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專題1公切線中的復(fù)雜計(jì)算
【2024屆四川成都零模，T16】一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為______．
【方法名稱】消元法
【思路分析】利用切點(diǎn)表示出切線方程，再由公切線定義得到切點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程組，通過消元得到兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足的關(guān)系，帶入目標(biāo)式化簡求的結(jié)果.
在處切線：
在處切線：
則
【舉一反三】
1．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 .
2．已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)m的最大值為 .
【方法名稱】整體帶入法
【思路分析】利用切點(diǎn)表示出切線方程，再由公切線定義得到切點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程組，通過對(duì)目標(biāo)式打開的結(jié)構(gòu)觀察，將超越式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式整體帶入求得結(jié)果.
在處的切線：即 ①
在處的切線：即 ②
由公切線定義可知，①②重合，則
由③變形可得： ⑤
將⑤代入④得：⑥
∴
【舉一反三】
3．設(shè)直線l是函數(shù)，和函數(shù)的公切線，則l的方程是 ．
4．已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則 ．
5．過點(diǎn)可以作函數(shù)兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．，則b的最大值是 ．
7．若直線l與曲線、曲線都相切，則直線l的方程為 .
8．已知函數(shù)，（），若經(jīng)過點(diǎn)存在一條直線l與的圖象和的圖象都相切，則實(shí)數(shù)a的值為 .
9．已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為 .
10．已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】分別求得函數(shù)和在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線方程，再由切線相同求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則在點(diǎn)處的切線方程為：，即；
在點(diǎn)處的切線方程為：，即，
因?yàn)橐粭l直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，
所以，則 ，解得，
所以.
故答案為：.
2．##0.5
【分析】
設(shè)出公切線和兩個(gè)曲線相切的切點(diǎn)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義找到的關(guān)系，然后化二元為一元，將用一個(gè)量表示，結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具求解.
【詳解】由題意可知：，
設(shè)公切線和相切于，和相切于，
因?yàn)榫蜎]有垂直于軸的切線，故公切線斜率存在，設(shè)公切線斜率為.
于是
由可得，；
由化簡整理可得，.
根據(jù)可得，，
故，
設(shè)，則，
1.當(dāng)時(shí)，顯然；
2.當(dāng)時(shí)，則，
令，則，
故在上遞增，注意到，
①當(dāng)時(shí)，，；
②當(dāng)時(shí)，，；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則在上遞增，在上遞減，故，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口在于，通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義，找出參數(shù)和兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用消元的思想，消去一個(gè)未知量，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.
3．
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和斜率的比值定義式，以及導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】設(shè)直線l與函數(shù)的切點(diǎn)為A，
直線l與函數(shù)的切點(diǎn)為B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化簡得，
令，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，為減函數(shù)，
，
所以恒成立，
所以單調(diào)遞增，
所以最多一個(gè)零點(diǎn)，
容易知道，
所以只有一個(gè)解，
故，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，
切線斜率為，
所以切線方程為，
即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】雙切點(diǎn)聯(lián)立方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.
4．
【分析】根據(jù)已知條件作出圖象，利用反函數(shù)的性質(zhì)及二倍角的正切公式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】曲線與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，如圖所示，
由題意可知，，
所以，
解得或，
因?yàn)闉殇J角，
所以
由對(duì)稱性，不妨取直線進(jìn)行研究，則直線的傾斜角為，
，
設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，
，
所以，
所以直線的方程為即
，
所以，
所以直線的方程為即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出圖象及兩曲線互為反函數(shù)，利用反函數(shù)的性質(zhì)解決曲線的公切線問題，充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
5．
【分析】先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，由切線相互垂直轉(zhuǎn)化為斜率之積為，得到兩切點(diǎn)的范圍，，且，根據(jù)在兩切線上可用表示出，結(jié)合的范圍可求的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，
，，
當(dāng)時(shí)，
，，且，
設(shè)兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，且，
因切線相互垂直，故，故，
故兩切點(diǎn)分別為，，
切線方程分別為：，，
即，，
由題意為兩切線的交點(diǎn)，
故，，
所以，
得
由得，即，
故
因，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再寫出切線方程，再解出切線方程的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)切線斜率乘積為得，化簡得，再利用基本不等式即可得到的范圍.
6．
【分析】將不等式變形為，等價(jià)于直線在與之間，通過圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)，b獲得最值，故利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得到（其中為l與的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)），故構(gòu)造，研究其零點(diǎn)的范圍即可
【詳解】，變形得．
問題等價(jià)于直線在與之間，
如圖所示．
當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)，b獲得最值．
設(shè)l與的切點(diǎn)為，l與的切點(diǎn)為，
由公切線得，
得，
得
，
發(fā)現(xiàn)為的一個(gè)解．
令，
令，得，
所以當(dāng)，當(dāng)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
而，，
的兩根居于兩側(cè)，
已知一根為，所以另一根大于，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，b取得最大值，該值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵一是能看出直線在與之間，通過數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)且僅當(dāng)l為兩函數(shù)的公切線時(shí)b獲得最值，關(guān)鍵二是構(gòu)造借助導(dǎo)數(shù)的方法得到的兩根居于兩側(cè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的函數(shù)進(jìn)行判斷即可
7．或
【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為，，分別求出兩曲線的切線方程是和，解方程，且，即得解.
【詳解】由得，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，
則直線l的方程為：，即；
由得，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，
則直線l的方程為：．
所以，且，
消去得，故或，
所以直線l的方程為：或．
故答案為：或.
8．3或
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知直線l的斜率為，又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，同理可得，解方程即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)直線l既是函數(shù)的圖象在處的切線，
也是函數(shù)的圖象在處的切線，
因?yàn)椋?br/>所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為：
又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，
所以，同理可得，
即，
于是先根據(jù)②得到，進(jìn)而代入①得，即，
再代入③得，
然后化簡得到，解得或.
故答案為：3或.
9．2
【分析】由求得切線方程，結(jié)合該切線也是的切線列方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，進(jìn)而求得直線，從而求得正確答案.
【詳解】設(shè)是圖像上的一點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此時(shí)①為，，不符合題意，舍去），
所以，此時(shí)①可化為，
所以.
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可求出．
【詳解】，
，
，是直線與函數(shù)相切的切點(diǎn)，
，，
，
，
即直線的方程為，
，
，
設(shè)與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，
切線方程為，
即，
，，
解得，
，
．
故答案為：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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