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專題1 有關角度計算問題
【人教版A必修二P53 T12】如圖，在中，已知，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，求的余弦值.
【方法名稱】向量法
【思路分析】即為與的夾角，先用將與表示出來，求出以及，，代入公式即可．
【詳解】∵M，N分別是BC，AC的中點，
.
與的夾角等于.
，
，
，
．
【舉一反三】
1．如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則 .

2．如圖，在中，已知，，，是的中點，，設與相交于點，則 ．

【方法名稱】解三角形法
【思路分析】將所求角轉化為目標三角形中的內角進行求解
【詳解】法一：連接，，，
在中由余弦定理：
，∵為重心，，
∵，平方后，
，∴
在中由余弦定理可得.
法二：
.
法三：補圖，比例法，結合余弦定理
延長AM、BN，過C作AB的平行線與AM、BN交于Q、G
∵M、N分別為BC、AC中點，且
∴，，∴，
∵，∴，相似比為1：2
設，，則，
在△BAN中由余弦定理，，∴
在△ABC中，
在△ABM與△ABC中，，，∴
則，
在△APB中，
【舉一反三】
3．如圖，在中，點D在BC邊上，BD的垂直平分線過點A，且滿足，，則的大小為 ．

4．在中，，，，Q為內一點，.若，則 .
【方法名稱】建系法
【思路分析】建系聯立方程求P坐標，余弦定理∠MPN求余弦
【詳解】法一：M、N為原點，AC為x軸，AC的垂直平分線為y軸
，則，
設AM：①，BN：②
聯立①②得，即
∴在△ABP中，，
由余弦定理有
法二：
建立如圖所示直角坐標系，則
【舉一反三】
5．已知非零平面向量不平行，且滿足，記，則當與的夾角最大時，的值為
6．已知矩形ABCD的邊長為，點P滿足，則sin∠DPA的值為 ．
【方法名稱】和差角轉化法
【思路分析】因為∠MPN為△APN的外角，設，，所以所求，
構造和，分別求出，的正弦值與余弦值，代入中即可
【詳解】解：∵，∴
如圖，分別作于點D，于點E，
設，，在△ABD中，，，
在中，，，∴，
在中，，，，∴，
∴
【舉一反三】
7．最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
8．如圖，有一壁畫，最高點處離地面6m，最低點處離地面3.5m.若從離地高2m的處觀賞它，則離墻 m時，視角最大.
9．已知為的外心，且，則 .
10．如圖，在邊長為2的菱形中，，，分別是，的中點，則向量與的夾角的余弦值為 .
11．已知是的外心，且，則 ．
12．在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點，則的余弦值為 .
13．設的外心滿足，則 ．
14．已知在中，，，，P為平面OAB上一點，且，當OP最小時，向量與的夾角為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】
先利用向量的線性運算表示，，然后數量積求解夾角余弦值即可.
【詳解】設，，則，
，又，，
所以
.
故答案為：
2．
【分析】
用和表示和，根據以及，，，可求出結果.
【詳解】因為是的中點，所以，
，
因為，，
，
所以，
所以.
故答案為：.
3．
【分析】根據題意可得，結合正弦定理與、三角形內角和定理與兩角和差余弦公式即可求得，從而得的大小.
【詳解】因為BD的垂直平分線過點A，所以，則，所以．
又因為在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因為，所以為銳角，所以，
則，
又，所以．
故答案為：.
4．##
【分析】由余弦定理求得的長，確定，設，推得，表示出，在中由正弦定理可得，化簡即可求得答案.
【詳解】在中，，，,
由余弦定理得，
則,根據勾股定理逆定理得，
因為，，所以，
設，則，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得：，即，
所以,即，
解得：，即，
故答案為：
5．
【分析】建立平面直角坐標系，再結合平面向量數量積的坐標及基本不等式的應用求出向量，進而通過運算求得的值.
【詳解】建立如下圖所示的平面直角坐標系，設，，設點、，
令，，則，得，
設，則，則點的坐標為，
則直線的斜率分別為，
由兩直線的夾角公式可得：
，
當且僅當，即時取等號，此時，則，
所以.
故答案為：4.
6．
【詳解】解：以點A為坐標原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設，
則點A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），
，則點P（1，），
∴，，
因此，，，．
，所以．
故答案為：.
7．
【分析】根據題意，，分別求得，表達式，即可求得表達式，結合基本不等式，即可得答案.
【詳解】過C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設，
在中，，
在中，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以取最大值時，最大，
所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.
故答案為：
8．
【分析】直接利用解直角三角形知識，利用差角的公式和基本不等式的應用求出結果．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，
設，則，
當且僅當時，即當，視角最大，故答案為．
【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，基本不等式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力．屬于基礎題型．
9．##
【分析】根據向量共線以及余弦定理、誘導公式求得正確答案.
【詳解】設圓為三角形的外接圓，半徑為，
由于，
所以，.
設，則，
在三角形中，由余弦定理得.
故答案為：.
10．
【分析】由平面向量的基本定理把向量，用基底和表示出來，由向量的夾角公式可得答案.
【詳解】由題意可得和的模長均為2，且夾角為.
，分別是，的中點.
，
，
，
同理可得，
向量與的夾角的余弦值為.
故答案為：
【點睛】本題考查兩向量的夾角，利用平面向量基本定理來表示向量是解決問題的關鍵，屬于中檔題.
11．##
【分析】設外接圓半徑為1，通過移項平方解得，，，再求出，，，再利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】，即，設，
兩邊同平方得，解得，
同理可得，，
，
，則，
，，
.
故答案為：.
12．
【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.
【詳解】由已知得即為向量與的夾角.
因為M、N分別是，邊上的中點，所以，.
又因為，所以
,
,
,
所以.
故答案為：
13．
【分析】根據向量表示確定外心為重心，即得三角形為正三角形，即得結果.
【詳解】設BC中點為M,所以,因此P為重心，而為的外心，所以為正三角形，.
【點睛】本題考查向量表示以及重心性質，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.
14．
【分析】由得，因此有，這樣作出圖形后易知OP最小時點位置，從而得向量夾角．
【詳解】∵，∴，作，如圖，則在上，易知最小時，，所以，所以向量與的夾角為．
故答案為：．
【點睛】本題考查平面向量的夾角，解題方法是幾何法，通過向量線性運算的幾何意義作出圖形求解，減少了計算，結果一目了然．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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