資源簡介

專題3 三角函數中的條件最值問題
【2023·江蘇南京·高二南京師范大學附屬中學 題16】已知均為銳角，且，則的最大值是 ．
【方法名稱】數形結合法
【思路分析】利用三角恒等變換將目標函數轉化為兩點的連線斜率，再結合幾何意義求解.
由已知得，
兩邊同除以，并整理得，
∵均為銳角，∴可以看成是單位圓的下半圓上的動與定點（3，0）連線的斜率，其最大斜率為.
【舉一反三】
1．已知，則S的取值范圍是 ．
2．已知，則的取值范圍是 ．
【方法名稱】和差化積
【思路分析】利用積化和差求出正弦函數的最值后，再利用同角三角函數關系可解正切的范圍.
因為，所以，故，
故即，
所以，當等號成立，此時
故的最大值為.
【舉一反三】
3．設，，則 ．
4．已知則的值為 .
【方法名稱】反表示法
【思路分析】利用輔助角公式劃歸一角一函，再利用三角函數的有界性構建不等關系后求解.
法1：由已知得，
兩邊同除以，并整理得，
令，則，
故，故，
當時，即即，
設且，則，故當時，，
故的最大值為.
法2：由已知得，
兩邊同除以，并整理得，
又，其中且，
故當時取最大值3，故，
所以.
【舉一反三】
5．函數的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數的最大值和最小值分別是，則為( )
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【方法名稱】基本不等式法
【思路分析】利用萬能公式或兩角差的正弦將目標函數轉化為齊次三角分式，結合基本不等式求范圍
，
，
，
，
，
，
因此，
當且僅當時取等號，即，
故答案為：.
法二：
，
當且僅當時取等號，即，
故答案為：
法3：因為，所以，
整理得到：，
若，則，這樣為銳角矛盾，
故即，
所以，
當且僅當時等號成立，故的最大值為.
【舉一反三】
7．在銳角中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最小值為 ．
8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為 ．
【方法名稱】導數法
【思路分析】利用三角變換公式將目標函數表示出來，然后利用導數法求得最值
由已知得，
兩邊同除以，并整理得，
設，則，令，則，
因為為銳角，故在上有唯一解，記為，則，
當時，；當時，；
故在上為增函數，在上為減函數，故，
所以的最大值為.
【舉一反三】
9．關于函數，下列說法中正確的有 ．
①的最小正周期是； ②是偶函數；
③在區間上恰有三個解； ④的最小值為．
10．已知，則當取得最大值時， ．
【方法名稱】判別式法
【思路分析】利用三角變換公式將目標函數視為某一一元二次方程的參數，然后利用判別式法求得最值
因為
所以關于的一元二次方程有解，
則判別式即.
又因為為銳角，所以
故的最大值為.
【方法名稱】構造法
【思路分析】通過構建幾何圖形，將題目中的條件放置在合適的幾何圖形求最值
法1：構建三角形利用三角換元求結合基本不等式
∵均為銳角，令，構造
則，∴
∵，∴
由正弦定理和余弦定理可得，設
∴
（當且僅當時，等號成立）
∴
∴，即的最大值為．
法2：構建圓結合柯西不等式求最值
在直徑為1的圓M中，直徑為AB，構造與，使，．如圖，連結CD，
∵外接圓直徑為1，
∴．
在中，
即：，又
∴
∴，∴
∵
而當且僅當時等號成立．
∴，∴，即．
∴的最大值為．
11．已知函數在區間上的圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C．2 D．
12．函數是（ ）
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數；且最大值為 D．偶函數；且最大值為3
13．函數在區間上的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
14．若點在曲線（為參數，）上，則的最小值是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】將轉化為點與點的連線斜率，而點在上，點在上，利用圖像可觀察出S的取值范圍.
【詳解】解：等價于點與點的連線斜率，
點在上，點在上，
如圖：
觀察圖像，當過點的直線和圓相切，且斜率存在時，斜率最小，無最大值，
設該直線為，即，
此時有，解得：
故S的取值范圍，
故答案為：
【點睛】本題考查分式型式子的最值問題，利用數形結合轉化為斜率問題，是中檔題.
2．
【分析】化為，可得直線與圓有公共點，即，得到，轉化為關于的不等式求解．
【詳解】解：化為，
可得直線與圓有公共點，
，得到（當且僅當時，等號成立）．
故．
解得：．
的取值范圍是，．
【點睛】本題考查了函數的幾何意義的應用及基本不等式的應用，屬于中檔題．
3．
【分析】利用和差化積公式和正切的二倍角公式計算即可.
【詳解】，
．
故答案為：.
4．
【分析】應用三角函數的恒等變換公式對變形求得，再由求得，可得結論．
【詳解】，
所以，
，
所以．
故答案為：．
5．D
【分析】首先對原式進行變形，然后再利用換元法求函數的最值.
【詳解】由題知，
整理得，
令，易知，
所以知在時是單調遞減函數，
因為，
整理得，
解得，代入中有的最大值為，
即的最大值為.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了三角函數的恒等變換，結合考查了函數最值問題，屬于難題.
6．A
【分析】設，結合三角恒等變換得到，平方整理后結合一元二次不等式、一元二次方程根與系數關系求得.
【詳解】設，，
，
，所以，
兩邊平方并化簡得（*），，
設關于的方程的兩根是，
則
而不等式（*）的解為：，即分別是函數的最小值和最大值，
所以.
故選：A
【點睛】本題解題的關鍵是利用三角函數來構造關于函數值的不等關系式，從而結合一元二次不等式的解法來求得最值的關系式.
7．8
【分析】根據兩角和的正切公式得到，最后再換元，利用基本不等式求最小值.
【詳解】，
,
，
令，
由，
則，
當且僅當時，即時，取等號，此時，
所以的最小值是8.
故答案為：8.
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于利用兩角和的正切公式將轉化為，換元，進而利用基本不等式求解即可.
8．##
【分析】利用和差公式和二倍角公式得到，確定，原式化簡為，再利用均值不等式計算得到最值.
【詳解】，
即，
即，，，
故，整理得到，
即，且，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：本題考查了三角恒等變換，均值不等式，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，確定，轉化為均值不等式是解題的關鍵.
9．②④
【分析】利用特殊值法可判斷①；利用函數奇偶性的定義可判斷②；利用導數分析函數在區間上的單調性，可判斷③；利用函數的對稱性、周期性以及單調性求出函數的最小值，可判斷④.
【詳解】對于①，因為，，
所以，，故函數的最小正周期不是，①錯；
對于②，令，
函數的定義域為，
，
所以，函數為偶函數，即函數為偶函數，②對；
對于③，，
則，
令，其中，則且不恒為零，
所以，函數在上單調遞增，
當時，，
若時，即當時，，即，
此時；
若時，即當時，，即，
此時.
所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，方程在區間上至多兩個解，③錯；
對于④，因為函數的定義域為，
，
所以，函數為周期函數，且為函數的一個周期，
由①可知，函數為偶函數，即，
故函數的圖象關于直線對稱，
要求函數的最小值，只需求函數在上的最小值，
當時，，則，
即，所以，，
且不恒為零，所以，函數在上單調遞減，
所以，，④對.
故答案為：②④.
【點睛】方法點睛：求函數在區間上的最值的方法：
（1）若函數在區間上單調，則與一個為最大值，另一個為最小值；
（2）若函數在區間內有極值，則要求先求出函數在區間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；
（3）若函數在區間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最小）值點，此結論在導數的實際應用中經常用到.
10．
【分析】設，利用二倍角的正切公式得到，再利用導數即可求出其最值時的值，再代入即可得到答案.
【詳解】設，因為，則，則，
則．
設函數，
則．
當時，即，，此時單調遞增；
當時，即，，此時單調遞減，
所以當時，取得最大值，即取得最大值，
此時．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用二倍角公式構造出關于的函數關系，再利用導數法求出最值即可.
11．B
【分析】法一：利用導函數研究出極值點，進而結合圖象及極值求出的值；法二：設函數值為，使用輔助角公式及三角函數的有界性及極值列出方程，求出的值.
【詳解】法一：當時，
設，其中，則，另外，所以，故，解得：，又因為，所以，
故選：B.
法二：由，，從而，由于，所以，解得：，又從圖象可以看出，即，從而，解得：，由于，故.
故選：B.
12．C
【分析】先利用函數奇偶性定義得到為奇函數，排除BD，再得到是的一個周期，故只需考慮上，的最大值，求導，得到函數單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案.
【詳解】定義域為R，
且，
故為奇函數，排除BD；
由于，
所以是的一個周期，
要想求解的最大值，只需考慮的情況，
，
當時，，故在上單調遞增，
當時，，故在上單調遞減，
當時，，故在上單調遞增，
故在處取得極大值，
，
又，
故的最大值為.
故選：C
13．B
【分析】求導，利用導數判斷原函數的單調性和最值，進而可得結果.
【詳解】因為，則，
當時，則，可得；
當時，可得；
當時，則，可得；
綜上所述：在上恒成立，則在上單調遞增，
所以函數在區間上的最小值為.
故選：B.
14．##
【分析】由（為參數，）可得．因此可以看作與圓上的點的連線的直線的斜率的取值范圍．利用點到直線的距離公式即可得出．
【詳解】由（為參數，）可得：．因此可以看作與圓上的點的連線的直線的斜率的取值范圍．
設過點的直線方程為：，化為，
解得 ．解得 ．∴的最小值是．
故答案為：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑