資源簡介

專題5 與公切線有關的最值問題
（湖南省郴州市2024屆高三一模數學試題）
1．若存在，使得函數與的圖象有公共點，且在公共點處的切線也相同，則的最大值為 .
2．若曲線：與曲線：（其中無理數…）存在公切線，則整數的最值情況為
A．最大值為2，沒有最小值 B．最小值為2，沒有最大值
C．既沒有最大值也沒有最小值 D．最小值為1，最大值為2
3．若曲線與曲線有公切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函數與函數的圖象在公共點處有相同的切線，則實數（ ）
A． B． C． D．
5．已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（ ）
A． B． C．2e D．4e
6．關于的不等式在上恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
7．關于曲線和的公切線，下列說法正確的有（ ）
A．無論a取何值，兩曲線都有公切線
B．若兩曲線恰有兩條公切線，則
C．若，則兩曲線只有一條公切線
D．若，則兩曲線有三條公切線
8．已知直線是曲線與的公切線，則 .
9．已知直線是曲線與拋物線的公切線，則 .
10．若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值范圍是 ．
11．若函數與函數的圖象存在公切線，則實數的取值范圍為 ．
12．已知函數，，若曲線與曲線存在公切線，則實數m的最大值為 .
13．已知函數，若總存在兩條不同的直線與函數圖象均相切，則實數a的范圍為 ．
14．已知函數，．
(1)若函數在定義域上單調遞增，求實數的取值范圍；
(2)當時，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數）．
15．已知，．
(1)若與的圖象相交于點P，且與在點P處的切線重合，求a的值；
(2)若，求a的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】
設兩函數圖象的公共點橫坐標為，求導后得到方程，求出，從而得到，即，構造函數，求導得到單調性，進而求出，求出答案.
【詳解】的定義域為，的定義域為R，
設兩函數圖象的公共點橫坐標為，則，
，，則，即，
解得或，
因為，所以（舍去），滿足要求，
且，即，
故，，
令，，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故，所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：
(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數；
(2) 己知斜率求切點即解方程；
(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設出切點利用求解.
2．C
【詳解】分析：先根據公切線求出，再研究函數的最值得解.
詳解：當a≠0時，顯然不滿足題意.
由得，由得.
因為曲線：與曲線：（其中無理數…）存在公切線，
設公切線與曲線切于點，與曲線切于點，
則
將代入得，
由得，
設
當x＜2時，，f(x)單調遞減，
當x＞2時，，f(x)單調遞增.
或a<0.
故答案為C
點睛：（1）本題主要考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的最值，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關鍵是求出，再研究函數的最值得解.
3．A
【分析】設公切線與函數切于點，設公切線與函數切于點，然后利用導數的幾何意義表示出切線方程，則可得，消去，得，再構造函數，然后利用導數可求得結果.
【詳解】設公切線與函數切于點，
由，得，所以公切線的斜率為，
所以公切線方程為，化簡得，
設公切線與函數切于點，
由，得，則公切線的斜率為，
所以公切線方程為，化簡得，
所以，消去，得，
由，得，
令，則，
所以在上遞減，
所以，
所以由題意得，
即實數的取值范圍是，
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的幾何意義，考查導數的計算，考查利用導數求函數的最值，解題的關鍵是利用導數的幾何意義表示出公切線方程，考查計算能力，屬于較難題.
4．B
【分析】
設出兩個函數圖象的公共點坐標，利用導數的幾何意義建立關系求解即得.
【詳解】設函數與函數的圖象公共點坐標為，
求導得，依題意，，于是，
令函數，顯然函數在上單調遞增，且，
則當時，，因此在中，，此時，經檢驗符合題意，
所以.
故選：B
5．B
【分析】設切點分別為和，則，根據題意轉化為有解，設，求得，得出函數的單調性和極小值，結合，即可求解.
【詳解】因為是和的公切線，
設切點分別為和，則，
由，可得，則
又由，可得，且，則，
所以，可得，
即，顯然同號，不妨設，
設，（其中），
可得，令，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
要使得有解，則需要，即
即，解得，所以，即的最大值為.
故選：B.
【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
6．BC
【分析】根據函數的單調性和最值綜合分析即可求解.
【詳解】由，可得．
記，，
令，，
則，令，
則恒成立，
所以在上單調遞增且，
所以當時，，所以，
當且僅當時，等號成立．
又，．且，
所以直線為與的圖象在處的公切線時
才能使原不等式恒成立，此時，，
故選:BC．
7．BCD
【分析】設曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，根據導數的幾何意義得到，化簡可得，結合對數的定義可判斷A選項；構造函數和，利用導數分析其單調性，進而分析方程解的情況，進而求解.
【詳解】設曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，
因為，，
所以，，
所以公切線的方程為，即，
也可以為，即，
所以，即化簡得，
即，
若，，則上述式子無意義，此時兩曲線沒有公切線，故A錯誤；
①令，
則，
所以，
令，則；令，則，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
當，即時，有兩解，
即方程在時有兩解.
當，即時，只有一解，
即方程在時只有一解.
當，即時，無解，
即方程在時無解.
②令，
則，
所以，
所以函數在上單調遞減，
而當時，，，則，
當時，，，則，
所以函數在上一定存在使得，
即方程在時只有一解.
綜上所述， 當時，有兩條公切線，故B正確；
當時，有一條公切線，
而，所以時，只有一條公切線，故C正確；
當時，有三條公切線，
而，所以時，有三條公切線，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：求兩曲線的公切線及其相關問題時，常常結合導數的幾何意義表示出公切線方程，列出方程組分析求解.
8．##
【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.
【詳解】對于函數，則，
設是曲線上的一點，切線斜率，
所以在點處的切線方程為，即，
對于函數，則，
根據斜率關系可得：，解得，
可得，可知切點坐標為，
則切線方程為，即，
可得，整理得，解得或，
當時，切線方程為，此時，不符合題意，舍去；
當時，切線方程為，故，；
綜上所述：.
故答案為：.
9．
【分析】先考慮與相切，利用導數的幾何意義求出，再將切線與拋物線聯立解出即可.
【詳解】先考慮與相切，設切點的橫坐標為，
由得，
由相切的性質可得①及②，
由②可得帶入①可求出，從而有，
再考慮與相切，
聯立，消去可得，
由解得或（舍去），
故答案為：
10．
【分析】
求出函數的導數，根據導數的幾何意義推出公共切線斜率為，結合切點坐標滿足函數解析式，可得，構造函數，利用導數求得其最大值，即可求得答案.
【詳解】
由題可知，，，
設與曲線相切的切點為，與相切的切點為，
則有公共切線斜率為，則，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
設，，，
可得時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，,
可得處取得極大值，且為最大值，
則正實數a的取值范圍，
故答案為：
11．
【分析】設切點為，求導計算得到切線方程，與二次函數聯立，計算得到，構造，求導得到函數的單調區間，計算最值得到，解不等式得到范圍.
【詳解】，可得，
設切點為，則，
則公切線方程為，即，
，則，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數在上單調遞增，
且，
當時，，即，此時函數單調遞減，
當時，，即，此時函數單調遞增，
所以，且當趨近于時，趨近正無窮，
所以函數的值域為，
所以且，解得，即實數的取值范圍為．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數解決公切線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將公切線問題根據轉化為函數的最值問題是解題的關鍵，構造新函數是常用的方法，需要熟練掌握.
12．##0.5
【分析】
設出公切線和兩個曲線相切的切點，，根據導數的幾何意義找到的關系，然后化二元為一元，將用一個量表示，結合導數工具求解.
【詳解】由題意可知：，
設公切線和相切于，和相切于，
因為就沒有垂直于軸的切線，故公切線斜率存在，設公切線斜率為.
于是
由可得，；
由化簡整理可得，.
根據可得，，
故，
設，則，
1.當時，顯然；
2.當時，則，
令，則，
故在上遞增，注意到，
①當時，，；
②當時，，；
綜上所述：當時，；當時，；
則在上遞增，在上遞減，故，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的突破口在于，通過導數的幾何意義，找出參數和兩個切點橫坐標的關系，利用消元的思想，消去一個未知量，然后構造函數進行求解.
13．
【分析】將有兩條公切線轉化為與直線有兩個不同交點，后利用導數研究函數單調性與極值情況畫出大致圖象，即可得答案.
【詳解】設切線在上的切點分別為.
因.則切線方程可表示為：
，也可表示為：，其中.
則.則總存在兩條不同的直線與函數圖象均相切，
等價于與直線有兩個不同交點.，則.
令在上單調遞增，
在上單調遞減，則.
注意到，，可得大致圖象如下，則.
故答案為：
14．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可知在上恒成立，然后再根據分離參數法結合導數在函數單調性中的應用，即可求出結果；
（2）設公切線在上的切點為，在上的切點為，根據導數的幾何意義，求出切線方程為，和，根據公切線的含義化簡可得，又，可得，令，再利用導數在函數最值中的應用，即可求出結果.
【詳解】（1）解：由題意，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，則，
所以在上單調遞增．
于是，所以．
（2）解：當時，設公切線在上的切點為，
則切線方程為：．
設公切線在上的切點為，
則切線方程為：，
，
又，．
令．．
又在上單調遞減，而，，
滿足，即，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
，
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）設出切點的坐標，利用導數的幾何意義求解得出結論；
（2）利用（1）的結論，證明即可求解．
【詳解】（1）設切點，，
對兩個函數分別求導有，，
因為與的圖像相交于點P，且與在點P處的切線重合，
所以，又，
聯立解得，.
（2）由（1）可知，當時，
與在點處的切線重合，此時，
又在處的切線方程為，
令，則，
易得,,，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，可得，
令，
當時，才有，
又對稱軸，
當時最小值等于，解不等式得，即；
當時，與切線方程相交，則不成立；
由綜上所述，．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑