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專題 與隱零點有關的關系研究
【南充市高2024屆高考適應性考試（零診）】
1．函數的零點為，函數的零點為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三】
2．若x，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，則的取值范圍是（ ）（注：選擇項中的為自然對數的底數）
A． B．
C． D．
【舉一反三】
4．已知函數有兩個零點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．的值隨的增大而減小
5．已知函數，若方程有四個不等的實根，，，，且滿足，則的取值范圍為 ．
6．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函數，為常數，若函數有兩個零點、，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數有兩個極值點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．曲線在點處的切線可能與直線垂直
C．
D．
9．已知函數有兩個極值點，，則（ ）
A．a的取值范圍為（－∞，1） B．
C． D．
10．已知函數，，則下列說法正確的是（ ）
A．在上是增函數
B．，不等式恒成立，則正實數的最小值為
C．若有兩個零點，則
D．若，且，則的最大值為
11．已知函數，，若函數有3個不同的零點x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，則的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由與互為反函數，可得，運用等量代換及基本不等式可分別判定各個選項.
【詳解】由題意知，，，
令，則，
又因為與互為反函數，
所以、分別與的的交點關于對稱，
所以，即：，
又因為，，
所以由零點存在性定理可知，，
又因為，即，
所以，
對于A項，因為，，
所以，故A項錯誤；
對于B項，因為，所以，
又因為，，
所以，故B項正確；
對于C項，因為，，所以，故C項錯誤；
對于D項，因為， ，，
所以，故D項錯誤.
故選：B.
2．C
【分析】利用可得，再利用同構可判斷的大小關系，從而可得正確的選項.
【詳解】設，則（不恒為零），
故在上為增函數，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但為上為增函數，故即，
所以C成立，D錯誤.
取，考慮的解，
若，則，矛盾，
故即，此時，故B錯誤.
取，考慮，
若，則，矛盾，
故，此時，此時，故A錯誤，
故選：C.
【點睛】思路點睛：多元方程隱含的不等式關系，往往需要把方程放縮為不等式，再根據函數的單調性來判斷，注意利用同構來構建新函數.
3．B
【分析】利用換底公式可得，構建新函數，利用導數討論其單調性后可判斷的取值范圍.
【詳解】因為，故，故，
設，其中，則，
當時，，當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
但當時，，當時，，
而，故.
下證對于任意的，對在總有兩個不同的零點，
由的單調性可知在上為減函數，在上為增函數，
而，，，
設，則，
故在上為減函數，故，
故在總有兩個不同的零點，
綜上，.
故選：B
【點睛】思路點睛：對于多變量的方程的問題，應該根據方程的特點合理構建新函數，利用導數討論其單調性，在問題解決的過程中注意對范圍充分性的說明.
4．BCD
【分析】由得，作出圖象，然后作圖象，由圖即可判斷四個選項是否正確，即可得到答案.
【詳解】解：由，得，
即.
令，則，
∴當時，，當時，.
∴在上單調遞增，在上單調遞減.
∴當時，取最大值為.
又當時，，當時，.
作出函數的圖象如圖：
由圖可知，，，的值隨的增大而變小.
故選：BCD
【點睛】本題主要考查了函數與方程，函數的零點轉化為對應方程的根，轉化為兩個函數圖象的交點，考查數形結合的思想，屬于中檔題.
5．．
【分析】設，有四個不等實根，設為，，，，且，，，，，畫出的圖象，得出的范圍和他們之間的關系，從而可得，然后換元求出其范圍即可.
【詳解】不妨設，
由題意，有四個不等實根，設為，，，，
且，，，，，
函數的圖象如下：
由圖可知，，
且，，，
∴，，
∴，
設，函數，
則，
∴函數在上為減函數，
∴，
即的取值范圍為．
故答案為：．
【點睛】函數的零點個數或者方程根的個數問題常用數形結合的思想來解決.
6．AD
【分析】A.先構造函數，通過函數的單調性確定的大致范圍，再構造
，通過函數的單調性確定與的大小關系，進而得到A選項.
B.先構造函數，通過函數的單調性確定的大致范圍，再構造
，通過函數的單調性確定與的大小關系，進而可知B選項錯誤.
C.通過，得到，進而可得與的大小關系, 進而可知C選項錯誤.
D.與C選項同樣的方法即可判斷.
【詳解】A. 令
則 ，所以在單調遞減，在上單調遞增，
且，故.
令
則，
所以在上單調遞減，且

即 故選項A正確
B. 令
則，所以在單調遞增，在上單調遞減，
且，故.
令
所以在上單調遞減，且

即 故選項B錯誤
C.
又在單調遞增
故選項C錯誤
D. 由C可知， 又在單調遞減
故選項D正確
故選：AD
7．ACD
【分析】由已知得出，化簡變形后可判斷A選項的正誤；取可判斷B選項的正誤；利用構造函數法證明CD選項中的不等式，可判斷CD選項的正誤.
【詳解】由可得，可知直線與函數在上的圖象有兩個交點，
，當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，則，
且當時，，如下圖所示：

當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點.
對于A選項，由已知可得，消去可得，A對；
對于B選項，設，取，則，所以，，故，B錯；
對于C選項，設，因為，則，
所以，，，
則，
構造函數，其中，則，
所以，函數在上單調遞增，故，C對；
對于D選項，，
構造函數，其中 ，則，
所以，函數在上單調遞減，則 ，D對.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
8．ACD
【分析】根據函數有兩個極值點，得到導函數有兩個變號零點，從而可求參數的取值范圍，即可判斷A選項；
假設滿足條件的切線存在，利用導數的幾何意義求出切線的科率，得到的值，結合A項結果推出矛盾，可得B不正確；
由，利用整體替換思想得到，最后根據的范圍和二次函數的性質得到，可得C正確；
由，利用整體替換思想可知若D正確，則只需，令，構造函數，利用導數可求得的單調性和最值，由此可證得結論，從而判斷D選項．
【詳解】對于A，，令，則，令，解得：，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，；
有兩個極值點，有兩個變號零點，，
即，，A正確；
對于B，曲線在點處的切線斜率，
若該切線與直線垂直，則，即，與矛盾，B錯誤；
對于C，由題意知：，即，
則，由A知：，
由二次函數性質知：，C正確；
對于D，由題意知：，即，又，
，即；
要證，只需證，即證，
即證，
設，則只需證，
令，則，
在上單調遞增，，，
則，D正確.
故選：ACD．
【點睛】關鍵點點睛：對于D項，求解這類極值點偏移問題的關鍵：一是消參，把極值點轉化為導函數零點之后，需要利用兩個變量把參數表示出來，再巧妙地把兩個極值點通過消參向求證的結論逐漸靠近；二是消“變”，即減少變量的個數，只有把不等式轉化為只含有一個“變量”的式子后，才能建立與之相應的函數，轉化為函數問題進行求解．
9．BCD
【分析】利用導數判斷函數的單調性，根據零點的個數求出的取值范圍，進而確定的取值范圍，再利用不等式的性質、構造函數利用導數逐一判斷即可.
【詳解】由題設，且定義域為，則，
當時，則單調遞增，不可能存在兩個零點，即不可能存在兩個極值點，A錯誤；
當時，即單調遞增，當時，即單調遞減，即，
當時，，所以至多有一個零點；
當時，，而，當趨向于0時趨于負無窮大，當趨向于正無窮時趨于負無窮大，
綜上，，在內各有一個零點，且，
B：由且趨向于0時趨于負無窮大，所以，故，
令，
，
又，所以單調遞減，
故當時，，
又，所以，
而，因此，故正確；
C：，
令，顯然有，令，顯然，
因此有：，
設，則，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
因為，所以，
令，即，
因為，所以單調遞增，
因為，所以，
而，所以，
因為，所以，
當時，單調遞減，因此有，即，正確；
D：由，則，故，正確.
故選：BCD
【點睛】關鍵點睛：構造函數、、，利用導數研究單調性，根據單調性進行求解.
10．ABD
【分析】
A選項中，令，利用導數可求得單調性，根據復合函數單調性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導數可求得在上單調遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導數可求得，由可知B正確；C選項中，利用導數可求得的單調性，由此確定，若，可等價轉化為，令，利用導數可求得單調性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構法將已知等式化為，從而可確定，結合單調性得到，由此化簡得到，令，利用導數可求得最大值，知D正確.
【詳解】對于A，當時，，令，則，，
，當時，恒成立，在上單調遞增；
在上單調遞增，
根據復合函數單調性可知：在上為增函數，A正確；
對于B，當時，，又為正實數，，
，當時，恒成立，在上單調遞增，
則由得：，即，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
，則正實數的最小值為，B正確；
對于C，，當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增；，則；
不妨設，則必有，
若，則，等價于，
又，則等價于；
令，則，
，，，，即，
在上單調遞增，，即，
，可知不成立，C錯誤；
對于D，由，得：，即，
由C知：在上單調遞減，在上單調遞增；
，，則，，
，即，；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
即的最大值為，D正確.
故選：ABD.
【點睛】
方法點睛：本題C選項考查了導數中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于（）的問題的基本步驟如下：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導后可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.
11．
【分析】先根據題意，求出的解得或，然后求出f(x)的導函數，求其單調性以及最值，在根據題意求出函數有3個不同的零點x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情況討論求出的取值范圍.
【詳解】解：令t=f（x），函數有3個不同的零點，
即+m=0有兩個不同的解，解之得
即或
因為的導函數
，令，解得x>e，，解得0可得f（x）在（0，e）遞增，在遞減；
f(x)的最大值為 ，且
且f(1)=0；
要使函數有3個不同的零點，
（1）有兩個不同的解，此時有一個解；
（2）有兩個不同的解，此時有一個解
當有兩個不同的解，此時有一個解，
此時 ，不符合題意；
或是不符合題意；
所以只能是 解得
，
此時=-m，
此時
有兩個不同的解，此時有一個解
此時 ，不符合題意；
或是不符合題意；
所以只能是解得
，
此時=，
綜上：的取值范圍是
故答案為
【點睛】本題主要考查了函數與導函數的綜合，考查到了函數的零點，導函數的應用，以及數形結合的思想、分類討論的思想，屬于綜合性極強的題目，屬于難題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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