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專題7 同構與反函數法解恒成立問題
【浙江省寧波市九校2023-2024學年高二上學期期末】．對任意，函數恒成立，求的取值范圍______．
將不等式轉化為，構造函數，利用導數判定其單調性，分段討論計算即可.
由．
設，則恒成立．
易知在，
．
當時，，顯然成立；
當時，由單調性可知．
令，則，
則．
所以，解得．
所以答案為．
（23-24高三下·四川雅安·開學考試）
1．當時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三上·河北·期末）
2．設實數，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
原不等式化為，根據函數結構及反函數的對稱性質，換元變形為求恒成立，再構造函數計算最值即可.
由
令，則．
而與互為反函數，
所以問題等價于．
由對稱性，只需．所以．
構造，顯然時，函數單調遞減，時函數單調遞增，
即．
（23-24高三上·陜西商洛·階段練習）
3．已知函數，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．若對任意，恒有，求實數的最小值.
5．已知函數，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍
6．對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.
7．已知函數，若，求的取值范圍.
（23-24高三上·河北·期末）
8．設實數，若對恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·陜西渭南·期中）
9．設，對任意恒成立，則m最大值（ ）
A． B．e C． D．
（23-24高三上·四川德陽·階段練習）
10．已知函數，若在恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2020·山東·高考真題）
11．已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據題意，化簡得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調遞增，轉化為在上恒成立，令，利用求得函數的單調性和最大值，得到，即可求解.
【詳解】由題意，當時，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上單調遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：D.
【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
2．C
【分析】
將原不等式轉化為恒成立，先判斷得出恒成立，結合不等式的基本性質可得恒成立，進而求解即可.
【詳解】
，即，
因為，所以，即恒成立，
令，則，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
因為，所以，
若時，不等式恒成立，則恒成立，
若時，，恒成立，則也成立，
所以當時，恒成立，所以得，即，
設
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，所以，即正實數的最小值為.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：運用同構的基本思想將原不等式轉化為恒成立，再運用不等式的性質，先得出恒成立，再運用導數討論恒成立進而求出結果.
3．C
【分析】將問題轉化為，令函數，則，再由的單調性將問題轉化為恒成立，構造函數，利用導數求出其最大值即可.
【詳解】由題知恒成立，可得(否則時，不等式不成立)，
所以，
則.
令函數，則.
因為，
所以在上為增函數，
所以，即.
令函數，則，
當時，；當時，，
所以在單調遞增，在上單調遞減.
所以.
故的取值范圍是.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是對已知化簡變形，再構造函數，則轉化為，再利用函數的單調性轉化為，然后構造函數利用導數求函數的最值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于難題.
4．.
【分析】將給定不等式恒等變形，使不等號左右兩邊結構相同，構造函數，利用函數的單調性化簡
不等式，再變形并構造函數，借助導數求出最大值即可作答.
【詳解】，，
令，則，令，有，
當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，
，，因此，在單調遞增，
則，
令，則，當時，，當時，，
于是得函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，，即得，
所以實數的最小值為.
【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用函數思想是解決問題的關鍵.
5．
【分析】
將所求不等式變形為，構造函數，利用到導數分析函數的單調性，可得出，結合參變量分離法可得出，利用導數求出函數的最小值，可得出關于實數的不等式，解之即可.
【詳解】
因為，且，
由可得，
即，即，
構造函數，則，所以函數為上的增函數．
則原不等式等價于，則，
所以，，其中，
令，其中，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
所以，，所以，，即得．
因此，實數的取值范圍是．
【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于將不等式變形為，通過構造函數，結合函數的單調性得出關于的不等式，結合參變量分離法求解.
6．.
【分析】若證，即證，構造函數，判斷函數單調性，可得，即恒成立，設，即.
【詳解】若證，
設，則，所以函數在上單調遞增，
所以由，得，即恒成立.
令，則，
當時，，當時，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減
所以，
所以實數的最小值為.
【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
7．.
【分析】將給定不等式等價變形并分離參數，借助不等式“，當且僅當時取等號”，推理計算作答.
【詳解】，
，
令，求導得：，當時，，當時，，
即在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，即，，
因此，，當且僅當時取“=”，
令，顯然在上單調遞增，而，
即存在，使得成立，即有最小值1，則有，
所以實數的取值范圍是.
【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用函數思想是解決問題的關鍵.
8．B
【分析】
先將指對混合形式變形為同構形式，再構造函數，利用函數單調性求函數最值，得到參數范圍.
【詳解】由，則，，
當時，，恒成立，
即任意，對恒成立；
當時，，
即，其中，
構造函數，則.
，因為，所以，單調遞增；
則有，則，
構造函數，
則，令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
則， 即當時，，
故要使恒成立，則，即的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】一般地，在等式或不等式中指對形同時出現，可能需要利用指對同構來解決問題.解決問題的關鍵在于指對分離，構造“指冪—冪對”形式，再構造函數求解.常見的同構式有：與，與等.
9．B
【分析】
先轉化原不等式為，然后利用構造函數法，結合導數來求得的取值范圍，進而求得的最大值.
【詳解】依題意，，對任意恒成立，
即對任意恒成立，
設，
所以在上單調遞增，最小值為.
設，則.
令，
則，所以在上單調遞增，
所以，所以，當時等號成立.
所以恒成立，
兩邊取以為底的對數得，
設，令，在上單調遞增，
，所以，所以的最大值為.
故選：B
【點睛】方法點睛：求解含參數的不等式恒成立問題，可以考慮分離參數法來求解，也可以考慮直接構造函數法，還可以考慮轉化為兩個函數的方法來進行求解.本題不考慮分離參數法，主要原因是含參數的不等式不容易分離出來.
10．D
【分析】
將不等式變形為，構造函數，求導確定單調性，即可由最值求解.
【詳解】由在恒成立，即，
令，所以單調遞增，
故不等式轉化為，故，進而
令，
當單調遞減，當單調遞增，
故，
故，即，
故選：D
【點睛】方法點睛：利用導數求解不等式問題：
1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；
2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；
3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；
4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
11．（1）（2）
【分析】（1）利用導數的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得結果；
（2）方法一：利用導數研究函數的單調性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數對數的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
【詳解】（1），，.
，∴切點坐標為(1,1+e),
∴函數在點(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標軸交點坐標分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設,則
∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，
當時，,∴,∴成立.
當時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優解】：同構
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當時，單調遞增；
當時，單調遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時為增函數，故，即，分離參數后有．
令，所以．
當時，單調遞增；當時，單調遞減．
所以當時，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因為定義域為，且，所以，即．
令，則，所以在區間內單調遞增．
因為，所以時，有，即．
下面證明當時，恒成立．
令，只需證當時，恒成立．
因為，所以在區間內單調遞增，則．
因此要證明時，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．
當時，因為，顯然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
【整體點評】（2）方法一：利用導數判斷函數的單調性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；
方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據函數的單調性以及分離參數法即可求出，是本題的最優解；
方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據函數的單調性以及分離參數法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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