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專題4 折疊問題中的面積最值問題
（黃岡市2023學年高三年級9月調研考試）設矩形ABCD（AB＞BC）的周長為12，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折后交DC于點M，則△ADM的面積最大值為______．
折疊過后三角形全等+基本不等式求最值
法一：設，則，，
由
當且僅當時取等號
法二：，∴，∴
令，則，
，，
∴
即當且僅當“”取“”
∴，∴或
∵，∴（舍去）
∴，，∴當且僅當“”取“”
1．某制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，如圖所示，長方形的周長為4米，沿折疊使到位置，交于，研究發現，當的面積最大時最節能，則最節能時的面積為
A． B． C． D．2
2．設矩形ABCD的周長為16cm，把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點P，則的面積取最大值時，AB的長為 ．
引入角度，利用三角函數關系建立關系式，最后換元，利用基本不等式求解
解析：設，在中，
∴
又，∴，∴
∴，
令，∴
當且僅當，即時△ADM面積最大
3．設矩形的周長為20，把沿AC向折疊，AB折疊后交DC于點，則線段AP的長度最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．在邊長為的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取M、N兩點，沿線段MN折疊三角形，使頂點A正好落在邊BC上，則AM的長度的最小值為（　?。?br/>A． B． C． D．
導數法
利用二倍角公式解方程找到目標三角形中的邊長數量關系進而得到目標函數，進一步用導數法求得最值
設，則
∵，∴得
由翻折和平行知：
在中，，在中，
又，即，解得
，
令，解得
當時，，當時，
∴時，S有最大值
5．如圖甲，在等腰直角三角形中，，，分別為兩直角邊上的點，且，沿直線折疊，得到四棱錐，如圖乙，則四棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，一塊邊長為正方形鐵片上有四個以為頂點的全等的等腰三角形（如圖1），將這4個等腰三角形裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊，使得，重合，，重合，，重合，，重合，，，，重合為點，得到正四棱錐（如圖2）．則在正四棱錐中，以下結論正確的是（ ）

A．平面平面
B．平面
C．當時，該正四棱錐內切球的表面積為
D．當正四棱錐的體積取到最大值時，
解析法
建系后，通過解析法表示直線與CD，從而求出M點橫坐標
：
如圖，設AD=m，AB=n，則，，，
，即，
又，
當且僅當時取“”號
7．在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸，y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，如圖所示．將矩形折疊，使點A落在線段DC上．
（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（2）在（1）的條件下，若時，求折痕長的取值范圍．
割補法
將目標三角形的面積分割成兩個易表示的三角形的面積之差，消元后轉化為基本不等式求解
如圖，設AD=a，AB=b，則，且，∴為等腰三角形
，，
，
，
當且僅當，取“”
8．如圖,將一張邊長為的正方形紙折疊,使得點始終落在邊上,則折起的部分的面積最小值為

A． B． C． D．
9．如圖，將菱形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，點C，D的對應點分別是，且，折痕AP交BC于點P．若，，則PC的長等于 ．

10．矩形ABCD中，，，AD的中點為M，折疊矩形使得點A落在邊CD上，則點M到折痕的距離的取值范圍是 ．
11．如圖，將一張的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則小正方形的邊長為 時，這個紙盒的容積最大，且最大容積是 ．

12．折紙是我國民間的一種傳統手工藝術．現有一張長、寬的長方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為．若，則折痕長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
13．設矩形的周長為20，把三角形沿向三角形折疊，折過去后交于點P（如圖所示），則三角形的面積的最大值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】本題可以先通過設分別為，再通過題目所給信息以及得出之間的關系，然后通過的面積列出算式，當其最大時求出的值，最后得出結果．
【詳解】設為，為，
因為四邊形是周長為4的長方形，為
所以為為，
因為為，所以為
由題意可知，
所以有即，化簡得，
所以化簡得
所以當時面積最大，此時，故選C．
【點睛】本題在計算過程中，首先要對圖像以及題目所給的條件有著一個充足的了解，再通過各邊之間的關系列出算式求出所需要的值．
2．cm
【分析】畫出示意圖，設且，則，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面積，應用基本不等式求最值并確定取值條件，即可得結果.
【詳解】如下圖示，設且，則，，
由，，，故△△，
令，，故，
所以，整理得，
則，
當且僅當時等號成立，
所以的面積取最大值時，AB的長為cm.
故答案為：cm
3．D
【分析】利用二倍角公式，誘導公式求得的表達式，結合基本不等式求得的最小值.
【詳解】設，
設折疊后為，設，
在中，
，
，
在中，
，
當且僅當時等號成立.此時.
故選：D
4．C
【解析】設，在三角形中，利用正弦定理求得的表達式，結合的取值范圍，求得的最小值，也即是的長度的最小值.
【詳解】顯然A，P兩點關于折線MN對稱，
連接MP，圖（2）中，可得AM＝PM，則有∠BAP＝∠APM，
設∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，
再設AM＝MP＝x，則有，
在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，
∴∠BPM＝120°﹣2θ，
又∠MBP＝60°，
在中，由正弦定理知，
即，
∴，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°﹣2θ≤120°，
∴當120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°時，sin（120°﹣2θ）＝1．
此時x取得最小值，且∠AME＝75°．
則AM的最小值為．
故選：C
【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，屬于中檔題.
5．B
【分析】由體積公式得平面與平面垂直時，四棱錐體積最大，設，用表示出體積，然后由導數求得最大值．
【詳解】如圖1，分別是中點，則共線且，如圖2，在折疊的過程中，當平面與平面垂直時，由面面垂直的性質定理得平面，當平面與平面不垂直時，是點到平面的一個斜線段，因此到平面的距離小于，所以四棱錐體積最大時，平面與平面垂直時，由面面垂直的性質定理得平面，
設長為，則,，，，
則四棱錐體積為，
由，易得時，，時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，即在處取到最大值，，
故選：B.
【點睛】結論點睛：由點到平面的距離的定義知平面外任一點到平面的距離是到平面上任一點距離的最小值．在把折起時，由于到直線的距離為定值，因此當平面與平面垂直時，到平面的距離最大，從而相應棱錐體積最大．
6．ABD
【分析】對于A，利用正棱錐的性質分析判斷，對于B，由已知可得‖，再利用線面平行的判定理判斷，對于C，利用等體積法可求得內切球的半徑，對于D，設，可得，利用導數可求出其最大值.
【詳解】對于A，連接，在正四棱錐中，，由折疊可得，為的中點，所以，
因為四邊形為正方形，所以，即，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，所以A正確，

對于B，因為‖，平面，平面，所以‖平面，所以B正確，
對于C，當時，因為四邊形為正方形，所以，
因為在圖1中，為等腰直角三角形，所以，所以，
因為正方形鐵片的邊長為10，所以
所以中邊上的高為，，
所以，
設內切球的半徑為，則，
所以，解得，
所以該正四棱錐內切球的表面積為，所以C錯誤，
對于D，設，則，，
所以，
令，則，令，
則，
令，則（舍去），或，
當時，，當時，，
所以當時，有最大值，所以D正確，
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：此題考查正四棱錐的性質，考查導數的綜合應用，考查正四棱錐內切球半徑的求解，解題的關鍵是利用等體積法求出內切球的半徑，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
7．（1）；（2）.
【分析】（1）當時，此時A點與D點重合，求出折痕所在的直線方程．當時，將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為，可知：A與G關于折痕所在的直線對稱，有，解得故G點坐標為，從而折痕所在的直線與OG的交點坐標即線段OG的中點M的坐標表示，即可得出結果；
（2）當時，折痕長為當時，折痕所在的直線交BC于點，交y軸于點，利用兩點之間的距離公式、二次函數的單調性即可得出結果．
【詳解】（1）當時，此時點A與點D重合，折痕所在的直線方程為；
當時，將矩形折疊后點A落在線段DC上的點記為，
所以點A與點G關于折痕所在的直線對稱，有，
即，交點，
故點G的坐標為，
從而折痕所在的直線與OG的交點坐標線段OG的中點為，
所以折痕所在的直線方程為，即，
綜上所述，折痕所在的直線方程為；
（2）當時，折痕的長為2；
當時，折痕所在的直線交BC于點，
交y軸于點，，
又因為，所以，所以
綜上所述，折痕長的取值范圍為．
8．B
【分析】設，可證明、，從而可求、，從而可得所求梯形的面積表達式為，從而可求其最小值.
【詳解】如圖，

過作與，則，連，交于，
則由折疊知，與關于直線對稱，即，
有，，，
∵，，∴，
∴，
設，則，，
代入上式得：，
∵，，
∴，在和中，
∵，∴，∴，
故，
∴梯形的面積為
，
得當時，梯形面積最小，其最小值，
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定、二次函數的最值、全等三角形的判定和性質及翻轉變換，是一道綜合題，有一定的難度，先證明，再利用相似三角形的性質得出的長，再表示出求出梯形面積，進而求出最小值.
9．##
【分析】利用對稱性，結合銳角三角函數定義、菱形的性質進行求解即可.
【詳解】如圖所示：設于點，交于，
因為ABCD是菱形，所以，
因為將菱形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，點C，D的對應點分別是，
所以，，，
因為，
所以在直角中，，
所以，，
在直角中，，
所以，
，
因為ABCD是菱形，
所以，因此，
根據對稱性，顯然可知，
所以，
即，于是有，
所以，
故答案為：

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是應用圖形對稱性的性質、銳角三角函數定義.
10．
【分析】設折疊矩形使得A落在邊上，當在D處時，此時折痕過M，即點M到折痕的距離為0．當到C處時，取得最大值，求出，即可求出答案.
【詳解】設折疊矩形使得A落在邊上，
當在D處時，此時折痕過M，即點M到折痕的距離為0．
當從D向C運動的過程中（如圖1），
中點為O，則，過M作于點N，
則，此時在增大，也增大，
故當到C處時，取得最大值（如圖2），
此時，所以，
故點M到折痕的距離的取值范圍是．
故答案為：．
11． 2 144
【分析】設剪下的四個小正方形的邊長為x cm，利用長方體的體積公式得到體積V關于x的函數，再應用導數研究其單調性并求出最值作答.
【詳解】設剪下的四個小正方形的邊長為x cm，
則經過折疊以后，糊成的長方體紙盒的底面矩形長為cm，寬為cm，
則長方體紙盒的底面積為，而長方體紙盒的高為x cm，
于是長方體紙盒的體積（），，
求導得，
當時，，函數遞增，當時，，函數遞減，
所以當時， ()．
故答案為：2；144
12．C
【分析】由已知可確定，分別在三種折疊方式下利用面積建立關于折痕的函數關系式，根據二次函數和對勾函數的單調性可求得最值，由此可得結果.
【詳解】由題意得：長方形紙片的面積為，又，
，；
①當折痕如下圖所示時，
設，，則，解得：，，
令，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
，；
②當折痕如下圖所示時，
設，，則，解得：，
，
令，則在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，，
；
③當折痕如下圖所示時，
設，，則，解得：，
令，則在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，，
；
綜上所述：折痕長的取值范圍為；
折痕長的最大值為.
故選：C.
13．
【分析】根據題意設，，利用平面幾何知識表示出，進而求得，結合基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意可設翻折后B點的位置為,
因為矩形周長為20，設，
則 ，由翻折可知，即有,
而,故 ，
,設 ，則，
在中，由勾股定理得： ，
則 ，
，即， ，
則，
，當且僅當時取等號，
，即三角形的面積的最大值為，
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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