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專題2 多變量函數的最值問題
【2024唐山9月模擬演練8】設，．當P取得最大值時，，滿足（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【方法名稱】柯西不等式+基本不等式
【思路分析】雙變量函數通過柯西不等式放縮為單變量函數后，繼續利用基本不等式方法求得最值
②等號成立，當且僅當，解得
①等號成立，當且僅當，解得
【舉一反三】
1．若函數在其圖象上存在不同的兩點，，其坐標滿足條件：的最大值為0，則稱為“柯西函數”，
則下列函數：
；
；
；
．
其中為“柯西函數”的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．設，，則的最小值為 ．
【方法名稱】“輔助角公式”＋“基本不等式”
【思路分析】雙變量函數通過輔助角公式放縮為單變量函數后，繼續利用基本不等式方法求得最值
，令
∴，令，
∴，∴，∴
當時，，
而
當且僅當，即時，上式取“＝”，此時
又，∴．
綜上，，，選C．
【舉一反三】
3．已知函數的圖象的兩相鄰零點之間的距離小于，為函數的極大值點，且，則實數的最小值為 .
4．已知函數，當取得最大值時， .
【方法名稱】導數法+二次函數法
【思路分析】雙變量函數通過導數放縮為單變量函數后，繼續利用二次函數求得最值
，，
↓，則在時，即時，取得最大值，
此時
．
當時，即時取得最大值．
同時，，即．
【舉一反三】
5．在上的最小值為 .
6．函數的值域為 .
【方法名稱】柯西不等式+二次函數法
【思路分析】雙變量函數通過柯西不等式放縮為單變量函數后，繼續利用二次函數求得最值
根據柯西不等式，得
當且僅當時，取“＝”，
令，，
當時，，即，，
∴，
由，即，
故，．選C．
7．已知函數，若恒成立，則的最小值為 ．
8．已知，，是正實數，且，則的最小值為 .
9．已知實數，，，，滿足，，則實數的取值范圍為 ．
10．已知，，若存在，對任意，恒成立，則 .
11．在平面四邊形中，，，，則的最大值為 .

12．已知函數是定義在上的單調遞減的奇函數，且對，有恒成立，則的最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】問題轉化為存在過原點的直線與的圖象有兩個不同的交點，利用方程思想與數形結合思想，逐一判斷即可.
【詳解】由柯西不等式得：對任意實數恒成立(當且僅當取等號），若函數在其圖象上存在不同的兩點，其坐標滿足條件：的最大值為0，則函數在其圖象上存在不同的兩點，使得共線，即存在過原點的直線與的圖象有兩個不同的交點：
對于① ,方程,即，不可能有兩個正根，故不存在；
對于②，，過原點的直線與函數的圖象在點處相切，由圖可知這樣的直線存在；
對于③，由圖可知存在；
對于④，由圖可知存在,
所以“柯西函數”的個數為2，故選C.
【點睛】本題考查了新定義,以及轉化思想與數形結合思想的應用，屬于難題. 數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質．
2．
【分析】根據題意，對拆分項或配湊因式：、、、，創設運用基本不等式的條件，且連續使用基本不等式，并使等號能夠同時成立，最后求出其最小值．
【詳解】；
當且僅當時取到最小值，解得，，，時等號成立,
故答案為：24.
【點睛】本題考查基本不等式的應用, 解此類題目的兩個技巧: (1)創設運用基本不等式的條件，合理拆分項或配湊因式，其目的在于使等號能夠成立．(2)既要記住基本不等式的原始形式，而且還要掌握它的變形形式及公式的逆用等，例如：，，．
3．13
【分析】利用輔助角公式化簡的表達式，確定，結合求得以及的表達式，結合其平方和為1求得m的值，即可求得，從而可得的表達式，繼而求得答案.
【詳解】由題意得，（為輔助角），
由題意知，
為函數的極大值點，故，
即，故，
即，
因為，
故，即，
所以，
由于，故，
解得（），故，
則或，
即或，
則實數的最小值為13，
故答案為：13
【點睛】方法點睛：解答此類有關三角函數性質類的題目，要能綜合應用三角函數性質，比如周期，最值以及對稱性等，求得參數的通式，再結合其他性質即可求解答案.
4．
【分析】利用輔助角公式及正弦函數性質易得取得最大值有，進而求.
【詳解】由且，
所以，此時，
所以，故.
故答案為：
5．
【分析】由導數得出單調性進而得出最值.
【詳解】因為，，所以，令，
得或，所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以時，取極小值，且極小值為，
又，所以在上的最小值為.
故答案為：
6．
【分析】化簡，設，易知是的周期，利用導數研究在上的單調性，求得值域．
【詳解】，
設，
由，
易知是的周期，考慮在上的單調性．
求導得 ，
令，得或，
在上，可得或或或，
當或時，，則，所以為增函數；
當時，．則，所以為減函數，
又，
所以，而，
所以．
故答案為：.
7．
【分析】
利用柯西不等式求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得，
又，
當且僅當，即時，等號成立，則，
又恒成立，所以，故的最小值為.
故答案為：.
8．10
【分析】利用柯西不等式求解.
【詳解】由柯西不等式可得，
所以，即，
當且僅當即也即時取得等號，
故答案為：
9．
【分析】先由柯西不等式得從而得到關于的不等關系，解之即的取值范圍．
【詳解】解：由柯西不等式得
即
解得
所以：的取值范圍是
故答案為：．
10．
【分析】依題意，先確定函數，再由三角函數的性質確定最大最小值.
【詳解】依題意，


，
對任意， 恒成立，
當時，，
當時，則，
當時，，
當 時，.
所以，得，
所以.
故答案為：.
【點睛】對于不等式恒成立問題，常轉換為研究函數的最大、最小值滿足不等式.
11．
【分析】設，利用三角函數函數得，再利用余弦定理結合三角恒等變換即可得到最值.
【詳解】設，，則，代入數據得，
，，
在中運用余弦定理得，
即
，，
所以當，即時，的最大值為3，則的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于引角，設，再利用三角函數和余弦定理得到，最后結合誘導公式和三角恒等變換即可求出最值.
12．
【分析】由函數的奇偶性與單調性轉化不等式，結合輔助角公式與三角函數的有界性得出，再由均值不等式求解
【詳解】由可得，
則根據函數在上單調遞減可得，
則在上恒成立，化簡得在上恒成立，
故，而，則的最大值為.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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