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專題5 新背景下的三角形面積問題
將三角形的3個內角三等分，靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個交點，則這樣的3個交點的連線構成正三角形，該定理稱為莫利定理，其中的正三角形稱為該三角形的莫利三角形．如圖，在中，，則的莫利三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
通過建立平面直角坐標系，將正三角形A1B1C1中的邊長轉化為點C1的坐標運算，通過聯立直線與求得點C1坐標，從而求得目標三角形A1B1C1的邊長，進一步借助正三角形的面積公式求得面積 ．
如圖建立直角坐標系，
直線，，又
求直線與交點橫坐標
則．選C．
1．在中，，為邊上的中線，，則該三角形面積最大值為 ．
2．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線，弦AB過焦點，為其阿基米德三角形，則的面積的最小值為 ．
由于三角形ABC等腰直角三角形具有對稱性，利用莫力三角形的定義，結合幾何性質不難得到AA1垂直平分BC， 利用這一特征可以構建有關目標三角形邊長A1C1的方程，也可以利用角平分線性質將A1C1轉化為DA1， 從而求得該正三角形的面積．
法一：作于D，交于點E，
設，在中：
在中，
在中，
而，∴，
∴，∴．選C．
法二：由題意知，∴
由對稱性知
∵為正三角形，∴，∴，即
由角平分線的性質知到BC的距離與正邊長相等
取BC中點D，連，由知
在中，，即正△邊長為，
∴
3．如圖，正方形被分成了面積相等的8個三角形，若，則正方形的面積 ．
解三角形
將目標三角形邊長B1C1轉化到三角形AB1C1中， 通過 等利用正余弦定理求得AC1 AB1．為三角形AB1C1創造可解的條件，從而求得B1C1，最后利用公式求得三角形面積
法一：由題意可得，在中，，
由正弦定理得，
同理可得，
所以，
所以的面積為，故選C．
法二：由題意知，∴
由對稱性知
∵為正三角形，∴，∴，
即，∴
在中由正弦定理有，即，
解得，
∴
4．的內角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
5．的內角，，的對邊分別為，，，，，邊上的高為，則的面積是 .
6．在中，，，，則的面積為 .
7．記的內角的對邊分別為，點為邊三等分點（靠近C）.若，，則的面積為 .
8．英國數學家莫利提出：將三角形各內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個交點構成一個正三角形（如下圖所示）.若△為等腰直角三角形，且，則△的面積是 .
9．某園區有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現計劃在該空地上選三塊區域種上三種不同顏色的花卉，為了劃分三種花卉所在的區域且澆灌方便和美觀，需要在空地內建一個正三角形形狀的水池，要求正三角形的三個頂點分別落在空地的三條邊界上（如圖），則水池面積的最小值為 ．
10．1643年法國數學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°），該點稱為費馬點.已知中，其中，，為費馬點，則的取值范圍是 .
11．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是 ．

12．我國南宋著名數學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設的三個內角，，所對的邊分別為，，，面積為，則“三斜求積”公式為.若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為 ．
13．已知函數，設曲線在第一象限內的部分為E，過O點作斜率為1的直線交E于，過點作斜率為的直線交x軸于，再過點作斜率為1的直線交E于，過點作斜率為的直線交x軸于，…，依這樣的規律繼續下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示．給出下列四個結論：
①的長為；
②點的坐標為；
③與的面積之比是；
④在直線與y軸之間有6個三角形．
其中，正確結論的序號是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．8
【分析】法一：已知，以為定點，建立直角坐標系，由，得動點的軌跡，由此可得面積最大值；
法二：引入變量與角，由余弦定理得到的等量關系，又面積為，消，再求函數最值即可.
【詳解】法一：如圖建立直角坐標系，

設，由得：，
即：，
所以點A的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，，
所以當A到x軸距離最大時，即為半徑時，面積最大.
故．
法二：設，則，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由圖可知，為半圓上的點與連線的斜率，其最小值為直線的斜率，

故面積的最大值為.
故答案為：8.
2．
【分析】設，設直線的方程為：，代入拋物線方程，由韋達定理可得，設過點的切線方程為，與拋物線方程聯立，利用判別式得，則過點A的切線方程分別為：，同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，可得，可證得，則的面積，結合圖形特征，可得面積的最小值．
【詳解】設，直線，
聯立，整理得，則．
設過點的切線方程為，
聯立，整理得，
由，可得，
則過點A的切線方程分別為：，即，即，即，
同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，
因為兩條切線的交點在準線上，所以，
兩式相減得，
，，可得，
，又因為直線的斜率為，
（也成立），
如圖，設準線與軸的交點為，
的面積，
當軸時，最短（最短為），也最短（最短為），
此時的面積取最小值．
故答案為：．
3．128
【詳解】如圖，過點作，取的中點，聯結與交于點．
設正方形的邊長為．
由，知·
由，得．
于是，為中點．
由，知為的重心．
則、分別為、的中點，且．
又為梯形的中位線，因此，
．
而，由勾股定理得
．
4．##
【分析】由正弦定理結合三角恒等變換可得，再根據余弦定理可得，進而可得的面積.
【詳解】由，結合正弦定理可得，故，
故，因為，故，又，故.
由余弦定理，則，解得.
則.
故答案為：
5．
【分析】由已知利用正弦定理以及三角函數恒等變換可求，的值，利用兩角和的正弦公式可求的值，由題意可求，的值，進而利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】因為，，設邊上的高為，
由正弦定理得，
化簡得，又，解得或（舍去），
所以，
因為，解得，
，解得，
所以的面積．

故答案為：．
6．
【分析】求出的值，利用正弦定理求出的長，利用兩角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的值.
【詳解】因為，且，故為銳角，
所以，，
由正弦定理可得，則，
，
由三角形的面積公式可得.
故答案為：.
7．##
【分析】在中，由余弦定理求出的關系，再在和中，利用雙余弦定理求出的關系，從而求出，再根據三角形的面積公式即可得解.
【詳解】在中，由余弦定理得，
即，
由點為邊三等分點（靠近C），
得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，所以，
即，所以，
所以，所以，
則，所以，
所以.
故答案為：.
8．
【分析】若是中點，連接，且，根據題設角的關系、三角形全等及相似可得、，設，結合已知可得，即可求x值，應用三角形面積公式求△的面積.
【詳解】若是中點，連接，且，
由題設知：△△，則，又，，
所以，則△△△△，
所以，又△△，且，
設，則，故，
所以，又，則，可得，
則，故△的面積是.
故答案為：
9．
【分析】設，，則，在中由正弦定理得到，即可得到，再利用輔助角公式及面積公式計算可得；
【詳解】解：如圖，設，，因為，，
所以，，所以，
因為，
，
所以，在中，由正弦定理，，即，
所以，因為，所以，所以，所以，其中，所以，，所以面積的最小值為．
故答案為：
10．
【分析】設，進而得到，然后在中通過余弦定理得到，的關系式，在和中，通過正弦定理得到的關系式和的關系式，然后借助三角函數的性質和函數的性質求得答案.
【詳解】如圖，根據題意，設，則，
在中，由余弦定理有，也即 ①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，則，由①， ②，
且，
所以，
設，則，
由題意，，所以，所以，
而，由對勾函數的性質可知，
所以，由②，
在上單調遞減，
所以.
11．
【分析】根據弧長公式求出三角形邊長，再根據扇形面積公式和三角形面積公式可得結果.
【詳解】因為的長度為，所以，，
所以勒洛三角形的面積是.
故答案為：.
12．
【分析】根據正弦定理進行邊角互換，再將數據代入“三斜求積”公式即可.
【詳解】根據正弦定理可知，
，
代入“三斜求積”公式：
故答案為：.
13．②④
【分析】依次求出、、、、、、、、、、的坐標，然后可判斷出每個的正誤.
【詳解】由可得，
由可得，，
所以，故①錯誤
由可得，，故②正確
由可得，
所以
，故③錯誤
同理可求
因為，所以共有6個三角形，故④正確
故答案為：②④
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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