資源簡介

專題 8 三角形中的最值問題
（三湘名校教育聯盟2023-2024學年高三上學期10月大聯考數學試題）如圖，的內角，，的對邊分別為，，．若．
（1）求角的大小；
（2）若是線段上的點，，，求的最大值．
利用余弦定理，得到，再變形轉化為結合基本不等式進行求解
（1）在中，由余弦定理有，所以，又因為，所以；
（2）延長至使得，連接，易知，所以，，，在中，由余弦定理有，即，因此，解之得，當且僅當，時取等號．所以的最大值為8．
1．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
2．在中，角所對的邊分別為，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
通過建立平面直角坐標系，求得，利用得，再進一步求得最值．
解：由及可得，建立如圖所示直角坐標系
設點
由可得點
又，∴，
即，∴，
得，當且僅當，等號成立，∴最大值為8
3．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為 ．
4．若，則的最大值是 .
通過設，對同一三角形面積的兩種不同路徑表示得到，再進一步求得最值
由已知得（如圖），由，設
∴，，
由面積關系
，∴，
當時，即時，取最大值8
5．在中，角，，所對的邊分別為，，.，的平分線交于點，且，則的最小值為 .
6．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為 ．
將向量表示，再數量化轉化為，再進一步求得最值．
（2）在中，∴，∴，
又，∴，
∴，
即
∴，∴，當且僅當時“＝”成立
7．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為 ．
8．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
9．如圖，在等腰直角中，，，點在線段上.

(Ⅰ) 若，求的長；
（Ⅱ）若點在線段上，且，問：當取何值時，的面積最小？并求出面積的最小值.
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)證明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
11．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．
（1）當p=，b=1時，求a，c的值；
（2）若角B為銳角，求p的取值范圍．
12．如圖，已知是邊長為1的正三角形，M，N分別是邊AB，AC上的點，線段MN經過的中心G，設．
（1）分別記，的面積為，，試將，表示為的函數．
（2）求的最大值與最小值．
13．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且,則的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
2．（1）；（2）
【分析】（1）根據三角形角的關系，代入化簡三角函數式，即可求得，進而得角的大小；
（2）根據余弦定理，由基本不等式即可求得，再結合三角形邊關系求得的取值范圍.
【詳解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
當且僅當時取等號，
∴，又，
∴的取值范圍是．
【點睛】本題考查了三角恒等變形的應用，由余弦定理及基本不等式求邊的范圍，屬于中檔題.
3．9
【分析】方法一：先根據角平分線性質和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式
由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，
因此
當且僅當時取等號，則的最小值為.
故答案為：.
［方法二］： 角平分線性質＋向量的數量積＋基本不等式
由三角形內角平分線性質得向量式．
因為，所以，化簡得，即，亦即，
所以，
當且僅當，即時取等號．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如圖5，以B為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設，．因為A，D，C三點共線，則，即，則有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分線定理＋基本不等式
在中，，同理．根據內角平分線性質定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質得，整理得，當時，可解得．當時，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在與中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．
由，得，即，從而．下同方法一．
【整體點評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關系，再根據基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規也簡潔，是本題的最優解；
方法二：利用角平分線的性質構建向量的等量關系，再利用數量積得到的關系，最后利用基本不等式求出最值，關系構建過程運算量較大；
方法三：通過建立直角坐標系，由三點共線得等量關系，由基本不等式求最值；
方法四：通過解三角形和角平分線定理構建等式關系，再由基本不等式求最值，計算量較大；
方法五：多次使用正弦定理構建等量關系，再由基本不等式求最值，中間轉換較多；
方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．
4．
【詳解】設，則，根據面積公式得，①
根據余弦定理得，，
將其代入①式得，
，
由三角形三邊關系有，解得，
故當時，取得最大值
考點：解三角形
點評：主要是考查了三角形的面積公式的運用，屬于基礎題.
5．
【分析】利用等面積法可得，從而，再利用乘“1”法及基本不等式可求解．
【詳解】因為，
所以，所以，可得．
所以，
（當且僅當，即，時取等號）．
故答案為：．
6．9
【分析】方法一：先根據角平分線性質和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式
由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，
因此
當且僅當時取等號，則的最小值為.
故答案為：.
［方法二］： 角平分線性質＋向量的數量積＋基本不等式
由三角形內角平分線性質得向量式．
因為，所以，化簡得，即，亦即，
所以，
當且僅當，即時取等號．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如圖5，以B為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設，．因為A，D，C三點共線，則，即，則有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分線定理＋基本不等式
在中，，同理．根據內角平分線性質定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質得，整理得，當時，可解得．當時，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在與中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．
由，得，即，從而．下同方法一．
【整體點評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關系，再根據基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規也簡潔，是本題的最優解；
方法二：利用角平分線的性質構建向量的等量關系，再利用數量積得到的關系，最后利用基本不等式求出最值，關系構建過程運算量較大；
方法三：通過建立直角坐標系，由三點共線得等量關系，由基本不等式求最值；
方法四：通過解三角形和角平分線定理構建等式關系，再由基本不等式求最值，計算量較大；
方法五：多次使用正弦定理構建等量關系，再由基本不等式求最值，中間轉換較多；
方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．
7．9
【分析】方法一：先根據角平分線性質和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式
由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，
因此
當且僅當時取等號，則的最小值為.
故答案為：.
［方法二］： 角平分線性質＋向量的數量積＋基本不等式
由三角形內角平分線性質得向量式．
因為，所以，化簡得，即，亦即，
所以，
當且僅當，即時取等號．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如圖5，以B為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設，．因為A，D，C三點共線，則，即，則有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分線定理＋基本不等式
在中，，同理．根據內角平分線性質定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質得，整理得，當時，可解得．當時，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在與中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．
由，得，即，從而．下同方法一．
【整體點評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關系，再根據基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規也簡潔，是本題的最優解；
方法二：利用角平分線的性質構建向量的等量關系，再利用數量積得到的關系，最后利用基本不等式求出最值，關系構建過程運算量較大；
方法三：通過建立直角坐標系，由三點共線得等量關系，由基本不等式求最值；
方法四：通過解三角形和角平分線定理構建等式關系，再由基本不等式求最值，計算量較大；
方法五：多次使用正弦定理構建等量關系，再由基本不等式求最值，中間轉換較多；
方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．
8．##
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

9．(Ⅰ)或（Ⅱ）當時， 的面積的最小值為
【詳解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,
由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,
得MP2-4MP+3=0,
解得MP=1或MP=3.
(2)設∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP中,由正弦定理,
得=,
所以OM=,
同理ON=.
故S△OMN=OM·ON·sin∠MON
=×
=
=
=
=
=
=.
因為0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以當α=30°時,sin(2α+30°)的最大值為1,
此時△OMN的面積取到最小值.
即∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為8-4.
10．（1）見解析；（2）．
【詳解】試題分析：（1）根據三角函數的基本關系式，可化簡得，再根據，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
試題解析：（1）由題意知，，
化簡得：
即，因為，所以，
從而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.
考點：三角恒等變換的應用；正弦定理；余弦定理.
【方法點晴】本題主要考查了三角恒等變換的應用、正弦定理與余弦定理的應用，涉及到三角函數的基本關系式和三角形中的性質和基本不等式的應用，著重考查了轉化與化歸思想和學生的推理與運算能力，以及知識間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數恒等變換的公式是解答問題的關鍵.
11．（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜
【詳解】（1）解：由題設并利用正弦定理得
故可知a，c為方程x2﹣x+=0的兩根，
進而求得a=1，c=或a=，c=1
（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，
即p2=+cosB，
因為0＜cosB＜1，
所以p2∈（，2），由題設知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣
又由sinA+sinC=psinB知，p是正數
故＜p＜即為所求
12．(1) ，． (2) 最大值240,最小值216
【分析】（1）根據點是正的中心，可求得，進而利用正弦定理求得，然后利用三角形面積公式求得，同理可得；
（2）把（1）中求得和代入求得函數的解析式，進而根據的范圍和正弦函數的單調性求得函數的最大值和最小值．
【詳解】（1）點是正的中心，．
在中，，，
．
在中，同理，可得．
，
．
（2）
，當時，；
當或時，．
【點睛】本題考查解三角形的問題，考查學生綜合分析問題和解決問題的能力，由一定綜合性．
13．
【分析】由已知求得， ，由正弦定理化邊為角，，由銳角三角形得出，，由兩角和正弦公式，二倍角公式，兩角和的余弦公式，化簡后，利用余弦函數性質、不等式性質得出結論．
【詳解】因為，所以，
，因為為銳角，，所以，從而，
，
三角形為銳角三角形，，所以，
，，，
，時，，
所以，
所以，即，
故答案為：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑