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專題1 向量背景的最值問題
已知向量，向量滿足，則的最小值為__________．
【方法名稱】向量恒等式+基本不等式
【思路分析】利用向量恒等式將對角線的平方和轉化為鄰邊平方和的兩倍，再借助基本不等式放縮得以求解.
解：由向量數量積公式可得：
，
由基本不等式可得：，當僅當時等號成立，
所以，即，
所以，所以的最小值為．
故答案為：
【舉一反三】
1．已知邊長為2的菱形中，是邊所在直線上的一點，則的取值范圍為 ．
2．在中，若，，則面積的最大值為 ．
【方法名稱】軌跡法
【思路分析】建系，求出對應點軌跡，即可求最值
解：法一： 解：設，，則
表示以為焦點，的橢圓
∴，∴
法二：利用向量加法，減法的幾何意義，構造的軌跡為橢圓，如圖
設，，由得C點軌跡為，∴的最小值．
法三：如圖（1），，作，MC與AB交點為P，
由，知
∴點P在以點M、A為焦點的橢圓上，
以M、A中點為坐標原點建立如圖（2）直角坐標系，則橢圓方程為：
設，則
∵，∴，∴的最小值．
【舉一反三】
3．已知非零向量，，滿足，，，則對任意實數t，的最小值為 ．
4．已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法名稱】換元法＋消元轉化函數思想
【思路分析】換元轉化函數最值．
解：法一：設，，設，則，
∵，則，即①
又∵，即②
①②聯立，解得，
∴
由基本不等式：，即
∴，即，“＝”成立當且僅當“”，∴
法二：令，，即
平方后：①，②
①+②得：，
又∵，
當時，取最小值，
【舉一反三】
5．在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，為邊上的動點，則的最小值為 ．
7．在直角梯形中，，，，，點P在所在的平面內，滿足，若M是的中點，則的取值可能是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
8．已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為（ ）
A．0 B． C． D．
9．已知平面向量滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
10．若平面向量，，滿足，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量滿足，若對任意的實數，都有，則的最小值為 .
12．已知平面向量，，滿足，，，且，則的最大值為 ．
13．已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】取的中點，連接，利用平面向量的運算可得，結合菱形的幾何性質可得答案.
【詳解】
取的中點，連接，則，
所以，
當且僅當時，有最小值，則有最小值，
此時菱形的面積，
最小值為，
因為是邊所在直線上的一點，所以無最大值，無最大值，
的取值范圍為，
故答案為：
2．2
【分析】作出輔助線，利用向量線性運算得到，利用三角形面積公式求出最值.
【詳解】設點為線段的三等分點，
因為，，
所以，，
則，
當且僅當時，等號成立，
故面積的最大值為2.

故答案為：2
3．
【分析】根據給定條件，求出向量與的夾角，變形等式，作出幾何圖形，借助向量的幾何意義求出最小值作答.
【詳解】因為，，則，而，于是，
又，則，作，使，如圖，

由，得，即，令，則，
因此的終點在以點為圓心，2為半徑的圓上，顯然對，的終點的軌跡是線段確定的直線，
于是是圓上的點與直線上的點的距離，過作線段于，交圓于，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：
4．C
【分析】根據條件，t +(1-t)=1，可知：若起點相同，則其終點共線，采取數形結合法進行解決.
【詳解】如圖，，，則，則，因為，其中t +(1-t)=1，于是與共起點，且終點共線，即在直線AB上，于是時（即）最小，最小值為1，無最大值.
故選：C.
5．A
【分析】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，，求出點坐標可得，利用二次函數的單調性可得答案.
【詳解】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，
所以，因為D為BC的中點，所以，
，設，所以，
所以，可得，，
所以，
因為，所以.
故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是以為坐標原點建立平面直角坐標系，轉化為坐標的運算求數量積.
6．##-2.56
【分析】根據題意，建立直角坐標系，運用坐標表示向量，用數量積求解即可．
【詳解】由于，所以為原點，為軸，為軸，建立直角坐標系如圖所示：

則有：，
設點，且，
所以，
則，
當時，取得最小值．
故答案為：．
7．BC
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，由，可確定點P在以D為圓心，1為半徑的圓上，設，由三角恒等變換與平面向量模長坐標運算即可化簡為正弦型三角函數，結合函數性質可得其取值范圍，從而得答案.
【詳解】以D為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，

則點P在以D為圓心，1為半徑的圓上，可設，
由題意知，，則，
所以，
則
，其中，
所以.
故選：BC.
8．C
【分析】根據向量的坐標運算，結合幾何圖形的幾何性質，即可求解最值.
【詳解】設平面向量，的夾角為，
，，
，則
由于，所以．
不妨設，．
，，
化為．故在以為圓心，以為半徑的圓上運動，
如圖所示，表示原點到圓上一點的距離，故當經過圓心時，距離最大或者最小，
故．
故選：C．

9．D
【分析】建立如圖所示直角坐標系，由向量的坐標運算得點C的軌跡，進而根據三角形相似將轉為求線段和最短，即可將根據圖形求解
【詳解】建立如圖所示直角坐標系，由題意可設，，
則，，
由得，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，
取，則在AD上，則，又，∴，∴，即，
∴.
故選：D
10．A
【分析】可根據題意，把重新組合成已知向量的表達，利用向量數量積的性質，化簡為三角函數最值.
【詳解】由題意可得：
，
，
即
故選：A.
【點睛】本題主要考查根據已知向量的模，求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點，屬于中檔題.
11．##
【分析】
利用數量積與模的關系結合二次不等式恒成立計算得，再根據向量不等式計算即可.
【詳解】因為，所以對任意的實數恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
當且僅當與反向時等號成立，即的最小值為.
故答案為：.
12．##
【分析】設，由題意分析知，所求為的最大值，設，的中點，由可得，即點的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，求解即可.
【詳解】設，因為，
所以，所求為的最大值，當在同一平面時，
有最大值，如圖建系，
不妨設，的中點，
由條件可知，，，，
由可知，，
消參可得：，即點的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，
所以的最大值為，故的最大值為.
故答案為：.
13．
【分析】本題用向量減法的模的幾何意義解決.
【詳解】
作圖，，則，，
因為，所以起點在原點，終點在以B為圓心，1為半徑的圓上；
同理，，所以起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，
所以的最小值則為，
因為，，當，，三點共線時，，所以.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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