取兩種特殊情況說明：時顯然成立；
當時，理由如下：
因為是等比數列，設公比為，則，
當時，，即，
若，則，
注意到，當時，，與假設矛盾，舍去，
故，此時，則為遞減數列；
若，則或，
注意到，當時，，與假設矛盾，舍去，
故，此時，則為遞減數列；
綜上，當時，為遞減數列，即充分性成立；
當為遞減數列時，，即成立，即必要性成立；
故選：C.
角度二、
（1）若為遞減數列，則，取，則對，都有成立.
（2）若存在正整數k，對于恒成立，則，
（?。┊敃r，與矛盾，
（ⅱ）當時，∵，∴，同理，∴，與矛盾，
（ⅲ）當時，∵，∴，同理，此時遞減.
綜上：選C.
分類討論的正負來確定公比的范圍判定充分性，再判定必要性即可.
由已知，一方面由“存在正整數k，對于恒成立”得
①當時，，此時，數列是遞減數列
②當時，，此時，數列是遞減數列
因此，由“存在正整數k，對于恒成立”可得數列是遞減數列.
另一方面，由數列是遞減數列得，此時存在正整數.
綜上，選C.
（2023·全國·模擬預測）
1．已知是等比數列，則甲：數列為遞增數列，乙：，恒成立，則甲是乙的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·上海徐匯·統考一模）
2．已知數列為無窮數列．若存在正整數，使得對任意的正整數，均有，則稱數列為“階弱減數列”．有以下兩個命題：①數列為無窮數列且（為正整數），則數列是“階弱減數列”的充要條件是；②數列為無窮數列且（為正整數），若存在，使得數列是“階弱減數列”，則．那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題
C．① ②都是真命題 D．① ②都是假命題
（2023·上海崇明·統考二模）
3．已知數列是各項為正數的等比數列，公比為q，在之間插入1個數，使這3個數成等差數列，記公差為，在之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為，在之間插入n個數，使這個數成等差數列，公差為，則（ ）
A．當時，數列單調遞減 B．當時，數列單調遞增
C．當時，數列單調遞減 D．當時，數列單調遞增
（2023上·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校?br/>4．已知是等比數列，公比為，若存在無窮多個不同的滿足，則下列選項之中，不可能成立的為（ ）
A． B． C． D．
（2022·全國·高三專題練習）
5．已知定義在上的單調遞增函數，對于任意的，都有，且恒成立，則 ．
（2024上·北京昌平·高三統考期末）
6．已知數列．給出下列四個結論：
①；
②；
③為遞增數列；
④，使得．
其中所有正確結論的序號是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用充分必要條件的定義，分別討論甲乙的充分性與必要性，結合等比數列的通項公式分類討論即可得解.
【詳解】設等比數列的公比為，則．
當為遞增數列時，，即，恒成立，故充分性成立；
當，恒成立時，，即，
若，則或，
當時，，與假設矛盾，舍去，
故，此時，則為遞增數列；
若，則或，
當時，，與假設矛盾，舍去，
故，此時，則為遞增數列．
綜上所述，當，時，為遞增數列，故必要性成立；
所以甲是乙的充要條件．
故選：C．
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分類討論解不等式，從而推得其必要性成立.
2．C
【分析】
對于①：根據“階弱減數列”的定義結合充分必要條件分析判斷；對于②：分析可得對一切正整數恒成立，分、和三種情況，分析求解.
【詳解】對于①：因為，
若該數列為“弱減數列”，
因為，則，
可得，即，
同理可得，所以；
當時，，
所以該數列為“弱減數列”；
綜上所述：數列是“階弱減數列”的充要條件是，故①是真命題；
對于②：因為，顯然，
若存在使得數列為“2階弱減數列”，
則，即，整理得，
所以對一切正整數恒成立，
若，當時，當，則；
當為奇數，；
可知不合題意，所以，
則，
當時，
則，
可得，不合題意；
若，取，則，符合題意；
若，則，則，
取，則，符合題意；
綜上所述：存在，使得數列是“階弱減數列”，則．故②是真命題.
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于新定義問題時，可以通過舉例或轉化法理解新定義，進而根據新定義分析求解.
3．D
【分析】根據數列的定義，求出通項，由通項討論數列的單調性.
【詳解】數列是各項為正數的等比數列，則公比為，
由題意，得，
時，，有，，數列單調遞增，A選項錯誤；
時，，，若數列單調遞增，則， 即，由，需要，故B選項錯誤；
時，，解得，
時，，由，若數列單調遞減，則， 即，而 不能滿足恒成立，C選項錯誤；
時，，解得或，由AB選項的解析可知，數列單調遞增，D選項正確.
故選：D
【點睛】思路點睛：此題的入手點在于求數列的通項，根據的定義求得通項，再討論單調性.
4．C
【分析】分類討論，結合等比數列的通項和性質分析判斷.
【詳解】當時，則有：
①當，則為非零常數列，故符合題意，A可能成立；
②當，則為單調數列，故恒不成立，即且不合題意；
當時，可得，則有：
①當，若為偶數時，則；
若為奇數時，則；
故符合題意，B可能成立；
②當，若為偶數時，則，
且，即；
若為奇數時，則，且，
即；故符合題意，D可能成立；
③當，若，可得，
，則，可得，則，這與等比數列相矛盾，
故和均不合題意，C不可能成立.
故選：C.
5．9
【分析】令，根據函數的性質結合已知，求出的值，通過歸納的思想求出時，的表達式，最后代入求值即可.
【詳解】令，則有，若，則有，顯然矛盾；
若，則有，顯然與已知矛盾，當大于3的整數時，與已知函數是單調遞增相矛盾，故，所以有；
令時，；
令時，，根據函數的性質可知：；
令時，；
令時，；
令時，；
令時，；根據函數的性質可知：；
令時，；根據函數的性質可知：；
令時，；根據函數的性質可知：，
令時，；
令時，；
令時，；
令時，；
所以歸納得到當時，
所以
故答案為：9
6．①②④
【分析】利用指數函數的單調性可判定①②③，根據條件遞推得，結合不等式性質可判定④.
【詳解】根據題意可知，
因為，所以，即①正確；
則，
即，故③錯誤；
依次遞推有，
，
，
，故②正確；
因為，所以，則，依次可知，
所以，故④正確.
故答案為：①②④
【點睛】難點點睛：利用指數函數的單調性一一列舉得出，從而可判定②③，此外列舉的過程中可得出，再根據不等式性質可判定④.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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