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專題1 1 由三角條件等式求最值
【天一大聯考-頂尖聯盟2024第二次考試理數】
16．已知，若，則的最小值為______．
切化弦，通分，再由和角公式得出，再由積化和差公式結合基本不等式得出最值.
，
由題意知，因此．
所以，
當且僅當，即時等號成立．
（2019·高一課時練習）
1．若、，且，則的最大值是 .
（2016下·湖北·高三階段練習）
2．在中，角、、所對的邊分別為，，，且，則的最大值為 .
設，結合得出，結合不等式的性質得出最值.
同解析得．
設，則，∴，即：
∴，又，∴，僅當時，
此時，綜上最小值為．
（2023·陜西安康·校聯考模擬預測）
3．已知，若，則的最小值為 ．
（2023下·湖北咸寧·高一統考期末）
4．已知均為銳角，，則的最小值為 .
由三角恒等變換得出，結合平方關系得出，令，則，再由導數得出最值.
由恒等式知，∴，
∴，
設，∵，
∴，∴，
當時，，∴在，∴，∴
（2023下·江蘇蘇州·高一統考期末）
5．已知，為一個斜三角形的兩個內角，若，則的最小值為 ．
（2022上·甘肅定西·高三校考階段練習）
6．已知均為銳角，，則的最小值是 .
由結合平方關系得出，令，由的范圍得出的范圍，進而由二次函數的性質求最值.
由題意知由已知可得，
則，∴
令，則，（z為銳角）
而，顯然當時，取得最小值，此時
（2019·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）
7．已知，且，則的最小值為 .
（2023·上海·統考模擬預測）
8．已知，且，則的最大值為
由結合三角恒等變換得出，由的范圍結合三角函數的性質得出，進而由結合二次函數的性質求最值.
解：由已知，
即，
∴，
即，
∴．
又，
∴，解得
（其中）的最小值為．
當且僅當，即時取得，∴的最小值為．
（2022上·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期中）
9．若，，且，則的最大值為 ．
（2001·北京·高考真題）
10．已知（均為銳角），那么的最大值等于 ．
（2023下·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考期中）
11．已知，則的取值范圍是 .
（2018下·廣西河池·高一階段練習）
12．已知，則的取值范圍是 .
（2022上·四川攀枝花·高一統考期末）
13．已知，則的最大值為 ．
（2021下·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區第一中學校考階段練習）
14．已知，則函數的最大值是 ．
（2021·四川綿陽·綿陽中學實驗學校校考模擬預測）
15．已知，則的最大值為
（2016·湖北襄陽·統考一模）
16．已知，則的最大值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用基本不等式計算出的最大值，并求出的取值范圍，可得出的最大值.
【詳解】、，且，，因此，.
由基本不等式得，
當且僅當時，等號成立，因此，的最大值為，故答案為.
【點睛】本題考查利用基本不等式求角的最值，同時也考查了兩角差的正切公式的應用，在利用三角函數值求角時，要求出角的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.
2．
【分析】利用正弦定理將邊化為角，化簡得出和的關系，再代入兩角差的正切公式，利用基本不等式求出最大值．
【詳解】解：中，，
，
，
；
因為，所以，所以，
，當且僅當，即時取“”，
的最大值為．
故答案為：．
3．##
【分析】由兩角和的正弦公式化簡已知式，可得，從而得到，利用二次函數的性質可求最小值.
【詳解】由題意知：
，
由題意知，因此．
所以，故，
因為，所以，
所以
，
而，故，故的最小值為.
故答案為：.
4．##
【分析】化切為弦，然后利用兩角和余弦公式展開，利用基本不等式求解最值即可.
【詳解】，
因為均為銳角，則，因此，
因此
，當且僅當時，等號成立.
故答案為：
5．##
【分析】利用同角三角函數的平方和商數關系及二倍角的余弦公式，結合二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題意可知，，
因為在上均單調，結合圖象可得
所以，
由，得，
所以，
因為為一個斜三角形的兩個內角，即，，，
因此，顯然有，即角為一斜三角形的內角，
所以當時，取最小值.
故答案為：
6．
【分析】根據兩角和的余弦公式化簡后由同角三角函數的基本關系得出，再由均值不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
由均為銳角，，
當且僅當時，等號成立.
故答案為：
7．
【分析】根據同角三角函數關系式及基本不等式,可得,同理證明另外兩組式子成立,不等式兩邊同時相加,化簡即可得解.
【詳解】由題意知,
則
因為,則,不等式兩邊同時加
可得
開平方可得,
同理,,
相加可得
化簡得
故答案為:
【點睛】本題考查了三角函數式的化簡求值,同角三角函數關系式的應用,根據基本不等式求最值,屬于中檔題.
8．
【分析】利用三角恒等變換的知識化簡已知條件，結合同角三角函數的基本關系式以及一元二次不等式的解法求得正確答案.
【詳解】因為
，
所以，
則，
所以，即，
即，即，
解得，所以的最大值為．
故答案為：
9．
【分析】由題意結合商數關系及平方關系可得，再利用基本不等式即可得出答案.
【詳解】解：由，
得，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時，取等號，
所以的最大值為.
故答案為：.
10．
【分析】根據同角三角函數基本關系，；進而由基本不等式的性質，可得，將代入，化簡可得答案．
【詳解】解：，
．
．
．
，當且僅當時等號成立.
故答案為：.
11．
【分析】根據題意得到，求得或，結合，即可求解.
【詳解】因為，可得，
解得或，
又由
因為，或，所以.
故答案為：.
12．
【分析】令，由已知可得，由可求.
【詳解】令①，②，
由①2+②2，得.
∴，∴.
故答案為：.
13．
【分析】消元，轉化為求二次函數在閉區間上的最值
【詳解】
，
，
時，取到最大值，
故答案為：．
14．
【分析】由可得， 進而利用二次函數的性質可得結果.
【詳解】
因為
所以
當時，函數有最大值為：
故答案為：
15．
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函數基本關系可得，利用二次函數性質即可求解.
【詳解】，
，，即
又，
利用二次函數的性質知，當時，
故答案為：
16．
【分析】令 與已知等式求平方和，再由兩角差余弦公式變形，結合余弦函數性質可得最值．
【詳解】令 ①，因為 ②，由，化簡并整理，得，即，即，所以，時等號成立，所以的最大值為（且時取得最大值），
故答案為：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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