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專題4 含參多變量不等式恒成立問題
【2024屆四川綿陽期末】16．若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍為______．
通過將問題等價(jià)變形，利用同構(gòu)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題，再利用導(dǎo)數(shù)法解決
【解析】因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕裕O(shè)，則滿足在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即a的取值范圍為．
1．對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
2．若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 .
通過參變分離轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得最值.
∵，∴
∵，∴
表示曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)割線的斜率
∵在上遞減，∴，∴．
3．對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，若，且，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數(shù)，當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 .
8．不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
9．已知函數(shù)，當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 .
10．已知對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】將恒成立的不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，分離變量可得；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，由此可得的范圍，從而確定可能的取值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由得：，
，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞增，
由得：，，即；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
實(shí)數(shù)的可能取值為，ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ诤愠闪⒌牟坏仁竭M(jìn)行同構(gòu)變化，將其轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值之間的大小關(guān)系的問題，從而利用函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行求解.
2．##
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知可得的單調(diào)性，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，然后參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>可得，
構(gòu)造函數(shù)，
，單調(diào)遞減，
，，
則.
令，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以單調(diào)遞減，
所以
則，故的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于通過已知同構(gòu)函數(shù)，再利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進(jìn)而參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求解.
3．C
【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.
【詳解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，
則由得，即，
令，
，由得，
當(dāng)，則單調(diào)遞減，
當(dāng)，則單調(diào)遞增，
，
則，又，則.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞增，求導(dǎo)，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】由于 均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由，且，則，
故，
故，
即，
令，
則由，且，則，故在單調(diào)遞增，
對(duì)任意的恒成立，
令，
由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又當(dāng)趨向于1時(shí)，趨向于，而趨向于時(shí)趨向于，
故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，則
當(dāng)故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，
由于對(duì)任意的恒成立，
所以，記，所以在上單調(diào)遞減，又，
故當(dāng)，當(dāng)，
又，所以
又，所以，
由于在單調(diào)遞增，所以，
故，又，故，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.
5．B
【分析】依題意可得在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)需在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
又，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由于，則，
此時(shí)，，滿足在上恒成立；
當(dāng)時(shí)，由于，則，
要使在上恒成立，
則需在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，則，又，所以
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將不等式同構(gòu)成，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明.
6．B
【分析】將化簡為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得在區(qū)間上恒成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)求最值解決恒成立問題即可.
【詳解】因?yàn)楹愠闪⒓矗?br/>可得，
令，則恒成立.
又，故當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間上為增函數(shù).
又恒成立，則在區(qū)間上恒成立，即，.
構(gòu)造，則，令有，
故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).
故，故，即.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：
若在區(qū)間上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
7．12
【分析】不妨設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式為，引入函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，由此只要用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再由分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得出結(jié)論．
【詳解】因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，
則，可化為，
設(shè)，則，
所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，
等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，所以，
因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
所以.
故答案為：12.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題中含有兩個(gè)自變量以及其它參數(shù)，解題方法有兩種，
（1）不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化不等式后利用函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性：如，再解決新函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍；
（2）不妨設(shè)，然后引入?yún)?shù)（，已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，從而利用換元法變?yōu)殛P(guān)于的關(guān)系式（降元，即二元變一元），再由新函數(shù)的性質(zhì)求得參數(shù)范圍．
8．
【分析】設(shè)，則可得，而分別在曲線和直線上，將直線平移恰好與曲線相切時(shí)，可求出的最小值，從而可解關(guān)于的不等式可得答案.
【詳解】由題意設(shè)，則，所以，
因?yàn)榉謩e在曲線和直線上，
所以將直線平移恰好與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，此時(shí)最小，
設(shè)切線為，切點(diǎn)為，則，得，
所以，得，則，
所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，，
即的最小值為，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)和直線的點(diǎn)的距離最小問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
9．12
【分析】不妨設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式為，引入函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，由此只要用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再由分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得出結(jié)論．
【詳解】因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，
則，可化為，
設(shè)，則，
所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，
等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，所以，
因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
所以.
故答案為：12.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題中含有兩個(gè)自變量以及其它參數(shù)，解題方法有兩種，
（1）不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化不等式后利用函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性：如，再解決新函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍；
（2）不妨設(shè)，然后引入?yún)?shù)（，已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，從而利用換元法變?yōu)殛P(guān)于的關(guān)系式（降元，即二元變一元），再由新函數(shù)的性質(zhì)求得參數(shù)范圍．
10．##
【分析】，令，求導(dǎo)后判斷在上單調(diào)遞增，從而問題轉(zhuǎn)化為，恒成立.而，令，求導(dǎo)得到，進(jìn)而可求解.
【詳解】
令，
則，恒成立.
對(duì)求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增.
所以，恒成立.
而
令，則
令，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
所以.
故，即實(shí)數(shù)的最小值是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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