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專題6 多邊形中邊角的求法
【穩派2024屆高三10月統一調研】
典例:折紙是一種玩具，也是一項思維活動，如圖，把一個足夠長的長方形紙條打好一個結，然后拉緊壓平，再截去伸出的部分，就得到一個正五邊形，若，把該正五邊形折紙展開，得到一個紙條，記該紙條的周長為，則______．
由結合三角形的邊角關系得出，進而得出，，再由倍角公式求解.
在等腰梯形中，，，，
，展開后的紙條如下圖，
該紙條的周長，
所以
故答案為：
1．△ABC中，BD是AC邊上的高，A=，cosB=-，則=（　?。?br/>A． B． C． D．
2．在中，，，，的平分線交于，為邊上的高，則的面積為 ．
構造平行四邊形，由余弦定理得出，進而由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，過C作交AD于F
∵正五邊形每個內角為108°，且，∴
∵，∴，則
在等腰△FCD中，由余弦定理有，∴，
.
故答案為：
3．圓內接四邊形ABCD中，，，，，則△面積為（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，BC邊上的中線，，，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
構造平行四邊形，由正弦定理得出，進而由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，過C作交AD于F
∵正五邊形每個內角為108°，且，∴
∵，∴，則
在等腰△FCD中，由正弦定理有，
∴
.
故答案為：
5．在中，是邊上的一點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．在中，為邊上一點，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
由余弦定理得出，進而結合冪函數的單調性得出，最后由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，連BD
∵，
∴在△CBD與△ABD中，由余弦定理有
又，則，
∴，即
∴，
∴.
故答案為：
7．在中，，，為邊上的中點，且的長度為，則（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，已知在中，，點在邊上，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
延長AB、DC交于O，由余弦定理得出，再由相似比得出，最后由倍角公式求解.
延長AB、DC交于O
∵ABCD為等腰梯形，∴△DBC，△OAD為等腰三角形
在△OBC中，由余弦定理有，
解得，∴
∵，∴，即
∴，
∴.
故答案為：
9．如圖，在平面四邊形中，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
10． 中，，，，則的角平分線的長為（ ）
A． B． C． D．
11．△ABC中，BD是AC邊上的高，，，則（ ）
A． B．
C． D．
12．如圖中，已知點在邊上，，，，，則等于（ ）
A．4 B．24 C． D．20
13．在中，角，點是邊上一點，點在上.若，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在中，，為中點，，，則邊的長為 .
15．中，為邊的中線，，，，則中線的長為 .
16．如圖，在中，點D在BC邊上，BD的垂直平分線過點A，且滿足，，則的大小為 ．

試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用三角形面積公式和正弦定理分別求出，，從而確定的比值．
【詳解】解：
由正弦定理可知
，即

故選A．
【點睛】在求解三角形時我們不僅可以利用正弦定理、余弦定理，還可以結合三角形面積公式來解決問題．
2．##
【分析】由余弦定理求出,使用角平分線及正弦定理得到，求出，再利用高線求出，得到，求出直角三角形面積.
【詳解】在中，由余弦定理得：，
在三角形ABD中，由正弦定理得：，
同理在三角形ACD中，由正弦定理可得：，
因為，又的平分線交于D，所以，，
故，即，所以，
而，又為邊上的高，
所以，，從而，
所以的面積為.
故答案為：
3．B
【分析】由題設知，若則，根據余弦定理得求，進而求得，結合三角形面積公式求△面積即可.
【詳解】若，則，
∴在△中，，
在△中，，
∴，則，
∴，而，故，
∴.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：根據存在外接圓的四邊形性質，結合余弦定理求角，利用三角形面積公式求面積.
4．A
【分析】在和中，由余弦定理，化簡可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周長.
【詳解】在和中，由余弦定理，可知
∴
在中，由余弦定理可知
∴
∴
所以的周長為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于中等題.
5．C
【分析】根據題意，可得出，利用正弦定理可知，設，在中由正弦定理得：，進而利用誘導公式、兩角和與差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式進行化簡，求出的值，從而得出.
【詳解】解：如圖所示，
在中，，，所以，
由正弦定理知，
設，，，所以，
設，
在中，由正弦定理得：，
則，即，
所以，整理得，
即，
即，所以，
又，則，所以．
故選：C.
6．C
【分析】由正弦定理求得，繼而求出，再根據三角形外角定理，結合兩角和的正弦公式，求得答案.
【詳解】如圖示：
在 中，由正弦定理得： ,
故 ,而,故只能是銳角，
故，
所以
，
故選：C
7．A
【分析】根據，結合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程組可求得.
【詳解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故選：A.
8．D
【分析】根據給定條件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理計算作答.
【詳解】在中，， ，則，
因，則，
在中，由余弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，
所以.
故選：D
9．D
【分析】利用正弦定理建立關系，根據三角函數的有界限即可求解AB的取值范圍
【詳解】由題意，平面四邊形中，延長、交于點，如圖，
，
為等腰三角形，，
若點與點重合或在點右方，則不存在四邊形，
當點與點重合時，
根據正弦定理：，
算得，
，
若點與點重合或在點上方，則不存在四邊形，
當點與點重合時，
根據正弦定理：
算得，
，
綜上所述，的取值范圍為．
故選：D
【點睛】本題考查了正余弦定理的運用和數形結合的思想，構成三角形的條件的處理．屬于中檔題．
10．B
【分析】作出圖形，利用余弦定理求得，進而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的長.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由題意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，則，
在中，由余弦定理得.
故選：B.
【點睛】本題考查三角形角平分線長的計算，考查正弦定理和余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.
11．A
【分析】由同角三角函數的基本關系以及和角公式得出，再根據等面積法得出，最后由正弦定理得出.
【詳解】∵
∴
∵
∴
由正弦定理可知，即
∴；
故選：A．
12．B
【分析】利用誘導公式可求得，在中，利用余弦定理可求得、，進而得到，在中，根據余弦定理可構造方程求得結果.
【詳解】，，
在中，
由余弦定理得：，
，，
，
又，，.
故選：.
【點睛】本題考查余弦定理解三角形的知識，涉及到誘導公式的應用，關鍵是能夠利用余弦定理和誘導公式求得.
13．B
【解析】設，則，.在中，表示，在中，表示，，然后在中，由正弦定理求解.
【詳解】如圖所示：
設，
則，.
在中，，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
.
故選：B
【點睛】本題主要考查正弦定理在平面幾何中的應用，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題
14．
【分析】設，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所設參數，結合三角形性質確定的長度.
【詳解】設，，

在和中，，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又，即，整理得：，②
聯立①②得，，即，解得或，
三角形ADC中的三邊關系知：，故，所以.
故答案為：
15．##
【分析】先由三角形構建平行四邊形，使轉化為，然后在根據余弦定理求，即可.
【詳解】
如圖，以邊,為鄰邊做平行四邊形，
因為邊的中線，則由平行四邊形性質知共線，且，
在平行四邊形中，，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
故答案為：
16．
【分析】根據題意可得，結合正弦定理與、三角形內角和定理與兩角和差余弦公式即可求得，從而得的大小.
【詳解】因為BD的垂直平分線過點A，所以，則，所以．
又因為在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因為，所以為銳角，所以，
則，
又，所以．
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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