資源簡介

專題 6 根據(jù)極值情況求參數(shù)范圍
【2024屆河北省邯鄲市高三上第二次調(diào)研第16題】已知函數(shù)（，且）存在極小值和極大值，則實數(shù)的取值范圍是______．
分類討論，借助導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點個數(shù)得出，從而得出實數(shù)的取值范圍
因為定義域為，依題意可得有兩個變號零點，
，
令，
若時，恒成立，故單調(diào)遞增，最多一個零點，與提議矛盾。
若，則，顯然單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，
所以只需，
則，所以，
所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：
1．函數(shù)在區(qū)間存在極值點的一個充分不必要條件為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東·模擬預(yù)測）
2．已知函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)a的范圍是 ．
法一：求導(dǎo)，進(jìn)行參數(shù)分類，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性以及圖像，結(jié)合圖像得出實數(shù)的取值范圍.
法二：求導(dǎo)，進(jìn)行參數(shù)分類，構(gòu)造常見函數(shù)，結(jié)合圖像得出實數(shù)的取值范圍.
法一：因為定義域為，依題意可得有兩個變號零點，兩個變號零點
有兩個變號零點，
令時，，，且時，時，（如下圖所示），
故有兩個變號零點只需，所以，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：
法二：前面過程同上，只需有兩個變號零點，
即有兩個變號零點，
令，常見函數(shù)圖像如圖所示（求導(dǎo)易得），，
且時，時，，
故有兩個變號零點只需，
所以，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：
（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）
3．若存在極值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西西安·二模）
4．若函數(shù)在和，兩處取得極值，且，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
求導(dǎo)，根據(jù)題意得出與有兩個變號交點，利用兩者相切得出臨界值，從而得出實數(shù)的取值范圍.
因為定義域為，依題意可得有兩個變號零點，
兩個變號零點
有兩個變號零點，
即與有兩個變號交點，
又過定點，且如圖所示：
兩者相切時，故只需，所以，
所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：
5．已知函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
一次求導(dǎo)得出，二次求導(dǎo)，得出，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，再由零點個數(shù)得出實數(shù)的取值范圍.
因為定義域為，
，依題意可得有兩個變號零點，
令，則，設(shè)，
所以有兩個不同實數(shù)根，
又，
若，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，
所以至多有一個根，不符合題意，
若，則，顯然單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時，當(dāng)時，要使有兩個不同正實數(shù)根，
則，
即，又所以，則，
所以，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：
6．已知函數(shù).當(dāng)時，不等式的解集是 ；若是的極值點，則 .
（2018·福建南平·二模）
7．若函數(shù)在區(qū)間有一個極大值和一個極小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·安徽·開學(xué)考試）
9．已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）
10．已知函數(shù)在處取得極大值，則的取值范圍是 .
（23-24高二上·安徽·期末）
11．已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
12．函數(shù)f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在區(qū)間內(nèi)有極小值，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
13．設(shè)為實數(shù)，且，函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】在區(qū)間存在極值點，即在區(qū)間存在變號零點，
二次函數(shù)分，，討論變號零點對參數(shù)的限制，可得，再結(jié)合充分不必要條件的定義，即得解
【詳解】由題意，
在區(qū)間存在極值點，即在區(qū)間存在變號零點
由于二次函數(shù)對稱軸為
（1）當(dāng)即時，在區(qū)間單調(diào)遞增，故，不成立；
（2）當(dāng)即時，在區(qū)間單調(diào)遞減，故，不成立；
（3）當(dāng)即時，要保證在區(qū)間存在變號零點
或
故在區(qū)間存在極值點的等價條件為，若選項中的一個為其充分不必要條件，則所在的范圍為的真子集
故選：D
2．
【分析】由題可得，又令，
可得，易得，不合題意.令，可得，后通過討論與0的大小，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與正負(fù)性，從而可得在處的極值情況.
【詳解】，可得，
令，則．
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.
又，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.
所以在處取得極小值，不合題意；
②當(dāng)時，，令，
解得在上單調(diào)遞增.
又，.
可得當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，從而，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，不合題意；
③當(dāng)時，，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，也是最大值，所以，從而，
所以在上單調(diào)遞減，不合題意；
④當(dāng)時，，令，
解得在上單調(diào)遞減.
又,故當(dāng)時，，
從而在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞減．
所以在處取得極大值，符合題意.
綜上，實數(shù)a的范圍為．
故答案為：.
【點睛】結(jié)論點睛：本題涉及函數(shù)極值點，難度較大，涉及相關(guān)結(jié)論如下：
若在處取極大值，則；
若在處取極小值，則.
3．A
【分析】由在有解，分離參數(shù)得，令，再由導(dǎo)數(shù)求出其值域后即可得．
【詳解】由題意可知，，有解，
令，則，遞增，，．∴，，
故選：A.
4．
【分析】根據(jù)題意可得原題意等價于與有兩個不同的交點，再數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系運算求解.
【詳解】因為，則，
令，且，整理得，
原題意等價于與有兩個不同的交點，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得或；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
由圖可得：若與有兩個不同的交點，可得：，
因為，則，
由圖可知：當(dāng)增大時，則減小，增大，可得減小，
取，令，則，
因為，解得，
所以，則，
即實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的極值問題，需要根據(jù)題意參變分離，利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點問題，即畫出圖像分析極值點之間的關(guān)系，并找到臨界條件進(jìn)行分析.
5．D
【分析】通過特值法，對參數(shù)進(jìn)行賦值，然后驗證函數(shù)能否在處取得極大值，排除選項即可得到答案.
【詳解】當(dāng)時，，
由，得，由，得，
∴在上遞減，在上遞增，
∴在處有極小值，即不合題意，排除A，B；
當(dāng)時，，
，得，
，得，
∴有最大值，
∴，∴在上遞減，
在處無極值，排除.
故選：D.
【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值問題、排除法解選擇題，屬于難題. 用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進(jìn)行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型：
（1）求值問題（可將選項逐個驗證）；
（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；
（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點排除）；
（4）解方程、求解析式、求通項、求前項和公式問題等等.
6．
【分析】當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得的解集.由進(jìn)行分析，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值.
【詳解】當(dāng)時，，
，在上遞增，
由于，所以不等式的解集是.
的定義域時，.
，，
由于是的極值點，所以在兩側(cè)函數(shù)值符號相反，
，
若，，在，遞減；在，遞增.所以，在上遞增.不符合題意.
若，令解得或，則在左側(cè)遞減，右側(cè)遞增，不符合題意.
若，令解得或，
當(dāng)時，在兩側(cè)單調(diào)性相反，而，此時不是的極值點.
當(dāng)，即時，，在上遞減，而，所以在區(qū)間，遞增；在區(qū)間遞減，是的極大值點，符合題意.
所以.
故答案為：；
【點睛】在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)時，若一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮采用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.
7．A
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的意義列式求解即可.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，
令,，當(dāng)或時，，當(dāng)時，
即有函數(shù)在上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，顯然，
因函數(shù)在區(qū)間有一個極大值和一個極小值，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
【點睛】結(jié)論點睛：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號不同．
8．D
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不相等實根，即有兩個不同的交點，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【詳解】解：，則，
要使函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，
只需方程在有兩個不相等實根．
即，令，則．
當(dāng)，，
當(dāng)，，
在遞增，在遞減，當(dāng)，，
，
其圖象如下：
，．
故選：D．
9．
【分析】函數(shù)既有極小值又有極大值，則有兩個不相等的實數(shù)根，進(jìn)而分離參數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求出的取值范圍.
【詳解】
函數(shù)既有極小值又有極大值，
則在上有兩個不等的實數(shù)根，
即有兩個不等的實數(shù)根，
所以有兩個不等的實數(shù)根，
所以有兩個不等的實數(shù)根，
令，，
時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
，當(dāng)時，，
故，解得.
故答案為：
10．
【分析】由以及導(dǎo)數(shù)、極大值等知識對問題進(jìn)行分析，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
【詳解】的定義域是，
，
由于函數(shù)在處取得極大值，
所以，
且在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減，
所以，
所以，構(gòu)造函數(shù)，顯然，
，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以是的極大值也即是最大值，
所以，也即的取值范圍是.
故答案為：
11．
【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，
所以在上有兩個變號零點，
因為，令，即，可得，
令，則，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，作出函數(shù)在上圖象，
當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，
當(dāng)或時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，
此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：本題考查極值點問題.根據(jù)題意函數(shù)在上有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為在上有兩個變號零點，即，即有兩個不同的根，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可判斷求解.
12．D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)等于零，求出方程的兩個根，通過討論根的范圍可得a的取值范圍.
【詳解】解：由，得
，
（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的一個極小值點，
（2）當(dāng)時，令，則或，
①當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的一個極小值點，
②當(dāng)時，
i)若，即時，時，，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的一個極小值點，
ii)若，即時，當(dāng)時，，函數(shù)無極值；
iii)若，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為上的極小值點，
綜上a的取值范圍是，
故選：D
【點睛】此題考查了函數(shù)的極值，考查了分類討論思想，屬于中檔題.
13．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得，再分和兩種情況討論求解即可；
（2）由題得有兩個不同的根，進(jìn)而曲線與直線有兩個不同的交點.故先考慮曲線與直線相切的情況時得，進(jìn)而令，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)知得，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為恒成立，最后結(jié)合已知，解不等式即可得答案.
【詳解】（1）解：由題意得.
因為，所以，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，令，則，所以；
令，得，
所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）解：因為函數(shù)有兩個不同的零點，
所以有兩個不同的根，即曲線與直線有兩個不同的交點.
易知直線與軸交于點.
先考慮曲線與直線相切的情況.
設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，
所以切線方程為，
則，
所以，
令，則，
令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由于時，，
所以，
所以要滿足條件，則恒成立.
因為，只需即可，解得.
故的取值范圍為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑